11回归分析的基本思想及其初步应用2.pptx
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1、问题问题1 1:正方形的面积正方形的面积y y与正方形的边长与正方形的边长x x之间之间 的的函数关系函数关系是是y=xy=x2 2确定性关系确定性关系问题问题2 2:某水田水稻产量某水田水稻产量y y与施肥量与施肥量x x之间是否之间是否 -有一个确定性的关系?有一个确定性的关系?复习、变量之间的两种关系复习、变量之间的两种关系第1页/共31页自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做机性的两个变量之间的关系叫做相关关系相关关系。1、定义:1 1):相关关系是一种不确定性关系;):相关关系是一种不确定性关系;注对具有相关关系的
2、两个变量进行对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫统计分析的方法叫回归分析回归分析。2):第2页/共31页2、现实生活中存在着大量的相关关系。如:人的身高与年龄;产品的成本与生产数量;商品的销售额与广告费;家庭的支出与收入。第3页/共31页3 3、对两个变量进行的线性分析叫做、对两个变量进行的线性分析叫做线性线性回归分析回归分析。3 3、回归直线方程:、回归直线方程:2.2.相应的直线叫做相应的直线叫做回归直线回归直线。1 1、所求直线方程、所求直线方程 叫做叫做回归直回归直 -线方程线方程;其中;其中第4页/共31页相关系数相关系数 1.1.计算公式计算公式2 2相关系数的性质相关系数
3、的性质(1)|r|1(1)|r|1(2)|r|(2)|r|越接近于越接近于1 1,相关程度越大;,相关程度越大;|r|r|越接近于越接近于0 0,相关程度越小,相关程度越小问题:达到怎样程度,问题:达到怎样程度,x x、y y线性相关呢?它们的相关程度怎样呢?线性相关呢?它们的相关程度怎样呢?第5页/共31页负相关负相关正相关正相关第6页/共31页相关系数相关系数正相关;负相关正相关;负相关第7页/共31页例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。编号12345678身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170体重/kg485750546
4、4614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。案例1:女大学生的身高与体重第8页/共31页分析:由于问题中要求根据身高预报体重,因此选取身高为自变量,体重为因变量2.回归方程:1.散点图;第9页/共31页解:1、选取身高为自变量x,体重为因变量y,作散点图:2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到,样本点散布在某一条直线的附近,而不是在一条直线上,所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。探究:身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗?如果不是,你
5、能解析一下原因吗?第10页/共31页我们可以用下面的线性回归模型来表示:y=bx+a+e,其中a和b为模型的未知参数,e称为随机误差。第11页/共31页思考:产生随机误差项e的原因是什么?随机误差e的来源(可以推广到一般):1、忽略了其它因素的影响:影响身高 y 的因素不只是体重 x,可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素;2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差;3、身高 y 的观测误差。以上三项误差越小,说明我们的回归模型的拟合效果越好。第12页/共31页函数模型与回归模型之间的差别函数模型:回归模型:可以提供选择模型的准则第13页/共31页函数模型与回归模型之间的差别函数模型:回
6、归模型:线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e,因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定,即自变量x只能解析部分y的变化。在统计中,我们也把自变量x称为解析变量,因变量y称为预报变量。所以,对于身高为172cm的女大学生,由回归方程可以预报其体重为 第14页/共31页5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号 那么,在这个总的效应(总偏差平方和)中,有多少来自于解析变量(身高)?有多少来自于随机误差?假设随机误差对体重没有影响,也就是说,体重仅受身高的影响,那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是,
7、在图中,数据点并没有完全落在回归直线上。这些点散布在回归直线附近,所以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了。在例1中,残差平方和约为128.361。因此,数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应,称 为残差。例如,编号为6的女大学生,计算随机误差的效应(残差)为:对每名女大学生计算这个差异,然后分别将所得的值平方后加起来,用数学符号称为残差平方和,它代表了随机误差的效应。表示为:即,第15页/共31页 由于解析变量和随机误差的总效应(总偏差平方和)为354,而随机误差的效应为128.361,所以解析变量的效应为解析变量和随机误差的总效应(总偏差平方和)=解析变量的效应(回
8、归平方和)+随机误差的效应(残差平方和)354-128.361=225.639 这个值称为回归平方和。我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是第16页/共31页样本决定系数(判定系数(判定系数 R2 )1.回归平方和占总偏差平方和的比例2.反映回归直线的拟合程度3.取值范围在 0,1 之间4.R2 1,说明回归方程拟合的越好;R20,说明回归方程拟合的越差5.判定系数等于相关系数的平方,即R2(r)2第17页/共31页显然,R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合效果越好。在线性回归模型中,R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1,表示回归的效果越好(因为R2
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- 11 回归 分析 基本 思想 及其 初步 应用
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