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1、核反应堆物理分析答案第一章1-1.某压水堆采用 UO2 作燃料,其富集度为 2.43%(质量),密度为 10000kg/m3。试计算:当中子能量为0.0253eV时,UO2 的宏观吸收截面和宏观裂变截面。解:由 18 页表 1-3 查得,0.0253eV 时:sa(U 5) = 680.9b,sf(U 5) = 583.5b,sa(U 8) = 2.7b由 289 页附录 3 查得,0.0253eV 时:s(O) = 0.00027ba5以 c 表示富集铀内U-235 与U 的核子数之比,e 表示富集度,则有:235c5235c=5e+ 238(1- c )51c= (1+ 0.9874(-1
2、)-1 = 0.02465eM(UO2) = 235c5+ 238(1- c5) +16 2 = 269.9N (UO ) =21000r (UO2M(UO) NA)= 2.231028(m-3 )所以, N (U 5) = c52N (UO2) = 5.491026(m-3 )N (U8) = (1- c5)N (UO2) = 2.181028(m-3 )N (O) = 2N (UO2) = 4.461028(m-3 )S (UOa2) = N (U 5)sa(U 5) + N (U 8)sa(U 8) + N (O)sa(O)= 0.0549 680.9 + 2.18 2.7 + 4.46
3、 0.00027 = 43.2(m-1)S (UOf2) = N (U 5)sf(U 5) = 0.0549 583.5 = 32.0(m-1)1-2.某反应堆堆芯由 U-235,H2O 和 Al 组成,各元素所占体积比分别为 0.002,0.6 和 0.398,计算堆芯的总吸收截面(E=0.0253eV)。解:由 18 页表 1-3 查得,0.0253eV 时: s(U 5) = 680.9ba由 289 页附录 3 查得,0.0253eV 时: S ( Al) = 1.5m-1 , S (H O) = 2.2m-1 , M (U ) = 238.03,aa2r (U ) = 19.05 1
4、03 kg / m3可得天然U 核子数密度 N (U ) = 1000r(U )NA/ M (U ) = 4.821028(m-3 )则纯U-235 的宏观吸收截面: Sa(U 5) = N (U 5)sa(U 5) = 4.82 680.9 = 3279.2(m-1)总的宏观吸收截面: S= 0.002S (U 5) + 0.6S (H O) + 0.398S ( Al) = 8.4(m-1)aaa2a1-3 、求热中子(0.025 电子伏)在轻水、重水、和镉中运动时,被吸收前平均遭受的散射碰撞次数。-解:设碰撞次数为 tlSnss10313.67t =a =s =s =st= 156t=
5、13600t= 2.86 10-32lSnsssaaaH 2O0.66D O0.001Cd24501-4 、试比较:将 2.0MeV 的中子束强度减弱到 1/10 分别需要的 Al,Na,和 Pb 的厚度。解:查表得到E=0.0253eV 中子截面数据:asAl:0.0150.084Na:0.0130.102Pb:0.0060.363Al 和Na 的宏观吸收截面满足 1/v 律。Q:铅对 2MeV 中子的吸收截面在屏蔽中是否可以忽略?(在跨越了可分辨共振区后截面变得非常小)a=a(0.0253)(0.0253/2106)1/2aAl0.016910-4Na0.014610-4窄束中子衰减规律:
6、I=I0e -x I=(1/10)I0 x=(ln10)/因此若只考虑吸收衰减:xAl=136.25104m xNa=157.71104m对于轻核和中等质量核,弹性散射截面在eV几MeV 范围内基本不变。所以只考虑弹性散射截面时,结果如下: (相比较之下能量为 2MeV 时,弹性散射截面要比吸收界面大很多)但是不清楚对于重核铅弹性截面基本不变的假设是否成立?xAl=27.41m xNa=22.57m xPb=6.34m1-6PV = fVS 3.210-11P2 107f = 1.251017 m2S 3.210-115 3.210-11hh1-7有一座小型核电站,电功率为15 万千瓦,设电站
7、的效率为27%,试估算该电站反应堆额定功率运行一小时所消耗的铀-235 数量。EP t解:热能:E=e =e th裂变 U235 核数:Eth5 fn= 200 106 1.6 10-19Pn=e t5 fh 200 106 1.6 10-19=15104 103 36000.27 200106 1.6 10-19= 6.251022s680.9俘获加裂变 U235 核数:n= n55 f s a = 6.251022 f583.5消耗 U235 总质量量: 7.30 1022n7.30 1022m=55NAM= 23556.02 1023 28.5g8、某反应堆在额定功率500 兆瓦下运行了
8、31 天后停堆,设每次裂变产生的裂变产物的放射性活度为1.0810-16t-1.2居里。此处 t 为裂变后的时间,单位为天,试估算停堆 24 小时堆内裂变产物的居里数解:E= 500106 24 3600JdayEn=dayday200106 1.6 10-19= 500106 24 3600 200106 1.6 10-19= 1.35102431A = 1.351024 1.0810-16 t -1.2 dt1= 3.62 108 Ci1-9设核燃料中铀-235 的浓缩度为 3.2%(重量),试求铀-235 与铀-238 的核子数之比。1c= 1+ 0.9874(-1)-15e1nc0.0
9、324= 1+ 0.9874(-1)-10.032= 0.03245 =5n1- c85= 0.03351- 0.03241-10.为使铀的1.7,试求铀中 U-235 富集度应为多少(E=0.0253eV)。解:由 18 页表 1-3 查得,0.0253eV 时:sa, v(U 5) = 2.416(U 5) = 680.9b,sf(U 5) = 583.5b,sa(U 8) = 2.7bv(U 5)Sv(U 5)N (U 5)s(U 5)由定义易得:h =Sf =aN (U5)sa(U 5) +fN (U8)sa(U8)f N (U 8) = N (U 5) ( v(U 5)s(U 5)
10、-s(U 5)s (U 8)ha a为使铀的1.7, N (U 8) =富集N (U 5) ( 2.416 583.5 - 680.9) = 54.9N (U 5) 2.71.711.、为了得到 1 千瓦时的能量,需要使多少铀-235 裂变解:设单次裂变产生能量 200MeVE = 1000 3600 = 3.6 106JU235 裂变数: n5=E200 106 1.6 10-193.6 106200 106 1.6 10-19U235 质量:= 1.125 1017n3.6 106m=55NAM= 2355200 106 1.6 10-19 6.02 1023= 0.4310-4 g1-1
11、2 反应堆的电功率为 1000 兆瓦,设电站的效率为 32%。问每秒有多少个铀-235 发生裂变?问运行一年共需消耗多少公斤易裂变物质?一座相同功率煤电厂在同样时间需要多少燃料?已知标准煤的燃烧热为Q=29 兆焦/公斤。每秒钟发出的热量: E =PT1000 106= 3.125 109 Jh0.32每秒钟裂变的U235: N = 3.125 1010 3.125 109 = 9.76561019 (个)运行一年的裂变的U235: N = N T = 9.7656 1019 365 24 3600 = 3.07971027 (个)消耗的u235 质量:(1+a )N (1+ 0.18) 3.0
12、7971027 235m = A = 1.4228106 g = 1422.8kgN6.0221023AE1109 365 24 3600需消耗的煤: m = 3.3983109 Kg = 3.3983 106 吨Q0.32 2.9107. 一核电站以富集度 20%的 U-235 为燃料,热功率 900MW,年负荷因子(实际年发电量/额定年发电量)为 0.85, U-235的俘获裂变比取 0.169,试计算其一年消耗的核燃料质量。解:该电站一年释放出的总能量= 900 106 0.85 3600 60 24 365 = 2.41251016 J对应总的裂变反应数=2.4125 1016200
13、106 1.6 10-19= 7.54 1026因为对核燃料而言:st = s f +sg核燃料总的核反应次数= 7.54 1026 (1+ 0.169) = 8.811026消耗的U-235 质量=8.811026 235 = 344(kg)6.02 1023 1000消耗的核燃料质量= 344/ 20% = 1720(kg)第二章.某裂变堆,快中子增殖因数 1.05,逃脱共振俘获概率 0.9,慢化不泄漏概率 0.952,扩散不泄漏概率 0.94,有效裂变中子数 1.335,热中子利用系数 0.882,试计算其有效增殖因数和无限介质增殖因数。解: 无限介质增殖因数: k= e pf h =
14、1.1127不泄漏概率: L = L L= 0.952 0.94 = 0.89488sd有效增殖因数: k= k L = 0.9957eff2-1.H 和 O 在 1000eV 到 1eV 能量范围内的散射截面近似为常数,分别为 20b 和 38b。计算 H2O 的 以及在 H2O中中子从 1000eV 慢化到 1eV 所需的平均碰撞次数。解:不难得出,H2O 的散射截面与平均对数能降应有下述关系:H2OH2O = 2HH + OO即:(2H + O ) H2O = 2HH + OO H2O =(2HH + OO)/(2H + O )查附录 3,可知平均对数能降:H=1.000,O=0.120
15、,代入计算得:H2O = (2201.000 + 380.120)/(220 + 38) = 0.571可得平均碰撞次数:Nc = ln(E2/E1)/ H2O = ln(1000/1)/0.571 = 12.09 12.1c2-6.在讨论中子热化时,认为热中子源项 Q(E)是从某给定分界能 Ec 以上能区的中子,经过弹性散射慢化而来的。设慢化能谱服从(E)=/E 分布,试求在氢介质内每秒每单位体积内由 Ec 以上能区,(1)散射到能量 E(EE)(2)利用上一问的结论:S fE(1-a) Ecsg-1S fE1S fE- EEQ= Eg-1 Q(E)dE =-saEg-1dE =s(g -1
16、g -a ln g -1 )gE(1-a)gEgEE(1-a)EEgcg2-8.计算温度为 535.5K,密度为 0.802103 kg/m3 的 H2O 的热中子平均宏观吸收截面。解:已知H2O 的相关参数,M = 18.015 g/mol, = 0.802103 kg/m3,可得:103 rNA =0.802 106 6.0231023N =M18.015= 2.681028m-3已知玻尔兹曼常数 k = 1.3810-23 JK-1,则:MkT= 1.38 10-23535.5 = 739.0 (J) = 0.4619 (eV)查附录 3 ,得热中子对应能量下, a = 0.664 b,
17、 = 0.948 , s = 103 b, a = 0.664 b,由“ 1/v”律:s (kTaM) = sa(0.0253) 0.0253/ kTM= 0.4914 (b)由 56 页(2-81)式,中子温度:2 ASaM(kT)2 18 N 0.4914T= T1+ 0.46nMS535.51+ 0.46s (0.0253)a1.128293Tn0.6642931.128577.8sN 103 =577.8 (K)对于这种”1/v”介质,有:ns=a=0.4192 (b)所以: S= Ns= 2.68 0.4108 = 1.123 (m-1)aa三章3.1 有两束方向相反的平行热中子束射
18、到 235U 薄片上,设其上某点自左面入射的中子束强度为1012 cm-2s-1。自右面入射的中子束强度 21012 cm-2s-1。计算:(1) 该点的中子通量密度;(2) 该点的中子流密度;(3) 设 a = 19.2102 m-1,求该点的吸收率。解:(1)由定义可知:f = I + I -= 31012 (cm-2s-1)(2) 若以向右为正方向: J = I +- I -= -11012 (cm-2s-1)可见其方向垂直于薄片表面向左。(3) Ra= S f = 19.231012 = 5.761013 (cm-3s-1)a3.2 设在 x 处中子密度的分布函数是n(x, E,e-
19、x / leaE (1+ cos m)W) =n2p0其中:, 为常数, 是W 与 x 轴的夹角。求:(1) 中子总密度 n( x );(2) 与能量相关的中子通量密度( x, E );(3) 中子流密度 J( x, E )。解:由于此处中子密度只与W 与 x 轴的夹角有关,不妨视 为极角,定义为方向角,则有:W(1)根据定义:平面的投影上与 Z 轴的夹角 W 在 Y-Zn(x) =dEp02+n04pe- x / l eaE (1+ cos m)d0= + dE 2p djp n000 2pe- x / l eaE (1+ cos m)sin md m= n e- x / l + eaEdE
20、 p (1+ cos m)sin md m000可见,上式可积的前提应保证 0,则有:eaE+ppn(x) = n e- x / l ()( sin md m + cos m sin md m)0a00n e- x / lm p02n e- x / l= -0 a(-cos0+ 0) = -0 a2( )令 mn为中子质量,则 E = mnv2 / 2 v(E) =2E / mnf (x, E) = n(x, E) v(E) =2E / mnn(x, E, W)d W = 2n e- x / leaE2E / mn4p0(等价性证明:如果不作坐标变换,则依据投影关系可得:cos m = sin
21、q cosj则涉及角通量的、关于空间角的积分: (1+ cos m)d W = 2p djp (1+ sinq cosj)sin q dq4p00= 2p djp sinqdq + 2p cosjdjp sin2 qdq0000= 2p(-cosq p ) + (sinj 2p p sin2 q dq) = 4p + 0 = 4p对比:000 (1+ cos m)d W = 2p djp (1+ cos m)sin md m4p00= 2p djp sin md m + 2p djp sin m cos md m0000= 2p(-cos mp ) + (2pp sin m cos md m)
22、 = 4p + 0 = 4p00可知两种方法的等价性。)Wf(x, E, W)d W = Wn(x, E, W)v(E)d W(3)根据定义式:J (x, E) = n e- x / l eaE2E / m0n4p4p=2pdjp cos m(1+ cos m)sin md m2p00= n e- x / l eaE 02E / mn(p cos m sin md m + p cos2 m sin md m)00cosn+1 x利用不定积分: cosnx sin xdx = -+ C(其中n 为正整数),则:n +1J (x, E) = n0e- x / l eaE2E / mn(0 -) =
23、cos3 m p32n e- x / l eaE2E / m0n303.7 设一立方体反应堆,边长 = 9 m。中子通量密度分布为s-1 )f (x, y, z )= 31013 cos(p x )cos( p y )cos( p z )(cm-2aaa已知 D = 0.8410-2m,L = 0.175 m。试求:(1) J (r) 表达式;(2) 从两端及侧面每秒泄漏的中子数;(3) 每秒被吸收的中子数(设外推距离很小可略去)。0解:有必要将坐标原点取在立方体的几何中心,以保证中子通量始终为正。为简化表达式起见,不妨设 = 31013 cm-2 s-1。(1) 利用Ficks Law:J
24、(r) = J (x, y, z) = -D gradf(x, y, z) = -D( f i + f j + f k )xyz= Df p sin(p x ) cos(p y ) cos(p z )i + sin(p y ) cos(p x ) cos(p z ) j + sin(p z ) cos(p x ) cos(p y )k J (r) = J (r)psin2 (p x )cosp y2 ()cosp z2 () + sin2 (p y )cosp x2 ()cosp z2 () + sin2 (p z )cosp xp y2 () cos2 (aaaaaaaaaa0 aaaaaa
25、aaaa= Df0计算上端面的泄漏率:(2) 先L= J (r) kdS = Dfp a / 2 dxa / 2pp xp y a sin(p ypasin()cos()cos()dyz =a / 2S ( z =a / 2)0 a-a / 2-a / 22aa= Dfpap x a / 2a / 20 a p sin( a )f a- a / 2)= 4D0 p- a / 2同理可得,六个面上总的泄漏率为:L =6 4Df a = 24 0.84 10-2 31013 104 9= 1.71017 (s-1)0 p3.14其中,两端面的泄漏率为 L/3 = 5.81016 (s-1);侧面的
26、泄漏率为 L-L/3 = 1.21017 (s-1) (如果有同学把问题理解成六个面上总的泄漏,也不算错)(3) 由 L2= D / Sa可得Sa= D / L2由于外推距离可忽略,只考虑堆体积内的吸收反应率:Dp xp yp zD2a R dV = S fdV =fa / 2dxa / 2 dya / 2cos()cos()cos()dz =f ()3VaVaL20-a / 2-a / 2-a / 2aaaL20p0.84 10-22 18= 31017 ()3= 1.241020 (s-1)0.17523.143.8 圆柱体裸堆内中子通量密度分布为f(r, z) = 1012 cos(p
27、zH)J (02.405r Rs-1 )(cm-2其中,H,R 为反应堆的高度和半径(假定外推距离可略去不计)。试求:(1) 径向和轴向的平均中子通量密度与最大中子通量密度之比;(2) 每秒从堆侧表面和两个端面泄漏的中子数;HR(3) 设= 7 m, = 3 m,反应堆功率为 10 MW,f,5= 410 b,求反应堆内 235U 的装载量。0解:有必要将坐标原点取在圆柱体的几何中心,以保证中子通量始终为正。为简化表达式起见,不妨设 = 1012 cm-2 s-1。且借用上一题的D 值。(1)先考虑轴向:f = H / 2z- H / 2fdz / H / 2- H / 2dz = H / 2
28、 f- H / 20cos(p z )JH0( 2.405r )dr / H Rf2.405rHp zH / 22 f2.405r=0 JH0(R) p sin( H )= p- H / 2J ()00R且f = - p fsin(p z )J( 2.405r ) 在整个堆内只在z = 0 时为 0,故有:zH0H0Rfz ,max= f(r,0) = f J00( 2.405r )Rf / f= 2 f J( 2.405r ) / f J( 2.405r ) = 2zz ,maxp00R00Rp径向:f = R fdr / R dr = R fcos(p z )J( 2.405r )dr /
29、 Rr0000H0R且f = fcos(p z )J ( 2.405r ) = - 2.405 fcos(p z )J( 2.405r ) 在整个堆内只在r= 0 时为 0,故有:r0H0RR0H1Rfr ,max= f(0, z) = f0cos(p z )Hf / f= f cos(p z )R J( 2.405r )dr / Rfcos(p z ) = R J( 2.405r )dr / Rrr ,max0H00R0H00R已知 2.405 J00(x)dx = 1.47 ,所以:f / frr ,max= 1.47 R / R = 0.6112.405(2) 先计算上端面的泄漏率:Lz
30、 =H / 2= J (r) e dS = zS ( z =H / 2)-D gradf(r, z) e dSzS ( z =H / 2)= -D2p djR f rdr= -D2p djR -psin(p z )rJ( 2.405r )dr00 z00HH0Rz =H / 2z =H / 2fp -pR2.405rR2p Df R2= -D2rJ ()=0J (2.405)0H2.4051R2.405H10易知,两端面总泄漏率为2 2p Df R20J(2.405) = 2.931014 (s-1)2.405H1侧面泄漏率:Lr = R= J (r) e dS = rS (r =R )-D
31、gradf(r, z) e dSrS (r = R )= -D2p djH / 2fRdz0- H / 2 rr = R利用Bessel 函数微分关系式: J = - J ,且已知 J(2.405) = 0.5191,可得:0110J (2.405r / R)2.4052.405rr所以:= -J ()R1Rfp -2.405Hp zH / 22 2.405HDfLr =R= -D20RRJ1 (2.405) p sin( H )=- H / 20 Jp1(2.405) = 4.681014 (s-1)(3) 已知每次裂变释能ES fdV = Ef N sfdVf5f ,5fP = E= 20
32、0MeV = 200106 1.610-19= 3.210-11 (J)fVVEsPffdVf ,5所以: N=5其中:fdV = H / 2Vdz2p djR fcos(p z )J( 2.405r )rdr- H / 2V000H0R= 2pf H0psin(p z ) H / 2H- H / 2R rJ0( 2.405r )dr0R利用Bessel 函数的积分关系式: xn J(x)dx = xn J,可得n-1nrJ( 2.405r )dr =RrJ( 2.405r )0R2.4051R已知:J1(0) = 0,J1(2.405) = 0.5191,所以:2HR4fdV =2pfRJ
33、(2.405) =fHR2 J(2.405) = 5.441017 (ms -1)V所以:0p2.40512.40501N=P= 106/(3.210-1141010-285.441017) = 1.401024 (m-3)5E sff ,5fdVV所需 235U 装载量:m= 10-3 N VM/ N555A= 10-31.4010243.14327235/(6.021023 ) = 108 (kg)3.9 试计算 E = 0.025 eV 时的铍和石墨的扩散系数。解:查附录 3 可得,对于 E = 0.025 eV 的中子:Be CS s /m-1 8.653.851- m00.92590
34、.9444对于Be:lD =tr3l=s3(1- m )0=13S (1- m )s0= 0.0416 (m)同理可得,对于C: D = 0.0917 (m)N (293K )s (293K )N (T )s (T )sr(293K )r(T )3-12 试计算 T = 535 K,= 802 kg/m3 时水的热中子扩散系数和扩散长度。解:查 79 页表 3-2 可得,294K 时: D = 0.0016 m,由定义可知:D(T )l (T ) / 31/ S(T )D(293K ) =所以:trl(293Ktr=) / 31/s=S (293K )ssD = r(293 K )D(293
35、K ) / r = 0.00195 (m)(另一种方法:如果近似认为水的微观散射截面在热能区为常数,且不受温度影响,查附表3 可得:s = 10310-28 m2 ,1- ms0= 0.676,sa= 0.66410-28 m2在 T = 535 K,= 802 kg/m3 时,水的分子数密度:103 r NN =MA= 1038026.021023 / 18 = 2.681028 (m-3)所以: S = Ns= 276 (m-1)sslD =tr3l=s3(1- m )0=13S (1- m )s0= 1/(32.681030.676)= 0.00179 (m)这一结果只能作为近似值)aM中子温度利用 56 页(2-81)式计算:2 AS(kT)2 As(kT)T= TnM1+ 0.46aM = TSMs1+ 0.46ssM其中,介质吸收截面在中子能量等于 kT= 7.281021 J = 0.0461 eV0.0253/ 0.0461再利用“1/v”律:s (kTaM) = sa(0.0253eV )=0.4920 (b)Tn = 535( 1 + 0.46360.4920 / 103 ) = 577 (K)(若认为其值与在 0.02
限制150内