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1、.2012 年天津市高考数学试卷(理科)一、选择题 1(3 分)i 是虚数单位,复数=()A2+i B2i C2+i D2i 2(3 分)设 R,则“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3(3 分)阅读程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值为25 时,输出 x 的值为()A1 B1 C3 D9 4(3 分)函数 f(x)=2x+x32 在区间(0,1)内的零点个数是()A0 B1 C2 D3 5(3 分)在(2x2)5的二项展开式中,x 项的系数为()A10 B10 C40 D40 6(3
2、 分)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c已知 8b=5c,.C=2B,则 cosC=()A B C D 7(3 分)已知ABC 为等边三角形,AB=2设点 P,Q 满足,R若=,则=()A B C D 8(3 分)设 m,nR,若直线(m+1)x+(n+1)y2=0 与圆(x1)2+(y1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是()A1,1+B(,11+,+)C22,2+2 D(,222+2,+)二、填空题 9(3 分)某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取 所学校,中
3、学中抽取 所学校 10(3分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3 11(3 分)已知集合 A=xR|x+2|3,集合 B=xR|(xm)(x2)0,且 AB=(1,n),则 m=,n=12(3 分)已知抛物线的参数方程为(t 为参数),其中 p0,焦点为F,准线为 l过抛物线上一点 M 作 l 的垂线,垂足为 E若|EF|=|MF|,点 M 的横坐标是 3,则 p=.13(3 分)如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D,过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,FB=1,E
4、F=,则线段 CD 的长为 14(3 分)已知函数 y=的图象与函数 y=kx2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是 三、解答题 15已知函数 f(x)=sin(2x+)+sin(2x)+2cos2x1,xR(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)求函数 f(x)在区间上的最大值和最小值 .16现有 4 个人去参加娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏(1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率;(2)求这 4 个人中
5、去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=|XY|,求随机变量 的分布列与数学期望 E .17 如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,ACAD,ABBC,BAC=45,PA=AD=2,AC=1(1)证明:PCAD;(2)求二面角 APCD 的正弦值;(3)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30,求 AE 的长 .18 已知an是等差数列,其前n项和为Sn,bn是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4b4=10(1)求数列an与bn的通项公式;(2)记 Tn=a
6、nb1+an1b2+a1bn,nN*,证明:Tn+12=2an+10bn(nN*).19 设椭圆的左右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两点,O 为坐标原点(1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为,求椭圆的离心率;(2)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|.20已知函数 f(x)=xln(x+a)的最小值为 0,其中 a0(1)求 a 的值;(2)若对任意的 x0,+),有 f(x)kx2成立,求实数 k 的最小值;(3)证明:(nN*).2012 年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题 1(3 分)(2012天津)i 是虚数单位
7、,复数=()A2+i B2i C2+i D2i【分析】由题意,可对此代数分子分母同乘以分母的共轭,整理即可得到正确选项【解答】解:故选 B 2(3 分)(2012天津)设 R,则“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】直接把=0 代入看能否推出是偶函数,再反过来推导结论即可【解答】解:因为=0 时,f(x)=cos(x+)=cosx 是偶函数,成立;但 f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数时,=k,kZ,推不出=0 故“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的充分而不必要
8、条件 故选:A 3(3 分)(2012天津)阅读程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值为25时,输出 x 的值为().A1 B1 C3 D9【分析】根据题意,按照程序框图的顺序进行执行,当|x|1 时跳出循环,输出结果【解答】解:当输入 x=25 时,|x|1,执行循环,x=1=4;|x|=41,执行循环,x=1=1,|x|=1,退出循环,输出的结果为 x=21+1=3 故选:C 4(3 分)(2012天津)函数 f(x)=2x+x32 在区间(0,1)内的零点个数是()A0 B1 C2 D3【分析】根据函数 f(x)=2x+x32 在区间(0,1)内单调递增,f(0)f(1)0,可得函数
9、在区间(0,1)内有唯一的零点【解答】解:由于函数 f(x)=2x+x32 在区间(0,1)内单调递增,又 f(0)=10,f(1)=10,.所以 f(0)f(1)0,故函数 f(x)=2x+x32 在区间(0,1)内有唯一的零点,故选 B 5(3 分)(2012天津)在(2x2)5的二项展开式中,x 项的系数为()A10 B10 C40 D40【分 析】由 题 意,可 先 由 公 式 得 出 二 项 展 开 式 的 通 项Tr+1=,再令 103r=1,得 r=3 即可得出 x 项的系数【解 答】解:(2x2)5的 二 项 展 开 式 的 通 项 为Tr+1=令 103r=1,得 r=3 故
10、 x 项的系数为=40 故选 D 6(3 分)(2012天津)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c已知 8b=5c,C=2B,则 cosC=()A B C D【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式,求出 sinB,cosB,然后利用平方关系式求出 cosC 的值即可【解答】解:因为在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c 已知 8b=5c,C=2B,所以 8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB,所以 cosB=,B 为三角形内角,所以 B(0,)C 所以 sinB=所以 sinC=sin2B=2=,.cosC=故选:A 7(3 分)(
11、2012天津)已知ABC 为等边三角形,AB=2 设点 P,Q 满足,R若=,则=()A B C D【分 析】根 据 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 求 出,进而根据数量积的定义求出再根据=即可求出 【解答】解:,R,ABC 为等边三角形,AB=2=+(1)=22cos60+22cos180+(1)22cos180+(1)22cos60=24+44+222,=22+22=424+1=0(21)2=0 故选 A 8(3 分)(2012天津)设 m,nR,若直线(m+1)x+(n+1)y2=0 与圆(x1)2+(y1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是()A1,1+B(,11+,+).
12、C22,2+2 D(,222+2,+)【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径 r,由直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关系式,整理后利用基本不等式变形,设 m+n=x,得到关于 x 的不等式,求出不等式的解集得到 x 的范围,即为 m+n 的范围【解答】解:由圆的方程(x1)2+(y1)2=1,得到圆心坐标为(1,1),半径 r=1,直线(m+1)x+(n+1)y2=0 与圆相切,圆心到直线的距离 d=1,整理得:m+n+1=mn,设 m+n=x,则有 x+1,即 x24x40,x24x4=0 的解为:x1=2+2,x2=22,不等式变形得:(x22)(
13、x2+2)0,解得:x2+2或 x22,则 m+n 的取值范围为(,222+2,+)故选 D 二、填空题 9(3 分)(2012天津)某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取 18 所学校,中学中抽取 9 所学校【分析】从 250 所学校抽取 30 所学校做样本,样本容量与总体的个数的比为 3:25,得到每个个体被抽到的概率,根据三个学校的数目乘以被抽到的概率,分别写出要抽到的数目,得到结果【解答】解:某城地区有学校 150+75+25=250 所,现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取 30 所
14、,每个个体被抽到的概率是=,.某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所 用分层抽样进行抽样,应该选取小学150=18 所,选取中学75=9 所 故答案为:18,9 10(3 分)(2012天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 18+9 m3 【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体,长、宽、高分别为 6,3,1(单位:m),下部为两个半径均为的球体分别求体积再相加即可【解答】解:由三视图可知该几何体为上部是一个长方体,长、宽、高分别为 6,3,1(单位:m),体积 631=18 下部为两个半径均为的球体,体积 2()3=9 故所求体积等于 18
15、+9 故答案为:18+9 11(3 分)(2012天津)已知集合 A=xR|x+2|3,集合 B=xR|(xm)(x2)0,且 AB=(1,n),则 m=1,n=1 【分析】由题意,可先化简 A 集合,再由 B 集合的形式及 AB=(1,n)直接作出判断,即可得出两个参数的值【解答】解:A=xR|x+2|3=xR|5x1,又集合 B=xR|(xm)(x2)0,AB=(1,n)如图.由图知 m=1,n=1,故答案为1,1 12(3 分)(2012天津)已知抛物线的参数方程为(t 为参数),其中 p0,焦点为 F,准线为 l 过抛物线上一点 M 作 l 的垂线,垂足为 E 若|EF|=|MF|,点
16、 M 的横坐标是 3,则 p=2 【分析】把抛物线的参数方程化为普通方程为y2=2px,则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF|,可得MEF 为等边三角形,设点 M 的坐标为(3,m),则点 E(,m),把点 M 的坐标代入抛物线的方程可得 p=再由|EF|=|ME|,解方程可得 p 的值【解答】解:抛物线的参数方程为(t 为参数),其中 p0,焦点为 F,准线为 l,消去参数可得 x=2p,化简可得 y2=2px,表示顶点在原点、开口向右、对称轴是 x 轴的抛物线,故焦点 F(,0),准线 l 的方程为 x=则由抛物线的定义可得|ME|=|MF|,再由|EF|=|MF|,可得MEF 为等边三
17、角形 设点 M 的坐标为(3,m),则点 E(,m)把点 M 的坐标代入抛物线的方程可得 m2=2p3,即 p=再由|EF|=|ME|,可得 p2+m2=,即 p2+6p=9+3p,解得 p=2,或 p=6(舍去),故答案为 2 13(3 分)(2012天津)如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D,过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 AB 相.交于点 F,AF=3,FB=1,EF=,则线段 CD 的长为 【分析】由相交弦定理求出 FC,由相似比求出 BD,设 DC=x,则 AD=4x,再由切割线定理,BD2=CDAD 求解【解
18、答】解:由相交弦定理得到 AFFB=EFFC,即 31=FC,FC=2,在ABD中 AF:AB=FC:BD,即 3:4=2:BD,BD=,设 DC=x,则 AD=4x,再由切割线定理,BD2=CDAD,即 x4x=()2,x=故答案为:14(3 分)(2012天津)已知函数 y=的图象与函数 y=kx2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是(0,1)(1,4)【分析】先化简函数的解析式,在同一个坐标系下画出函数 y=的图象与函数 y=kx2 的图象,结合图象,可得实数 k 的取值范围【解答】解:y=函数 y=kx2 的图象恒过点(0,2)在同一个坐标系下画出函数 y=的图象与函数 y=
19、kx2 的图象.结合图象可实数 k 的取值范围是(0,1)(1,4)故答案为:(0,1)(1,4)三、解答题 15(2012天津)已知函数 f(x)=sin(2x+)+sin(2x)+2cos2x1,xR(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)求函数 f(x)在区间上的最大值和最小值【分析】(1)利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将 f(x)=sin(2x+)+sin(2x)+2cos2x1 化为 f(x)=sin(2x+),即可求得函数 f(x)的最小正周期;(2)可分析得到函数 f(x)在区间上是增函数,在区间,上是减函数,从而可求得 f(x)在区间上的最大值和最小值【解 答】解
20、:(1)f(x)=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcoscos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=sin(2x+),.函数 f(x)的最小正周期 T=(2)函数 f(x)在区间上是增函数,在区间,上是减函数,又 f()=1,f()=,f()=1,函数 f(x)在区间上的最大值为,最小值为1 16(2012天津)现有 4 个人去参加娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏(1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏
21、的概率;(2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;(3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=|XY|,求随机变量 的分布列与数学期望 E【分析】依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的人数的概率为 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4),故 P(Ai)=(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 P(A2);(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件 B,则 B=A3A4,利用互斥事件的概率公式可求;(3)的所有可能取值为 0,2,4,由
22、于 A1与 A3互斥,A0与 A4互斥,求出相应的概率,可得 的分布列与数学期望【解答】解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的人数的概率为 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4),P(Ai).=(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 P(A2)=;(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件 B,则 B=A3A4,P(B)=P(A3)+P(A4)=(3)的所有可能取值为 0,2,4,由于 A1与 A3互斥,A0与 A4互斥,故 P(=0)=P(A2)=P(=2)=P(A1)+P(A3
23、)=,P(=4)=P(A0)+P(A4)=的分布列是 0 2 4 P 数学期望 E=17(2012天津)如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,ACAD,ABBC,BAC=45,PA=AD=2,AC=1(1)证明:PCAD;(2)求二面角 APCD 的正弦值;(3)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30,求 AE 的长 【分析】解法一(1)以 A 为原点,建立空间直角坐标系,通过得出=0,.证出 PCAD(2)求出平面 PCD,平面 PCD 的一个法向量,利用两法向量夹角求解(3)设 E(0,0,h),其中 h0,2,利用 cos=cos30=,
24、得出关于 h 的方程求解即可 解法二:(1)通过证明 AD平面 PAC 得出 PCAD(2)作 AHPC 于点 H,连接 DH,AHD 为二面角 APCD 的平面角在 RTDAH 中求解(3)因为ADC45,故过点 B 作 CD 的平行线必与线段 AD 相交,设交点为 F,连接 BE,EF,故EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CD 所成的角在EBF 中,因为 EFBE,从而EBF=30,由余弦定理得出关于 h 的方程求解即可【解答】解法一:如图,以 A 为原点,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B(,0),P(0,0,2)(1)证明:易得=(0
25、,1,2),=(2,0,0),于是=0,所以 PCAD(2)解:=(0,1,2),=(2,1,0),设平面 PCD 的一个法向量为=(x,y,z),则即 取 z=1,则以=(1,2,1)又平面 PAC 的一个法向量为=(1,0,0),于是cos=,sin=所以二面角 APCD 的正弦值为(3)设 E(0,0,h),其中 h0,2,由此得=(,h)由=(2,1,0),故 cos=所以=cos30=,解得 h=,即 AE=.解法二:(1)证明:由 PA平面 ABCD,可得 PAAD,又由 ADAC,PAAC=A,故 AD平面 PAC,又 PC 平面 PAC,所以 PCAD(2)解:如图,作 AHP
26、C 于点 H,连接 DH,由 PCAD,PCAH,可得 PC平面 ADH,因此 DHPC,从而AHD 为二面角APCD 的平面角 在 RTPAC 中,PA=2,AC=1,所以 AH=,由(1)知,ADAH,在 RTDAH中,DH=,因此 sinAHD=所以二面角 APCD 的正弦值为(3)解:如图,因为ADC45,故过点 B 作 CD 的平行线必与线段 AD 相交,设交点为 F,连接 BE,EF,故EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CD 所成的角 由于 BFCD,故AFB=ADC,在 RTDAC 中,CD=,sinADC=,故 sinAFB=在AFB 中,由,AB=,sinFAB=sin
27、135=,可得BF=,由余弦定理,BF2=AB2+AF22ABAFcosFAB,得出 AF=,设 AE=h,在 RTEAF 中,EF=,在 RTBAE 中,BE=,在EBF 中,因为 EFBE,从而EBF=30,由余弦定理得到,cos30=,解得 h=,即 AE=.18(2012天津)已知an是等差数列,其前 n 项和为 Sn,bn是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4b4=10(1)求数列an与bn的通项公式;(2)记 Tn=anb1+an1b2+a1bn,nN*,证明:Tn+12=2an+10bn(nN*)【分析】(1)直接设出首项和公差,根据条件求出首项和公差,即可求出通项
28、(2)先写出 Tn的表达式;方法一:借助于错位相减求和;.方法二:用数学归纳法证明其成立【解答】解:(1)设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q,由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,s4=8+6d,由条件 a4+b4=27,s4b4=10,得方程组,解得,故 an=3n1,bn=2n,nN*(2)证明:方法一,由(1)得,Tn=2an+22an1+23an2+2na1;2Tn=22an+23an1+2na2+2n+1a1;由得,Tn=2(3n1)+322+323+32n+2n+2=+2n+26n+2=102n6n10;而2an+10bn12=2(3n1)+102n12=
29、102n6n10;故 Tn+12=2an+10bn(nN*)方法二:数学归纳法,当 n=1 时,T1+12=a1b1+12=16,2a1+10b1=16,故等式成立,假设当 n=k 时等式成立,即 Tk+12=2ak+10bk,则当 n=k+1 时有,Tk+1=ak+1b1+akb2+ak1b3+a1bk+1=ak+1b1+q(akb1+ak1b2+a1bk)=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q(2ak+10bk12)=2ak+14(ak+13)+10bk+124=2ak+1+10bk+112 即 Tk+1+12=2ak+1+10bk+1,因此 n=k+1 时等式成立 对任意的 nN*,T
30、n+12=2an+10bn成立 19(2012天津)设椭圆的左右顶点分别为 A,B,点 P 在.椭圆上且异于 A,B 两点,O 为坐标原点(1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为,求椭圆的离心率;(2)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|【分析】(1)设 P(x0,y0),则,利用直线 AP 与 BP 的斜率之积为,即可求得椭圆的离心率;(2)依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,设 P(x0,kx0),则,进一步可得,利用 AP|=|OA|,A(a,0),可求得,从而可求直线 OP 的斜率的范围【解答】(1)解:设 P(x0,y0),椭圆的左右顶点分别为 A,B,
31、A(a,0),B(a,0),直线 AP 与 BP 的斜率之积为,代入并整理得 y00,a2=2b2 椭圆的离心率为;(2)证明:依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,设 P(x0,kx0),ab0,kx00,.|AP|=|OA|,A(a,0),代入得 k23 直线 OP 的斜率 k 满足|k|20(2012天津)已知函数 f(x)=xln(x+a)的最小值为 0,其中 a0(1)求 a 的值;(2)若对任意的 x0,+),有 f(x)kx2成立,求实数 k 的最小值;(3)证明:(nN*)【分析】(1)确定函数的定义域,求导函数,确定函数的单调性,求得函数的最小值,利用函数 f(x)=xln
32、(x+a)的最小值为 0,即可求得 a 的值;(2)当 k0 时,取 x=1,有 f(1)=1ln20,故 k0 不合题意;当 k0 时,令 g(x)=f(x)kx2,即 g(x)=xln(x+1)kx2,求导函数,令 g(x)=0,可得 x1=0,分类讨论:当 k时,g(x)在(0,+)上单调递减,g(x)g(0)=0;当 0k时,对于,g(x)0,因此 g(x)在上单调递增,由此可确定 k 的最小值;(3)当 n=1 时,不等式左边=2ln32=右边,不等式成立;当 n2 时,在(2)中,取 k=,得 f(x)x2,从.而可得,由此可证结论【解答】(1)解:函数的定义域为(a,+),求导函
33、数可得 令 f(x)=0,可得 x=1aa 令 f(x)0,xa 可得 x1a;令 f(x)0,xa 可得ax1a x=1a 时,函数取得极小值且为最小值 函数 f(x)=xln(x+a)的最小值为 0,f(1a)=1a0,解得 a=1(2)解:当 k0 时,取 x=1,有 f(1)=1ln20,故 k0 不合题意 当 k0 时,令 g(x)=f(x)kx2,即 g(x)=xln(x+1)kx2,求导函数可得 g(x)=g(x)=0,可得 x1=0,当 k时,g(x)0 在(0,+)上恒成立,因此 g(x)在(0,+)上单调递减,从而对任意的 x0,+),总有 g(x)g(0)=0,即对任意的 x0,+),有 f(x)kx2成立;当 0k时,对于,g(x)0,因此 g(x)在上单调递增,因此取时,g(x0)g(0)=0,即有 f(x0)kx02不成立;综上知,k时对任意的 x0,+),有 f(x)kx2成立,k 的最小值为(3)证明:当 n=1 时,不等式左边=2ln32=右边,所以不等式成立 当 n2 时,在(2)中,取 k=,得 f(x)x2,(i2,iN*)=f(2)+2.ln3+=2ln3+12 综上,(nN*)
限制150内