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1、解三角形解三角形1.2 应用举例应用举例第一章第一章 引言引言v在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,遥不可及的月亮离地球有多远呢?v1671年,两个法国天文学家测出了地球与月球之间的距离大约为385 400km,他们是怎样测出两者之间距离的呢?(1)三角形常用内角和公式:三角形常用内角和公式:1、三角形边与角的关系三角形边与角的关系:(2)大角对大边,小角对小边大角对大边,小角对小边。复习回顾复习回顾 2、正弦定理正弦定理:,其中其中R是三角形外接圆的半径,由正弦定理可以变形是三角形外接圆的半径,由正弦定理可以变形为为:2R (2);(3)sinA
2、=,sinB=,sinC=等形式等形式,以解以解决不同的三角形问题决不同的三角形问题。c=2RsinC(1)3、余弦定理余弦定理:a2=,b2=,c2=,余弦定余弦定理可以变形为理可以变形为:cosA=,cosB=,cosC=。4、S ABC=absinC=acsinB。b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosCbcsinA 5 5、正弦定理应用范围:、正弦定理应用范围:已知已知两角和任意边两角和任意边,求其他两边和一角。,求其他两边和一角。已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角,求另一边的对角求另一边的对角(注意解的情况注意解的情况)。6 6、余
3、弦定理应用范围、余弦定理应用范围:已知已知三边求三个角三边求三个角;已知已知两边和它们的夹角两边和它们的夹角,求第三边和其他,求第三边和其他两个角。两个角。(1)测量距离;)测量距离;(2)测量高度;)测量高度;(3)测量角度。)测量角度。正余弦定理在生活中的应用正余弦定理在生活中的应用正余弦定理应用一正余弦定理应用一 测量距离测量距离测量者在测量者在A A同侧,如何测定河不同岸两点同侧,如何测定河不同岸两点A、B间的距间的距离?离?AB思考思考例例1.设设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。测量者测量者在在A的同测的同测,在所在的河岸边,在所在的
4、河岸边选定一点选定一点C,测出测出AC的距离是的距离是55cm,BAC51o,ACB75o,求,求A、B两点间的距离。两点间的距离。分析:已知分析:已知三个量:两角一边三个量:两角一边,可以用正弦定理,可以用正弦定理解三角形解三角形导入导入一个不可到达点的问题一个不可到达点的问题参考数据参考数据sin75 0.96sin54 0.8解:根据正弦定理,得解:根据正弦定理,得答:答:A,B两点间的距离为两点间的距离为66米。米。例题讲解例题讲解变式1如图,A、N两点之间的距离为 .变式2为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A、B,望对岸标记物C,测得CAB30,CBA75,AB120 m,则河的宽度
5、为_答案:答案:宽度为宽度为60 m 60 m 答案:答案:40如何测定河对岸两点如何测定河对岸两点A、B间的距离?间的距离?AB思考思考解:如图,测量者可解:如图,测量者可以在河岸边选定两点以在河岸边选定两点C、D,设,设CD=a,BCA=,ACD=,CDB=,ADB=。分析:用例分析:用例1的方法,可以计算出河的这一岸的一点的方法,可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离,再测出到对岸两点的距离,再测出BCA的大小,借助于余的大小,借助于余弦定理可以计算出弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。导入导入二个不可到达点的问题二个不可到达点的问题例例2、如图、如图,A,B两点都在
6、河的对岸(不可到达),设两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量,求计一种测量,求A,B两点距离的方法两点距离的方法。解:测量者可以在河岸边选定两点解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得,测得CD=a,并且在并且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA=。在。在 ADC和和 BDC中,应用正弦定理得中,应用正弦定理得例题讲解例题讲解计算出计算出AC和和BC后,再在后,再在 ABC中,应用余弦定中,应用余弦定理计算出理计算出AB两点间的距离两点间的距离例题讲解例题讲解方法总结方法总结 距离测量问题包括距离测量问题包括(一个不可到达点一个不可到达点)和和(两个不可
7、到达点两个不可到达点)两种,设计测量方案的基两种,设计测量方案的基本原则是:能够根据测量所得的数据计算本原则是:能够根据测量所得的数据计算所求两点间的距离,计算时需要利用所求两点间的距离,计算时需要利用(正、正、余弦定理余弦定理)。解三角形应用题的一般思路:解三角形应用题的一般思路:解斜三角形应用题的一般步骤:解斜三角形应用题的一般步骤:(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图示意图(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型立一个解斜三角形的数学模型(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解出三角形,求得数学模型的解(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解义,从而得出实际问题的解课堂归纳总结课堂归纳总结课后作业课后作业
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