2018届高三理科数学二轮复习习题:解析几何圆锥曲线重点解答题专练作业汇总.pdf
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1、解析几何专练(一)作业(二十三)2 21.(2017 成都诊断二)在平面直角坐标系xO y中,已知椭圆E:与+=1 (a b 0),圆0:x2+y2=r2(0 r,b=乎,x2 4/椭圆E的方程是三+左=1.(2)设 A(xi,y i),B(X 2,y 2).以A B为直径的圆经过点0,0A 0B=0,xi x2+y i y 2=0.点A,B在直线1上,y i=kxi+m,y 2=kx2+m,(l+k2)xi X 2+m k(xi +x2)+m2=0.(*)y=kx+m,由v x y2 消去 y,得 b x2+a2(k2x2+2 km x+m2)a2b2=0,即(b*+a 2k?)x+2km
2、a 2x+(a2m2 a2b2)=0.T+T 2=La b显 然A 0,2km a2 a2m2a2b2X i +X 2=m 俞,x,x2=b H a V,za2m2+a2m2k2a2b2a2b2k22k2m2a2+m2b2+a2k2m2 m2(a2+b2)-a2b2a2b2k2代入(*)式,得-西 善-=-齐 善-=即 m2(a2+b2)a2b2a2b2k2=0.又由(D,知小2=(1+1?)/,A (1+k2)(a2+b2)r2=a2b2(l+k2),1故 a,b,r 满足4+Q=F.a b r2.(2017 福建质检)已知曲线C上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3 的距离小2.(
3、1)求曲线C的方程:过 点 F 且斜率为k 的直线1 交曲线C于 A,B两点,交圆F:(+-1)2=1 于 M,N两点(A,M两点相邻).1 9若B F=、B A,当 X 6 时,求 k 的取值范围;过A,B 两点分别作曲线C的切线L,k,两切线交于点P,求a A M P 与!?他面积之积的最小值.解 析(1)设 Q(x,y)为曲线C上任意一点,因为曲线C上的点Q(x,y)到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3 的距离小2,所以点Q到点F 的距离等于它到直线y=-l的距离,所以曲线C是以F 为焦点,直线y=-l 为准线的抛物线,其方程为x?=4y.依题意,知直线1 的方程为丫=1 +1,代入
4、x?=4y,得/一妹x-4=0,A =(-4k)2+16 0.设 A(x”y i),B(xz,y 2),则 xi+x?=4k,X i ,x2=-4.因为市=人前,所 以(-X 2,1y?)=A (xi xz,y i y2),所以*=1 一pX 2 A16 k2(xi+x2)*Xi,一 X2 _ 1 ,入 7=-=-+2+一=1 一丁+2+-r,-4 XX2 X2 X1 A 入一1即 4k2+2=:1+,A 11 9 1 1因 为 x e 1,品,所以力一l e g,i ,i I5又函数f(x)=x+:在 勺1 上单调递减,所以4kz+2G 2,自,即一所以k 的取值范围是 一乎,平.V2 V设
5、 P(x,y),因为 x2=4y,所以 y=,y =-2所以切线P A 的方程为y=5(x x i)+,2切线P B 的方程为y=5(x-X 2)+手,由,得 x=g(xi+x2)=2k,y=1,所以 P(2k,-1).2因为点P到直线A B 的距离d=12k42,yT+ie=2yj 1+k,SA A M I,=A M d,SAB.M,=2 I B N|,d,所以 SA A M P S 册 p=1|A M|B N d2.因为|A M|=|A F|-l=y”|B N|=|B F|-l=y2,X 12 X 22所以|A M|-jB N|=y i y 2=-7 7-=1,i o所以 SA A M P
6、 S z B W=l +k1即当且仅当k=o 时,SA A J U*SABN P取得最小值1.3.(2017 太原一模)已知椭圆C:+=l(a b 0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个3顶点,点 D(l,5)在椭圆C上,直 线 1:y =k x+m 与椭圆C相交于A,P两点,与 x 轴,y 轴分别相交于点N和 M,且|P M|=|M N|,点 Q是点P关于x 轴的对称点,Q M 的延长线交椭圆C于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为4,B,.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在直线1,使得点N平分线段AB?若存在,求出直线1 的方程:若不存在,请说明理由.b=#c,1 9
7、解 析(1)由题意得j看=1,宕=目+1,卜=3,x2 y2解 得 2 椭圆C的 方 程 为 彳+?=1.a 4,4,i(2)存在这样的直线1.,.*y k x+m,m),N(p 0),K*?|P M|=|M N|,/.P (p 2m),则 Q*,2m),,直线Q M 的方程为y=-3k x+m.y=k x+m,x2_ y2 得(3+4k )x+8 k m x +4(i n?-3)=0,.J J 1_ 8 k m,X l +k=_3+4k2.-3m (l+4k2)*Xl=k (3+4k2)-31y=-3kx+m,x2/得(3+36k?)x24kmx+4(m-3)=0.7+7=L.m_8km_.
8、_ m (l+4 kJ).x2+-=1+1 2 k2,X2=卜(1 +127),点N平分线段A B,,xi+x2=铛,k.3nl(3+4k2)m (l+4 k,)2m._ j_一k(3+4产)-k(1+12F)=-E=5,AP(2m,2m),二号+泉=1,解得 m=,*.*I m I=b=,直线1的方程为y=*士 亨.4.(2017 广州综合测试一)过点P(a,2)作抛物线C:x?=4y的两条切线,切点分别为A(x.y),B(x2,Y 2).(1)证明:xixz+ym为定值;记4PAB的外接圆的圆心为点M,点F是抛物线C的焦点,对任意实数a,试判断以PM为直径的圆是否恒过点F?并说明理由.解
9、析(1)方 法1:由x?=4 y,得y=;x,所以y=%,所以直线PA的斜率为某因为点A(x”y)在抛物线C上,所以y i=;x/,所以直线PA的方程为y-L=xi(x-x,).因为点P(a,-2)在直线PA上,所以-2-ix/=|x i(a-X i),即 xi22axi8=0.同理,x222ax28=0.所以x”X2是方程x2-2ax8=0的两个根,所以 Xix2=-8.又 yiy2=;x j X22=(XIX2)2=4,所以xiX2+yiy2=-4,为定值.方 法2:由题意知,直 线PA,PB的斜率都存在,设过点P(a,2)且与抛物线C相切的切线方程为y+2=k(x a),4f y+2=k
10、 (x a),由 消去 y 得 x 4k x+4k a+8=0 x =4y,由 A =16 k24(4a k+8)=0,化简得 k 一a k 2=0.所以 k i k 2=-2.由 x?=4y,得 y=x 2,所以 y =-x.设直线P A 的斜率为总,直线P B 的斜率为k2.所以 k i=g x i,k2=1x2.所以 x i X 2=2,得 x i X 2=-8.-r-y 1 2 1 2_ 1/X 2 A乂 y i y 2=47 x f T4X 2=7170(X IX 2厂=4,所以x i X 2+y 1 y 2=4,为定值.直 线 P A 的垂直平分线方程为y i-2 2/x i+a、
11、y 一丁=不一丁),由于y i=;x/,又 由 得 x 一8=2a x i,所以直线P A 的垂直平分线方程为y 竽=-2(x 空).4 Xi 乙同理,直线P B 的垂直平分线方程为y 誓=-2(x 中).4 X2 乙Q/由解得x=g a,y=l+y,所以点M a,l+3.抛物线C的焦点为F(0,1),则沛=(j3a,1a 2-),P F=(a,3),所以沛 而=当 一 号=0,所以沛_ L*,所以以P M 为直径的圆恒过点F.5.(2017 长沙一模)如图,P是直线x=4 上一动点,以 P为圆心的圆过定点B(l,0),直 线 1 是 圆 r在点B处的切线,过 A(1,0)作 圆 的两条切线分
12、别与1 交于E,F两点.求证:|E A|+|E B|为定值;(2)设直线1 交直线x=4 于点Q,证明:E B|F Q|=|F B -E Q|.解 析(1)设 A E 切 圆 r于点M,直线x=4 与 x轴的交点为N,5故|EM|=|EB|.从而|EA|+|EB|=|AM|=M A P|2一|PM|2=MAP|2一|PB|2=d|AN|2一|BN=M 25-9=4.所以|EA|+|EB|为定值4.由 同 理 可 知I FA|+|FBI=4,故E,F均在椭圆+千=1上.4 J设直线EF的方程为x=m y+l(m#O).3 3令x=4,求得y=i即Q点纵坐标yq=m mx=m y+L由 0),过
13、点F的直线1与抛物线C交于A,B两点,AOAB面积的最小值为8.(1)求抛物线C的标准方程;过焦点F作垂直于直线1的直线交抛物线C于点D,E,记AB,DE的中点分别为M,N.(i)证明:直线MN过定点;(ii)求以AB,DE为直径的两圆公共弦的中点的轨迹方程.解 析(1)设A(xi,yi),B(X2 yz),抛物线C:f=2 p x,直 线1的方程为x=m y+E,p由 2 得 y-2pmyp=0.、/=2px,6所以 y i+y 2=2p m,y】y 2=p lI A B|=l+m 7(y +y 2)4丫 田 2=勺(l+n?)(4p2m2+4p2)=2p(m2+1).因为点。到直线1 的距
14、离d=j=,所以O A B 的面积 S=1|A B /1+m2,当 m=0 时,Smi n=1p2=8,所以 p=4.所以抛物线C的标准方程为y2=8 x.(i)由 y i+y2=8 m,得 x i+x2=m(y i+y 2)+4=8 m2+4,所以 M(4n)2+2,4m).易知m#0,把 m换成一L 得 N(3+2,-).m m m当直线M N 的斜率不存在时,44 m2+2=-+2,得 m=l,此时直线 M N:x=6;m当直线M N 的斜率存在时,得直线M N:m x-(m2l)y 6 m=0,过定点(6,0).(ii)由(i )得以A B 为直径的圆M的方程为(x4 m22)+(y
15、4 m)2=16 (mJ+l)2易得m#0,把 m换成一,得以D E 为直径的圆N的方程为m4 4 1(X 2)2+(y+-)=16(-j+l)m m m一得两圆的公共弦所在直线的方程为面-1)x+m y=0,当直线M N 的斜率存在时,将直线M N 的方程m x(m2-l)y-6 m=0 与公共弦所在直线方程联立,消去m,得两圆公共弦中点的轨迹方程为(+/6 x=0(xW 0).当直线M N 的斜率不存在时,直线M N 与公共弦的交点为(6,0),满足方程x2+y 2-6 x=0,故所求公共弦中点的轨迹方程为一+6 x=0(xW 0).22.(20 17 青岛质检一)已知椭圆r:3+y 2=
16、l(a D 的左焦点为R,右顶点为A”上顶点为B”过 F”A“aB i三点的圆P的 圆 心 坐 标 为 渣 押,士 萨).(1)求柳圆的方程;(2)若直线1:y=kx+m(k,m为常数,kW O)与 椭 圆 交于不同的两点M和 N.3)当直线1 过 (1,0),且前+2 市=0时,求直线1 的方程;7(ii)当坐标原点0 到直线1 的 距 离 埔 时,求AMON面积的最大值.解 析(l)VAi(a,0),BKO,1),a 1;.A B 的中点为J R,A B 的斜率为一一.2 2 a1 O:.A B 的垂直平分线方程为y-=a(x-).圆P 过点%,A,Bi三点,圆心P 在 A B 的垂直平分
17、线上,.一 邓 二=、木f a,*2 2 1 2 2,解得a=#或 a=-A/2(舍去),椭圆的方程为+y 2=l.O(2)设 M(xi,yi),N(X2,y2),由 3 可得(31?+l)y2 Zmy+m*3k=0,、y=kx+m,2m m3k(i)由题可知直线1 的斜率存在.直线1 过点E(L 0),k+m=O.VBI+2EN=0,/.(xi1,yi)+2(x2L y2)=(0,0),从而yi+2y2=0.由(可得k=l,m=1 或 k=1,m=l.,直 线 1 的方程为y=x 1 或 y=-x+1.(ii).坐标原点0 到直线1 的距离为平,结 合 式 iMN|=A/1+72 Iy2 y
18、d=A/1+72 X y(yi+y2)24yiy2=A/1+rr 义由得I M N|=3(k l)(9k?+l)(3k2+l)2873/3 帝+l)(9 k+l)-4 l (3k2+l)2令 3k2+l=t (l,+),/3(k2+l)(9k2+l)则 Sx 4 V (3k2+l)2y3/(t+2)(3 t2)/3t2+4 t-4一 4 v t2-4 V t2-4A/4(J +4(J +3 J 4 5)-+4,当即3k+1=2,k=乎 时,MON面积的最大值为平.3.(2017-东北四市二模)已知R,F2分别是长轴长为2 m 的椭圆C:4-2=1 (ab0)的左、右焦点,Ai,(2)设直线 1
19、:y=k(x+l),kWO,A?是椭圆C 的左、右顶点,P 为椭圆上异于4,A2的一个动点,直线PA2与 0M的斜率之积恒为一(1)求椭圆C 的方程;设过点R 且不与坐标轴垂直的直线1 交椭圆于A,B两点,横 坐 标 的 取 值 范 围 是(一 0),求线段AB长的取值范围.解 析(1)由已知2a=2/,a=y i,设点P(xo,y),在APA也中,0,M分别为A也,PA2的中点,AOM/ZPAi,Ak0M=kPA1,2yo yo yoAkPA2 ko-kPA2 kPAt-:-2 2.xo+a xoa xo-a2 2又 P(xo,yo)在椭圆上,/+$=1.b2 1kPA2 ko=2=o,a
20、2.J 丁,X2b2=l,.椭圆的方程为+y 2=l.,0 为坐标原点,点 M为线段PAz的中点,且线段AB的垂直平分线与x 轴交于点N,点 N9联立y=k (x+1),介 y l,消去 y 得(21?+14+4 1+21由韦达定理可得,4k:;X l+X 2-汞 不 2k 2Xl X2=2k7+l,2k可得 y i+y 2=k(xi+x2+2)=2 r+1,故A B中点Q(一2k22k2+r 2k2+1),k直线Q N的方程为k 1/,2 k y一去 斗?一死力1k即y=kx-2k2+r;(一 汞 针 0),1 k2由题知一个一 如 干 0,.0 2k2 l,)A B|=1 +1 b0)的离
21、心率为千,点P(l,乎)在椭圆E上,直a b,幺线1过椭圆的右焦点F且与椭圆相交于A,B两点.(1)求E的方程;在x轴上是否存在定点M,使得证能为定值?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.10c、历 I 2解 析(1)由题意得:=彳,密=1,又 解得 a=M,b =l,X2故椭圆E的方程为5+y 2=l.假设存在符合题意的定点M,由直线AB 过椭圆右焦点F(l,0),当直线AB 不与x 轴重合时,可设直线A B 的方程为x=m y+l,代入椭圆方程,并整理得(2+m 2)y 2+2 m y 1=0.设 A(x i,y i),B(X2,y 2),EI,-2 m 1则 弘+以=5 率常
22、 y*=5 不常设 M(a,0),则MA,MB=(x i a)(x2-a)+y i y2=(m y i +1-a)(m y z+l-a)+y 2=(l+m2)y i y2+m(l-a)(y i+y 2)+(1-a)2=1 +m-2 2 m 2r(1 a).2L+(I)-(2 a24 a+1)+(a 2)n f=-2+-为定值,5则 2 a J4 a+l=2(3 2),解得 a=5 7故存在定点M,0),使得MA 蕊为定值一左,4 1 6经检验,当直线AB 与 x 轴重合时也成立,5 7 在x 轴上存在一个定点卜1(1 0),使得证而为定值一4 1 625.(2 01 7 石家庄一模)如图,已知
23、椭圆C:+f=1的左顶点为A,右焦点为F,0 为坐标原点,M,N 是y 轴上的两个动点,且 MF J_ NF,直线AM和 AN分别与椭圆C交于E,D 两点.(1)求MF N的面积的最小值;(2)证明:E,0,I)三点共线.解 析(1)方法 1:设 M(0,m),N(0,n),V MF NF,.,.m n=-l.V SAUFN-|MF|F N|M l+n;11=/l+m2+n2+(m n)=j2+m+n2 /2+2|m n|=1.当且仅当Im|=1,|n|=1且 m n=-1 时等号成立.A A M F N 的面积的最小值为1.方法 2:设 M(0,m),N(0,n),V MF NF,A m n
24、=-l,VSA M F N-=|MN|OF|=|MN|,且|MN 1 2=;m n|2=m2+n22 m n=m2+n?+2 2|m n|+2 =4,当且仅当I m|=1,|n|=1且 m n=-1 时等号成立,A|MN|m i n=2,;(SAHIN)min=5 MN=1.故MF N的面积的最小值为1,(2)V A(-/2,0),M(0,m),直线AM 的方程为y=x+m,y=由-7 x+m,V 2 ,2得1-+y2=b(1+m2)x2+2*/2 m2x+2 (m2 1)=0,设 E(XE,YE),D(XD,YD),./-2 (m21)7 啦(n 一1)由-V 2 XE=+.,得 XE=+m
25、 2 同理可得X产一 乖 1)1+nV m n=-1,2-(J。=皿布.m由可知XE=-XO,代入椭圆方程可得y/=y/.;MF _ LF N,.N,M 分别在x轴两侧,12:.y E=-y D,力兰,故 邑。,D三点共线I备选题|1.(2 01 7 长沙二模)已知椭圆C:+=l(a b 0)的离心率e=g,抛物线E:y-x的焦点恰好是椭圆C的右焦点F.(1)求椭圆C的标准方程:过 点F作两条斜率都存在的直线1”k,L交椭圆C于点A,B,k交椭圆C于点G,H,若|AF|是,AH一|F H|与|AH+|F H|的等比中项,求|AF|F B|+|GF|F H|的最小值.C 1解 析 依题意得椭圆C
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