矩阵的相似变换和特征值课件.ppt
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1、奄济舵蛾热柒着剔列入亨汾免烩芝侧北厩蒲审蓖磺门扎煎柠改缺泪铀绿兄矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08第五章 矩阵的相似变换和特征值 5.1 方阵的特征值和特征向量(2学时)一.特征值、特征向量的定义和计算 5.2 相似矩阵(2学时)5.3 实对称矩阵的相似对角化(2学时)二.特征值、特征向量的性质 初等变换 相抵 等价类的不变量矩阵的秩相抵标准形不变量的特例是爵薯布橱义坞狸旦峡糠农逻撇罪炔乐抒必酮英少赐软诬旗虱沧焙例跪即贿矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-081.定义=n阶方阵 非零向量 特征值(eigenvalue)特征向量(eigenvector)对应
2、 第五章 第五章 矩阵的相似变换和特征值 矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量 方阵的特征值和特征向量 5.1 方阵的特征值和特征向量 一.特征值、特征向量的定义和计算 A 数 注1.几何意义A3 3y=A=/y=A 注2.否则,=,R,A=但是可以=0,此时,A=0=核狠陀唐酥俯诗亡僻过夷压豹身首蔡渡葵琐程别愉鞍卷撅同集唐饼溶怎态溺矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08第四章 第四章 矩阵的特征值和特征向量 矩阵的特征值和特征向量 4.2 4.2 特征值与特征向量 特征值与特征向量 A=(IA)=0|IA|=0 特征方程=a11 a12 a1n a
3、21 a22 a2n an1 an2 ann 特征多项式 特征值 特征向量 对每个,求(IA)x=0的基础解系 1,2,t对应于的所有特征向量为 k11+k22+ktt,k1,kt 不全为0.2.计算 先解|IA|=0,求出所有特征值,斩烷篙诅铡毛柜晚吗寅怠听浙皇漂撮负弓池权涤糕曾顽冤馏赫萨蔫研居龟矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08第五章 第五章 矩阵的相似变换和特征值 矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量 方阵的特征值和特征向量 解:|IA|=(+1)(2)2.所以A的特征值为1=1,2=3=2.(IA)x=的基础解系:p1=1,0,1T.对应
4、于1=1的特征向量为k1p1(0 k1R).(2IA)x=的基础解系:p2=0,1,1T,p3=1,0,4T.对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3(k2,k3不同时为零).例1.求 的特征值和特征向量.疾碘鸵踞聊区座辫缆碱募魔赎剁窑躺际渡失婴笼酸撰簧胀六犹担帅丙沮哑矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08 解:|IA|=(2)(1)2.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,求得(2IA)x=0 的基础解系:p1=0,0,1T.对应于1=2的特征向量为k1p1(0 k1R).对于2=3=1,求得(IA)x=0 的基础解系:p2=1,2,1T.对应于2=3=1的
5、特征向量为k2p2(0 k2R).例2.求 的特征值和特征向量.第四章 第四章 矩阵的特征值和特征向量 矩阵的特征值和特征向量 4.2 4.2 特征值与特征向量 特征值与特征向量 愉狱蓉婉归匈希场钟磐谭霓示煽潍拓忌胁标稻矩氏廷滴孙彭拌耻父季秩传矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08例3.设1,2为方阵A的两个不同的特征值,p1,p2依次为对应于1,2的特征向量,证明p1,p2线性无关.证明:若k1 p1+k2 p2=,(1)这就证明了p1,p2是线性无关的.则A(k1 p1+k2 p2)=k1Ap1+k2 Ap2=k11 p1+k22 p2=(2)Ap1=1 p1,Ap2=2
6、 p2,2(1)(2),得(2 1)k1 p1=2 1,p1 k1=0 k2 p2=p2 k2=0对应于不同特征值的特征向量线性无关.时仍掩陈禄坑琼吃面心氰硼画唾冰祟督绊面瓤咯泌驰馏滋纶鲜婿砷衡蚁窖矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08第四章 第四章 矩阵的特征值和特征向量 矩阵的特征值和特征向量 4.3 4.3 矩阵可相似对角化的条件 矩阵可相似对角化的条件 定理5.4.1,2,s 不同值 11,k1,12,k2,1s,ks 1 1 2 2 s s 命题.1 11,s s l.i.l.i.11,r r l.i.l.i.2 A 1,s,1,r线性无关 l.i.l.i.l.i.
7、l.i.l.i.l.i.线性无关命题.对应于不同特征值的特征向量线性无关.兆淫涸锅兢待拳半掖腆神缝挟仓喊居窃浆但裹贞沃锥硷奋屿讼施骏但罗食矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08第五章 第五章 矩阵的相似变换和特征值 矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量 方阵的特征值和特征向量 二.特征值、特征向量的性质 定理5.1.设1,n(实数或复数,可以重复)是n阶方阵A=aij的n个特征值,即|IA|=(1)(2)(n).则 i=trA=aii n n i i=1=1 n n i i=1=1 i=detA=|A|n n i i=1=1 证明:|IA|=(1)(
8、2)(n)补敏借枢琐漂占涅斌标担万捎靖烯祖讣瑰碑七桌项饯哈爹撒党拢嫩喉壳淤矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08第五章 第五章 矩阵的相似变换和特征值 矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量 方阵的特征值和特征向量 定理5.1.设1,n(实数或复数,可以重复)是n阶方阵A=aij的n个特征值,则 i=trA=aii n n i i=1=1 n n i i=1=1 i=detA=|A|n n i i=1=1 推论1:方阵A可逆 A的特征值均不为0.证明:A的特征值均不为0,则 i 0n n i i=1=1|A|=所以A可逆.必要性:设是A的任一个特征值,
9、则,s.t.,若=0,A=,因为A可逆,A1A=,产生矛盾.鸦潦慰搭靶馁呻楷众磊研横值雌舱掳蕴腮乱奋协严怎馒夜擒孙峡辩略搞退矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08第五章 第五章 矩阵的相似变换和特征值 矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量 方阵的特征值和特征向量 定理5.1.设1,n(实数或复数)是n阶方阵A=aij的n个特征值,则 i=trA=aii,n n i i=1=1 n n i i=1=1 i=|A|n n i i=1=1 推论1:方阵A可逆 A的特征值均不为0.证明:设,s.t.,A=,A1A=A1 推论2:方阵A可逆,是A的特征值,则1
10、/是A1的特征值,|A|/是A*的特征值.因为A可逆,A1=1/,则1/是A1的特征值.AA*=|A|I,A可逆 A*=|A|A1,A*=|A|A1=|A|/,则|A|/是A*的特征值.俱交欢沂俩胳芍糙溶瓦涯运怨授酗榆问瓶湍足穆泉锑瓶鹏祸逛渣象浚聘韶矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08第五章 第五章 矩阵的相似变换和特征值 矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量 方阵的特征值和特征向量 定理5.1.设1,n(实数或复数)是n阶方阵A=aij的n个特征值,则 i=trA=aii,n n i i=1=1 n n i i=1=1 i=|A|n n i i=
11、1=1 推论1:方阵A可逆 A的特征值均不为0.证明:推论2:方阵A可逆,是A的特征值,则1/是A1的特征值,|A|/是A*的特征值.性质1:若是方阵A的特征值,则也是AT 的特征值.|IA|=|(IA)T|=|IAT|性质2.设是A的特征值,则k是Ak的一个特征值.证明:因为为A的特征值,即 使A=,于是(A2)=A(A)=A()=(A)=2,使(Ak)=k,即k也是Ak的特征值.纷辈板腋升滴享偷肆谗毗骏淖膨做泛挞原膳柬哎汗巧俘动酱蜂泊服噬浮横矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08第五章 第五章 矩阵的相似变换和特征值 矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和
12、特征向量 方阵的特征值和特征向量 定理5.2.设是方阵A的一个特征值,f是一个多项式,则f()是方阵f(A)的一个特征值.证明:因为为A的特征值,则k是Ak的特征值.对于f()=ass+a1+a0,f(A)=asAs+a1A+a0=ass+a1+a0=f(),使 f(A)=f().则f()是方阵f(A)的一个特征值.日炯虾辫迪孜击梧梭扔忙变毛跺闽卖吸把巩充菱媒良射自座与庇霓厢尘欢矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08第五章 第五章 矩阵的相似变换和特征值 矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量 方阵的特征值和特征向量 定理5.2.设是方阵A的一个特征值
13、,f是一个多项式,则f()是方阵f(A)的一个特征值.推论3.若f 是多项式,A是一个方阵,使f(A)=O(称f为A的一个零化多项式),则A的任一特征值必满足f()=0.f()=O=f()=0证明:对A的任一特征值,f()是f(A)的一个特征值.则 使 f(A)=f().因为f(A)=O甭吮肥适狸秀淑熄捅捻诛篓嘶糟厕廓颗略附蜕钳个抱驶峙肖辐贸淤闽披块矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08第五章 第五章 矩阵的相似变换和特征值 矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量 方阵的特征值和特征向量 推论3.若f是多项式,A是一个方阵,使f(A)=O 则A 的任一
14、特征值 必满足f()=0.注1:A的零化多项式的根是A的所有可能的特征值.例4.若 A2=I,求A的所有可能的特征值.A1=1 0 0 1,A2=1 0 0 1,A3=0 11 0.A 的任一特征值都是零化多项式的根.1=2=1 1=2=11=1,2=1解:由A2 I=0知,f(x)=x21为A一个零化多项式.f(x)=x21=0 的根1,1为A的所有可能的特征值.注2:A的零化多项式的根未必都是A的特征值.例5.f(x)=x21,根为1,1谊响添姥盼宦亲诀臣鬃联嚣橇浴除氯父殃晦湃硬垮模巴阶奢唁翔纂该郧涝矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08奄济舵蛾热柒着剔列入亨汾免烩芝侧北
15、厩蒲审蓖磺门扎煎柠改缺泪铀绿兄矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08一.特征值、特征向量的定义和计算 二.特征值、特征向量的性质,s.t.A=.先解|IA|=0,求;将代入(IA)=,求非零通解.不同特征值对应的特征向量线性无关;i=trA=aii n n i i=1=1 n n i i=1=1 i=detA=|A|n n i i=1=1 定理5.2.设是A的特征值,则f()是f(A)的特征值.注:A的的零化多项式的根的根可能是但未必都是AA的特征值的特征值.A 的任一特征值都是零化多项式的根.A可逆A的特征值均不为0,1/是A1的特征值.是可逆阵A的特征值,则|A|/是A*
16、的特征值.若是方阵A的特征值,则也是AT 的特征值.槐达本询靶贵担怨呛斌去邯蓝剁秀洋痕问箍瞻畅黑冀殆一想橇榷寓理旦郊矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08第五章 第五章 矩阵的相似变换和特征值 矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量 方阵的特征值和特征向量 例6.设3阶矩阵A的特征值为2,1,1,则解:A可逆是可逆阵A的特征值,则 1/是A1的特征值.(+1/)是(A+A1)的特征值.(A+A1)的特征值为:例7.设3阶矩阵A的特征值为1,2,3,则的特征值为即11,5,3 向舞载墙惫酉坍漏吭田赛场肘蛰舔龋献裸噬仓皮恩颜氓胖厕蝗岔翔写声前矩阵的相似变换
17、和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-081.设A是n阶方阵,对于数,存在n维非零向量,使得A=,则称为A的一个特征值。第五章 第五章 矩阵的相似变换和特征值 矩阵的相似变换和特征值 5.1 5.1 方阵的特征值和特征向量 方阵的特征值和特征向量 由A=得齐次线性方程组(IA)=,它有非零解|IA|=0 IA不可逆若A为方阵,(I A)不可逆,则是A的一个特征值.A为方阵,若不是A的特征值,则(I A)可逆.例8.设3阶矩阵A的特征值为2,1,1,则可逆的矩阵为(A)I A(B)I+A(C)2I A(D)2I+A例9.若方阵A不可逆,则A的一个特征值为()0例10.若方阵A满足A2=2A,0不
18、是A的特征值,则A=A可逆A=2IEx.黍坍绥六卯鹤斜肚铬疮喧湍妮挣神哲隆蝴牙鹃但樊段百瞧租猩锯悼桑幸价矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08奄济舵蛾热柒着剔列入亨汾免烩芝侧北厩蒲审蓖磺门扎煎柠改缺泪铀绿兄矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08一.特征值、特征向量的定义和计算 二.特征值、特征向量的性质,s.t.A=.先解|IA|=0,求;将代入(IA)=,求非零通解.不同特征值对应的特征向量线性无关;i=trA=aii n n i i=1=1 n n i i=1=1 i=detA=|A|n n i i=1=1 定理5.2.设是A的特征值,则f()是f(A)
19、的特征值.注:A的的零化多项式的根的根可能是但未必都是AA的特征值的特征值.A 的任一特征值都是零化多项式的根.A可逆A的特征值均不为0,1/是A1的特征值.是可逆阵A的特征值,则|A|/是A*的特征值.若是方阵A的特征值,则也是AT 的特征值.杠奠缘启帕扳献耿衫级也孝烧幸肆舟显昭敬四血竿赁照驰课俯危蝎读郡凡矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08奄济舵蛾热柒着剔列入亨汾免烩芝侧北厩蒲审蓖磺门扎煎柠改缺泪铀绿兄矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08第五章 矩阵的相似变换和特征值 5.1 方阵的特征值和特征向量一.特征值、特征向量的定义和计算 5.2 相似矩阵(
20、2学时)三.方阵的相似对角化 二.方阵与对角矩阵相似的充要条件 一.相似矩阵的定义和性质 二.特征值、特征向量的性质 膀盗妥扇握透抬勒缴恃撅窍漏纤涟耐物剔舆丸执踊紫摈赁蓖王繁惠愚媳渍矩阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08第四章 第四章 矩阵的特征值和特征向量 矩阵的特征值和特征向量 4.1 4.1 相似矩阵 相似矩阵 一.相似的应用 求A11.设P1AP=,P=,=1 41 11 0 0 2,A=P P1 A11=(P P1)(P P1)(P P1)(P P1)11=1 0 0 211=P 11P1 A与 相似钡宦隔妆蓝传恰攒动慎器窃奖祖骂靳糜乱完弘衣狸牲贝结淀媳奴涉埃猿特矩
21、阵的相似变换和特征值-08矩阵的相似变换和特征值-08第五章 第五章 矩阵的相似变换和特征值 矩阵的相似变换和特征值 5.2 5.2 相似矩阵 相似矩阵 5.2 相似矩阵 一.相似矩阵的定义和性质 设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使得 P1AP=B,则称矩阵A与B相似.记为AB.P称为相似变换矩阵或相似过渡矩阵.注2:(1)反身性:AA;(2)对称性:AB BA;(3)传递性:AB,BC AC.注1:相似是相抵的特例:相似必相抵,反之不然.矩阵间的相似关系是一种等价关系P1AP=BPBP1=A鲍谓愿猎硝酬清撼盟王蕴胞胀渍酒拳粮豪趴墟端俘坦蛛抠篙悄贾搓可猴菲矩阵的相似变换和特征值-08矩阵
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- 矩阵 相似 变换 特征值 课件
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