2021年中考数学重难点题型专题11平行四边形(简答题专练)【含答案】.pdf
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1、专题1 1:平行四边形(简答题专练)1.如图,在长方形4 8。中,A B =C D =6 cm,8C =/0 c w,点尸从点8出发,以2。掰/秒的速度沿8 C向点运动,设点尸的运动时间为 秒:(1)PC=C W 7.(用/的代数式表示)(2)当,为何值时,BP*DC P?(3)当点P 从点B开始运动,同时,点。从点0出发,以丫。加/秒的速度沿8向点。运动,当点P到达C点或点Q到达D点时,P、Q运动停止,是否存在这样n的值,使得Z B尸与 P Q C全等?若存在,请求出丫 的值;若不存在,请说明理由.(1)P C =10-2t.(2)t=2.5,理由见解析;(3)存在,v=2.4 或者 v=2
2、.【分析】根 据S=v t计算线段BP=2 t,利用BP+P C=BC求P C即可;5(2)根据三角形全等,得BP=P C=5,所以t=2秒;(3)分B P =C Q和B A=。两种情形讨论求解.(1)点P从点8出发,以2。/秒的速度沿8 C向点C运动,点尸的运动时间为/秒,*B P =2tf,.PC=10 2/.(2)当,=2.5 时,&A B P *DC P理由:当f =2.5 时,B P =2 5 x 2 =5PC=10 5=5.在/A P 和A。尸中AB=DC*NB=NC=9 0 BP=CP.B P*D C P(SAS)*,(3)当 8P =C。时,N 8=P C 时,B P沁DCP;
3、AB=6,,尸 C =6,-8P =1 0-6 =4,/.2,=4 ,解得r =2,.CQ=BP=4所以2 V =4 ,v-2.当 BA=CQ,PB=PC 时,AABP*DCP.PB=PCPB=pc=-B C =5:.2 ,2t=5,解得1 =2.5,.CQ=BA=6解得v =2.4;综上所述,当v =2.4 或者v =2 时 尸 与 .【点评】本题考查了矩形中的动点问题,熟练掌握三角形全等,灵活运用分类思想是解题的关键.12.如图,在正方形48C。中,E 是ZO的中点,尸 是 上 一 点,且/=4/8.求证:CEVEF.证明见解析【分析】利用正方形的性质得出AB=BC=CD=DA,AA=ZB
4、=ZBCD=ND=90a,进一步利用勾股定理求得CE、EF、C户的长,再利用勾股定理逆定理判定即可.连接W,,设出边长为为正方形 AB=BC=CD=DA,ZA=NB=/BCD=ND=90。设 AB=BC=CD=DA=aAF=-AB是/O 的中点,且 4AE=ED=a AF=a:.2,4BF=-a4在R tA C D E中,由勾股定理可得1 a2CE2=CD2+D E2=a2+=5 a21 4C F2=BF-同理可得:a2-E F2+CE2=C F2.CEF为直角三角形;.N C E F =90 C E 1 E F【点评】此题考查勾股定理的逆定理,正方形的性质和勾股定理,解题关键在于设出边长为。
5、.3.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E 是 CD 上一点,B E交 A C于点F,连接DF.(1)求证:ZB A C=ZD A C,Z A FD=Z CFE;(2)若 ABC D,试证明四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,试确定E 点的位置,使N E FD=N B CD,并说明理由.(1)证明见解析(2)证明见解析(3)当 BE_ LCD时,ZEFD=ZBCD【分析】(1)先判断出aA B C丝ZXADC得到N B A C=N D A C,再判断出4A B F丝ZADF得出Z A FB=Z A FD,最后进行简单的推算即可;(2)先由平行得到角相等,用等量代换得出
6、/D A C=N A C D,最后判断出四边相等;(3)由(2)得到判断出B CFgZ xD CF,结合BE_ LCD即可.(1)证明:在A A B C和aA D C 中,AB=AD CB=CDAC=ACAAABC AA DC(SSS),AZBAC=ZDA C,ffiAABF 和4A DF 中,AB=AD ZBAF=NDAFAF=AF 二ABF 之ADF(SAS),A ZA FB=ZA FD,V ZCFE=ZA FB,A ZA FD=ZCFE,.NBAC=NDAC,ZA FD=ZCFE;(2)证 明:VAB/7CD,AZBAC=ZACD,VZBAC=ZDA C,NBAC=NACD,AZDAC=
7、ZACD,.AD=CD,VAB=AD,CB=CD,AB=CB=CD=AD,,四边形ABCD是菱形;(3)BEJ_ CD 时,ZBCD=ZEFD;理由如下:丁四边形ABCD是菱形,ABC=CD,ZBCF=ZDCF,VCF=CF,A A B CF A D CF,AZCBF=ZCDF,BE _LCD,.ZBEC=ZDEF=90,/.ZBCD=ZEFD.4.如图,平行四边形4 8 8 的对角线/C、8。相交于点。,E F过点。且与4 8、CD 分别相交于点E、F,连接 EC.(1)求证:O E=O F;(2)E F LAC,8E C的周长是1 0,求平行四边形/8 C D 的周长.(1)证明见解析;(
8、2)20.【分析】(1)根据平行四边形的性质得出OD=OB,DCA B,推出/F D O=/E B O,证DFOgZB EO即可;(2)由平行四边形的性质得出AB=CD,AD=BC,OA=OC,由线段垂直平分线的性质得出A E=CE,由已知条件得出BC+A B=10,即可得出平行四边形ABCD的周长.解:(1)I 四边形ABCD是平行四边形,;.OD=OB,DCAB,.,.ZFDO=ZEBO,ZFDO =/E B OOD =O B在DFO 和ZXBEO 中,NFO D=Z E O B ,.DFO A BEO(ASA),.,.OE=OF.(2)解:.四边形ABCD是平行四边形,AAB=CD,AD
9、=BC,OA=OC,V EF A C,;.AE=CE,V A B EC的周长是10,;.BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10,,平行四边形ABCD的周长=2(BC+AB)=20.5.如图I,已知正方形ABCD的对角线AC、B D相交于点O,E 是 A C上一点,连结E B,过点A 作 AM-LBE,垂足为M,A M 交 B D 于点F.(1)求证:OE=OF:(2)如图2,若点E 在 A C的延长线上,AM 工B E于点M,交 D B 的延长线于点F,其它条件不变,则结论 OE=OF”还成立吗.如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.(1)证明见解析;(2)成立,证明见解
10、析.解:(I)二 四边形ABCD是正方形.ZB OE=ZA OF=90,OB=OA,又;AM _L BE,ZM EA+Z MAE=90=ZA FO+ZM AE.ZM EA=ZA FO,A R tA B OE RtAAOF,OE=OF(2)OE=OF 成立 四边形ABCD是正方形,.N B OE=/A OF=90。,OB=OA又:AM_LBE,,Z F+N M B F=90=Z E+ZOBE又:NM BF=NOBE,N F=N E,RtABOE RtAAOF.*.OE=OF6.如图将矩形/8 C Q 沿对角线/C 对折,使/2 C 落 在 的 位 置,且 CE与 4)相交于点尸,求证:EEF=D
11、F.【分析】先由四边形为矩形,得出/E=C。,NE=ND,再由对顶角相等,即可证明/E尸 名 8 尸即可.四边形/B C D是矩形,A Z D=Z E,AE=CD,又;N AF E=N CF D,在/和尸中,Z =ND N A F E =NC FDA E =C D9:.EF 之 CD F(AAS),:.E F=D F.7.(1)如 图 矩 形 的 对 角 线ZC、BD交于点0,过点。作判断四边形c 尸的形状并说明理由.(2)如果题目中的矩形变为菱形,结论应变为什么?说明理由.(3)如果题目中的矩形变为正方形,结论又应变为什么?说明理由目密图0 9 1 图2 图3(1)四 边 形 的 形 状 是
12、 菱 形,理由见解析;(2)四边形CO(3)四 边 形 的 形 状 是 正 方 形,理由见解析.D P ,且 DP =。,连接C P,?尸的形状是矩形,理由见解析;【分析】(1)根据矩形的性质证得,再由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形C O D P是平行四边形,根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形即可证得结论;(2)根据菱形的性质可得Z D OC=90,再由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形CODP是平行四边形,根据有一个角为直角的平行四边形为矩形即可证得结论;(3)根据正方形的性质可得OD=OC,Z D OC=90,再由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边
13、形得出四边形CODP是平行四边形,根据正方形的判定即可证得结论.(1)四边形尸的形状是菱形,理由是:四边形N8CZ)是矩形,s cc O A =O C =-A C O B =O D =B D:.A C =BD,2,2,O C =O D,,DPI I O C D P =O C*,二四边形COD P是平行四边形,O C =O D ,,平行四边形COO尸是菱形;(2)四边形COOP的形状是矩形,理由是:.四边形Z 8C O 是菱形,A C 1 B D,*Z D O C =90,.D P H O C D P =O C,四边形C。尸是平行四边形,ZZ)OC=90,平行四边形COOP是矩形;(3)四边形C
14、OOP的形状是正方形,理由是:.四边形Z 8C O 是正方形,ACLBD,AC=BD,OA=OC=-A C2OB=OD=-BD2 Z DOC=90,OD=OC,.DPI IOC,DP=OC四边形C O D P是平行四边形,4DOC=90,OD=OC,平行四边形C O D尸是正方形.【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定,考查学生的猜想能力和推理能力,综合性较强.8.在平行四边形A B C D中,点E在AD边上,连接B E、C E,E B平分N A E C,(1)如 图1,判断4 B C E的形状,并说明理由;(2)如图 2,若/A=90。,B C=5,A E=1,求线段
15、B E 的长.(1)证明见解析:(2)回(1)如 图1中,结论:4 B C E是等腰三角形.证明:.四边形A B C D是平行四边形,;.B C A D,.Z C B E=Z A E B,V E B 平分 N A E C,;./A E B=N B E C,.,.Z C B E=Z B E C,;.C B=C E,A A C B E是等腰三角形;(2)如图2中,;四边形A B C D是平行四边形,Z A=90,.四边形A B C D是矩形,.Z A=Z D=90,BC=AD=5,在 Rt ECD 中,VZD=90o,ED=AD-AE=4,EC=BC=5,A B =C D=飞EC。-DE。=V52
16、-42=3,在 R t/E B 中,v ZA=90,AB=3.AE=1,,B E =A B2+A E2=A/32+12=M.9.如图,在B C D 中,D E=C E,连接A E并延长交B C的延长线于点F.(1)求证:A A D E A FCE;(2)若 AB=2BC,Z F=3 6 ,求NB 的度数.(1)见解析;(2)108【分析】(1)利用平行四边形的性质得出ADBC,A D=B C,证出N D=N E CF,由 A SA 即可证出4A D E A FCE:(2)证出A B=FB,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案.证明:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC,
17、.Z D=Z ECF,在4A D E 和4 FC E 中,ND=/EC F DE=C EZA ED=N F E C.A DE A FCE(A SA);(2)V A A D E A FCE,,AD=FC,;AD=BC,AB=2BC,.*.AB=FB,.*.ZBAF=ZF=36,.ZB=180-2x36=108.【点评】运用了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质、三角形内角和定理;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.1 0.如图,在Rt/X/B C中,ZA C B=9 0,过点C的直线M V 28,D为 4 B边上一点,过点。作DEL BC,交直线MV于
18、E,垂足为F,连 接C D、B E.(1)求证:CE=AD-,(2)当。在N 8中点时,四边形8E C。是什么特殊四边形?说明你的理由;(3)若。为中点,则当/的大小满足什么条件时,四边形8E C A是正方形?请说明你的理由.(1)见解析;(2)四边形8E C D是菱形,理由见解析;(3)当/4=4 5。时,四边形8E C D是正方形,理由见解析【分析】(1)根据两组对边平行,证明四边形/O E C是平行四边形,再根据平行四边形的性质得到C E=A D;(2)先根据一组对边平行且相等,证明四边形5E C。是平行四边形,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明C D=BD,从而证明四边形8
19、E C Z)是菱形;(3)当/4=4 5。时,四边形8E C Z)是正方形,证 明 是 等 腰 直 角 三 角 形,再利用“三线合一”的性质证 明C D _ L/3,从而证明四边形8E C Z)是正方形.(1)证明:,:D E B C,:./D F B=9 0。,Z A C B=)0 ,:.N A C B=N D F B,J.AC/D E,:M N A B,即 CE/AD,四边形A D E C是平行四边形,;.C E=A D;(2)解:四边形8E C。是菱形,理由是:.。为中点,:.AD=B D,;CE=4D,:.B D=CE,:B D/CE,四边形B E C D是平行四边形,V Z A C
20、B=9 0,D 为 4B 中点,:.C D=B D(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),四边形B E C D 是菱形;(3)当N/=4 5。时,四边形3 E C Q 是正方形,理由是:解:V Z ACB=9 0,Z A=45,:.Z A B C Z J=4 5,:.AC=B C,;D为 BA中点,J.CD V AB,:.N CD B=9 0,四边形8E C Z)是菱形,菱形8 E C D 是正方形,即当N Z =4 5。时,四边形B E C。是正方形.【点评】本题考查平行四边形的性质和判定,菱形的判定,正方形的判定,等腰三角形的性质,直角三角形斜边上中线的性质,解题的关键是熟练利用这些性质
21、和判定进行证明.1 1.如图,在 ABC中,点 F是 BC的中点,点 E是线段AB的延长线上的一动点,连接E F,过点C作AB的平行线CD,与线段E F 的延长线交于点D,连接C E,B D.(1)求证:四边形D B E C 是平行四边形.(2)若 N/8 C =1 20,A B =BC =4,则在点E的运动过程中:当 BE=时,四边形B E C D 是矩形,试说明理由;当 BE=时,四边形B E C D 是菱形.(1)见解析;(2)2,理由见解析;4【分析】(1)先证明 E B F g/X D C F,可得D C=B E,可证四边形B E C D是平行四边形;(2)根据四边形B E C D是
22、矩形时,Z C E B=90,再由/A B C=1 20。可得N E C B=30。,再根据直角三角形的性质可得B E=2;根据四边形B E C D是菱形可得B E=E C,再由N A B C=1 20。,可得/C B E=6 0。,进而可得4 C B E是等边三角形,再根据等边三角形的性质可得答案.(1):A B C D,.,.Z C D F=Z F E B,Z D C F=Z E B F,丁点F是B C的中点,;.B F=C F,C DF=4 B E F NDC F=N E B FF C -B F在4 D C F 和4 E B F 中,A A E B F A D C F (A A S),;
23、.D C=B E,又;D C/B E,.四边形B E C D是平行四边形;(2)B E=2,:当 四 边 形B E C D是矩形时,Z C E B=90,V Z A B C=1 20,.Z C B E=6 0;.Z E C B=3O0,_;.B E=2 B C=2,故2;B E=4,:四边形B E C D是菱形时,B E=E C,V Z A B C=1 20,.Z C B E=6 0,A C B E是等边三角形,BE=BC=4.故 4.【点评】本题主要考查了菱形和矩形的性质,以及平行四边形的判定,关键是掌握菱形四边相等,矩形四个角都是直角.12.如图,在4A B C 中,点 D 是 A B 边
24、的中点,点 E 是 CD 边的中点,过点C 作 CF A B 交 A E的延长线于点F,连 接 BF.求证:DB=CF;(2)如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.(1)证明见解析:(2)四边形BDCF是矩形,理由见解析.(1)证明:VCF/7AB,,N D A E=/C F E.又:DE=CE,Z A ED=ZFEC,A A A D E A FC E,,AD=CF.VA D=DB,;.DB=CF.(2)四边形BDCF是矩形.证明:由(1)知 D B=C F,又 DBCF,四边形BDCF为平行四边形.:AC=BC,AD=DB,A CD AB.,四边形BDCF是矩形.13.
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