矩阵论Jordan标准形介绍.ppt
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1、第2章:Jordan 标准形介绍Jordan Canonical Form第2章:Jordan 标准形介绍问题:问题:对线性空间中的线性变换 对线性空间中的线性变换T T,求一组基 求一组基 1 1,2 2,n n 和矩阵 和矩阵J J,使,使 T:T:1 1,2 2,n n J J 矩阵 矩阵J J 尽可能简单。尽可能简单。矩阵 矩阵J J 的结构对任何变换可行 的结构对任何变换可行内容:内容:首选 首选J J 为对角形 为对角形 线性 线性 变换的对角化问题。变换的对角化问题。建立 建立J J 一般的结构 一般的结构 Jordan Jordan 标准形理论。标准形理论。Jordan Jor
2、dan 方法及其应用 方法及其应用方法:方法:用矩阵的相似化简研究问题 用矩阵的相似化简研究问题 Jordan Jordan 化方法 化方法重点:重点:2.1 线性变换的对角表示背景:求基 ii,使得 T(1 1 2 2 nn)=(1 1 2 2 nn)一、变换T 的特征值与特征向量1.定义定义(p35 p35 定义定义22.11)(eigenvalue and eigenvector)eigenvalue and eigenvector)2.求解分析求解分析:(p35 p35 定理定理22.11)1.(112 2 nn)线性无关线性无关2.LL ii是不变子空间是不变子空间;TTii=i i
3、i i A A 的特征值就是 的特征值就是T T 的特征值 的特征值 A A 的特征向量是 的特征向量是T T 的特征向量的坐标 的特征向量的坐标例题1(p37,例题2.1)3、特征向量的空间性质1)特征子空间:V V=|T|T=2)特征子空间的性质:(p36,定理2.2)VVii是不变子空间是不变子空间ii jj,则,则VViiVVii=0=0 1)若若ii是是kkii重特征值,则重特征值,则11dimdimVViikkii 推论:若i是单特征值,则dimVi=11)V1+V2+=Vs=V1V2Vs 2)V1V2Vs Vn(F)二、线性变换矩阵对角化的充要条件T 可以对角化T 有n 个线性无
4、关的特征向量。dimVi=n dimVi=ki 定理2.4(p39)T 可以对角化T 的变换矩阵A 可以对角化。例题2 已知 1,2,3 是空间V3(F)的基,T 是空间上如下定义的线性变换,T(1)=1 T(2)=2 2 T(3)=1+t 2+2 3讨论:t 为何值,T 有对角矩阵表示例题3 设 设,求 求R R3 3上正交变换 上正交变换P P(x x)=x-=x-(x x,u u)u u 的特征值和特征向量 的特征值和特征向量2.2 Jordan 矩阵介绍目标:目标:发展一个所有方阵都能与之相似的矩发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构阵结构-JordanJordan矩阵。矩阵。一、一、
5、JordanJordan 矩阵矩阵1.Jordan Jordan 块块(p40 p40,定义 定义2 2.3 3)1.1.形式 形式:2.2.确定因素:确定因素:3.3.Jordan Jordan 块矩阵的例子:块矩阵的例子:值 值 矩阵的阶数 矩阵的阶数例题 例题1 1 下列矩阵哪些是 下列矩阵哪些是Jordan Jordan 块?块?1)形式:2)Jordan 矩阵举例3)特点元素的结构元素的结构JordanJordan矩阵是上三角矩阵矩阵是上三角矩阵对角矩阵是对角矩阵是Jordan Jordan 矩阵矩阵2 Jordan 矩阵3 Jordan 标准形定理定理2 2.5 5(p41p41)
6、含义:含义:Jordan Jordan 矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似标准形。惟一性:惟一性:Jordan Jordan 子块的集合惟一。子块的集合惟一。AA相似于相似于BBJJAA相似于相似于JJBB二、方阵A 的Jordan 标准形的求法目标:目标:求可逆矩阵求可逆矩阵PP和和JordanJordan矩阵矩阵JJA A,使,使AP=PJAP=PJAA分析方法:分析方法:在定理在定理 2 2.5.5 的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵JJAA 和和PP的构成。的构成。求法与步骤:求法与步骤:矩阵 矩阵AA和和JJAA的特征值相等的特征值相等 细分矩阵 细分矩阵P Pi i 和
7、 和 J Ji i,在,在Jordan Jordan 块上,有 块上,有Jordan 链条,y2,ynj特征向量 特征向量广义特征向量 广义特征向量方法步骤:由特征值由特征值i i 的代数重数确定主对角线元素是的的代数重数确定主对角线元素是的 i i 的的 Jordan Jordan 矩阵矩阵JJ(i i)的阶数。的阶数。由特征值由特征值i i 对应的线性无关的特征向量的个数确对应的线性无关的特征向量的个数确定定 JJ(ii)中中Jordan Jordan 块的个数块的个数由特征向量求得的由特征向量求得的Jordan Jordan 链条的长度确定链条的长度确定JordanJordan块的阶数块
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