矩阵的相似变换和特征值.ppt
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1、矩阵的相似变换和特征值现在学习的是第1页,共28页第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 一一.特征值特征值,特征向量的定义和计算特征向量的定义和计算 1.设设A是是n阶方阵阶方阵,为数为数,为为n维维非零非零向量向量.若若A =,则称则称 为为A的的特征值特征值,称称 为为A 的对应于的对应于 的的特征向量特征向量.2.由由A =得齐次线性方程组得齐次线性方程组(IA)=,它有非零解它有非零解系数行列式系数行列式|IA|=0,这个这个 关于关于 的一元的一元n次方程次方程,称为称为A的的特征方程特征方程,|IA|称为称
2、为A的的特征多项式特征多项式.现在学习的是第2页,共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 例例1.求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解:所以所以A的特征值为的特征值为 1=2,2=4.解之得解之得 A的对应于的对应于 1=2的特征向量为的特征向量为 对于对于 1=2,(2IA)x=即即 现在学习的是第3页,共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变
3、换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 解之得解之得 A的对应于的对应于 2=4的特征向量为的特征向量为 对于对于 2=4,(4IA)x=即即 例例1.求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解:所以所以A的特征值为的特征值为 1=2,2=4.现在学习的是第4页,共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量
4、解解:|IA|=(2)(1)2.所以所以A的特征值为的特征值为 1=2,2=3=1.对于对于 1=2,求得求得(2IA)x=的基础解系的基础解系:p1=(0,0,1)T.对应于对应于 1=2的特征向量为的特征向量为kp1(0 k R).对于对于 2=3=1,求得求得(IA)x=的基础解系的基础解系:p2=(1,2,1)T.对应于对应于 2=3=1的特征向量为的特征向量为kp2(0 k R).例例2.求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.现在学习的是第5页,共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5
5、.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 解解:|IA|=(+1)(2)2.所以所以A的特征值为的特征值为 1=1,2=3=2.(IA)x=的基础解系的基础解系:p1=(1,0,1)T.对应于对应于 1=1的特征向量为的特征向量为kp1(0 k R).(2IA)x=的基础解系的基础解系:p2=(0,1,1)T,p3=(1,0,4)T.对应于对应于 2=3=2的特征向量为的特征向量为k2p2+k3p3 (k2,k3不同时为零不同时为零).例例3.求求 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.现在学习的是第6页,共28页第五章第五章第五章第五章
6、矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 例例4 4.设设设设 为方阵为方阵A的特征值的特征值的特征值的特征值,证明证明 2 2为为为为A A2 2的特征值的特征值.证明证明证明证明:因为因为因为因为 为为为为A的特征值的特征值的特征值的特征值,即有非零向量即有非零向量x x使使使使Ax x=x x,于是于是于是于是(A A2)x=A A(Ax)=A(x)=(Ax x)=)=2x,所以所以所以所以 2 2为为为为A A2的特征值的特征值.例例
7、5 5.设设设设 为方阵为方阵A A的特征值的特征值的特征值的特征值,证明证明证明证明 ()=2)=2 2 3 3 +4.为为 (A A)=2A2 2 3 3A+4I的特征值的特征值.证明证明:因为因为因为因为 为为为为A A的特征值的特征值,即有非零向量即有非零向量x使使使使A Ax x=x x,于是于是于是于是(A)x=(2A2 2 3A A+4I)x x =2 =2(A A2 2)x x 3Ax x+4+4x =2 2 2x 3 x x+4x x =(2 2 2 3 +4)x =()x x,所以所以所以所以f f()为为为为f(A A)的特征值的特征值.现在学习的是第7页,共28页第五章
8、第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 二二.特征值特征值,特征向量的特征向量的性质性质 定理定理5.1.设设 1,n(实数或复数实数或复数,可以重复可以重复)是是n阶方阵阶方阵A=aij的的n个个特征值特征值,即即|IA|=(1)(2)(n).则则 i=trA=aii n n i i=1 =1 n n i i=1 =1 i=detA=|A|n n i i=1 =1 现在学习的是第8页,共28页第五章第五章第五章第五章
9、矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 定理定理5.2.设设 是方阵是方阵A的的一个特征值一个特征值,f是一个是一个多项式多项式,则则f()是方阵是方阵f(A)的的一个特一个特征值征值.推论推论.若若f是多项式是多项式,A是是一个一个方阵方阵,使使f(A)=O(这时称这时称f为为A的一个的一个零化零化多项式多项式),则则A 的任的任一特征值一特征值 必满足必满足f()=0.注注:A的零化多项式的根未必都是的零化多项式的根未必都是A的特征值的
10、特征值.例如例如f(x)=x2 1,A1=1 0 0 1,A2=1 0 0 1,A3=0 11 0.现在学习的是第9页,共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 5.2 相似矩阵相似矩阵 一一.相似矩阵的定义和性质相似矩阵的定义和性质 设设A,B都是都是n阶方阵阶方阵,若有可逆矩阵若有可逆矩阵P,使得使得 P 1AP=B,则称矩阵则称矩阵A与与B相似相似.记为记为AB.P称为称为相似变换矩阵相似变换矩阵或或过渡矩阵过渡矩阵.易见易见,矩阵间的相似关系满足矩阵间的相
11、似关系满足(1)反身性反身性:AA;(2)对称性对称性:AB BA;(3)传递性传递性:AB,BC AC.即矩阵间的相似关系是一种等价关系即矩阵间的相似关系是一种等价关系.且且A与与B相似相似 A与与B相抵相抵.但反之未必但反之未必.现在学习的是第10页,共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 命题命题:设设AB,f是一个多项式是一个多项式,则则f(A)f(B).证明证明:设设P 1AP=B,f(x)=anxn+a1x+a0,则则 P 1f(A)P=anP 1A
12、nP+A1p 1AP+a0 P 1IP=an(P 1AP)n+a1P 1AP+a0I=P 1(anAn+a1A+a0I)P=anBn+a1B+a0I=f(B).现在学习的是第11页,共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 定理定理5.5.设设n阶方阵阶方阵A与与B相似相似,则有相同的特则有相同的特 征多项式和特征值征多项式和特征值.事实上事实上,设设P 1AP=B,则则|IA|=|P 1|IA|P|=|IB|.注注:特征多项式相同的矩阵未必相似特征多项式相同的矩
13、阵未必相似.例如例如 A=1 0 1 1,B=1 0 0 1,它们的特征多项式都是它们的特征多项式都是(1)2.但是若有但是若有P 1AP=B,则则A=PBP 1=B.矛盾矛盾!现在学习的是第12页,共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 二二.方阵与对角矩阵相似的充要条件方阵与对角矩阵相似的充要条件 定理定理5.6.n阶方阵阶方阵A与对角矩阵相似的充要条与对角矩阵相似的充要条 件是件是A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.证明证明:(必要性必要性)
14、设设P 1AP=diag 1,2,n,则则AP=Pdiag 1,2,n,即即P 的列向量依次为的列向量依次为p1,p2,pn.Ap1,p2,pn=1p1,2p2,npn,可见可见,p1,p2,pn就是就是A的的n个线性无关个线性无关 的特征向量的特征向量.现在学习的是第13页,共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 于是于是P 1AP=diag 1,2,n,p1,p2,pn,对应的特征值依次为对应的特征值依次为 1,2,n,(充分性充分性)设设A的的n个线性无关
15、的特征向量依次为个线性无关的特征向量依次为 则则Ap1,p2,pn=1p1,2p2,npn.记记P=p1,p2,pn,则上式可写成则上式可写成 AP=Pdiag 1,2,n,二二.方阵与对角矩阵相似的充要条件方阵与对角矩阵相似的充要条件 定理定理5.6.n阶方阵阶方阵A与对角矩阵相似的充要条与对角矩阵相似的充要条 件是件是A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.现在学习的是第14页,共28页第五章第五章第五章第五章 矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵 推论推论a.n阶复方阵阶复方阵
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- 矩阵 相似 变换 特征值
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