理论力学课件第一篇静力学第三章 平面任意力系x.ppt
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1、理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 平面任意力系平面任意力系 第三章第三章 平面任意力系平面任意力系第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程第五节第五节 静定与超静定问题静定与超静定问题 物体系统的平衡物体系统的平衡 第一节第一节 力的平移定理力的平移定理理论力学电子教程理论力学电子教程第一节 力的平移定理第一节第一节 力的平移定理力的平移定理理论力学电子教程理论力学电子教程定理定理:作用在刚体上某点的力 F,可以平行移动到刚体 上任意一点
2、,但必须同时附加一个力偶,其力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩。证明:证明:如下图所示:(a)ABdFABdFF”(b)图力线平移定理的证明BdAM=Fd(c)理论力学电子教程理论力学电子教程 可见,一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一个位于平移平面内的力偶。反之,一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力,也可以用一个位于力偶作用面内的力来等效替换 如打乒乓球,若球拍对球作用的力其作用线通过球心(球的质心),则球将平动而不旋转;但若力的作用线与球相切“削球”,则球将产生平动和转动。cFcFcm图3-2(a)(b)理论力学电子教程理论力学电子教程工程上有时也将力平行移工程上有时也将力平行移动
3、,以便了解其效应。动,以便了解其效应。例如,作用于立柱上例如,作用于立柱上A点点的偏心力的偏心力F,可平移至立柱轴,可平移至立柱轴线上成为线上成为F,并附加一力偶矩并附加一力偶矩为为M=Mo(F)的力偶,这样并不的力偶,这样并不改变力改变力F的总效应,但却容易的总效应,但却容易看出,轴向力看出,轴向力F将使立柱压缩,将使立柱压缩,而力偶矩而力偶矩M将使短柱弯曲。将使短柱弯曲。图图3-23-2立柱立柱第一节第一节 力的平移定理力的平移定理理论力学电子教程理论力学电子教程 注意:注意:一般说来,在研究变形问题时,力是不能一般说来,在研究变形问题时,力是不能 移动的。移动的。思考思考:图图3-3所示
4、的梁所示的梁A端受一力端受一力,如将,如将平行平行移动至移动至O点成为点成为F并附加一力偶矩并附加一力偶矩M,其变形效果将如何其变形效果将如何?图图3-33-3 悬臂梁悬臂梁 第一节第一节 力的平移定理力的平移定理理论力学电子教程理论力学电子教程第二节 平面任意力系的简化 第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 理论力学电子教程理论力学电子教程第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 各力作用线位于同一平面内但不全汇交于一点、也各力作用线位于同一平面内但不全汇交于一点、也不全相互平行,则该力系称为不全相互平行,则该力系称为平面任意力系平面任意力系,简称,简称平面平面力系。
5、力系。例如,厂房建筑中常采用刚架结构,取其中一个刚架例如,厂房建筑中常采用刚架结构,取其中一个刚架来考察来考察,如如图图a所示所示,作用于其上的力可简化为图,作用于其上的力可简化为图b所示的所示的平面力系。平面力系。理论力学电子教程理论力学电子教程如如如如水利工程上常见的重力坝,如图水利工程上常见的重力坝,如图a所示。在对其进行所示。在对其进行力学分析时,往往取单位长度(如)的坝段来考察,而力学分析时,往往取单位长度(如)的坝段来考察,而将坝段所受的力简化成为作用于坝段中央平面内的平面力系,将坝段所受的力简化成为作用于坝段中央平面内的平面力系,如图如图b所示。所示。第二节第二节 平面任意力系的
6、简化平面任意力系的简化 有些空间力系的有些空间力系的有些空间力系的有些空间力系的问题,可近似地简化为平面力系问问题,可近似地简化为平面力系问题来分析计算。题来分析计算。理论力学电子教程理论力学电子教程F1F2Fn 设在某一刚体上作用着平面一般力系F1、F2、Fn,如图所示。显然无法象平面汇交力系那样,用力的平行四边形法则来合成它。一、平面任意力系的简化一、平面任意力系的简化 理论力学电子教程理论力学电子教程平面一般力系平面力偶系平面汇交力系向一点简化合成合成F(合力)Mo(合力偶)应用力线平移定理,将该力系中的各个力逐个向刚体上的某一点o(称为简化中心)平移,再将所得的平面汇交力系和平面力偶系
7、分别合成。过程为:理论力学电子教程理论力学电子教程图 平面一般力系的简化(a)od1d2dn(b)o(c)oyxMo(d)理论力学电子教程理论力学电子教程根据汇交力系合成的理论,根据汇交力系合成的理论,应等于所有汇交力的应等于所有汇交力的矢量和,即矢量和,即亦即亦即 根据力偶系合成的理论根据力偶系合成的理论,应等于各附加力偶矩的应等于各附加力偶矩的代数和,又等于原力系各力对点代数和,又等于原力系各力对点O 的矩的代数和,的矩的代数和,第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 即即:理论力学电子教程理论力学电子教程矢量矢量 称为原力系的称为原力系的主矢量主矢量,力偶,力偶 称为原力系对
8、于简化中心称为原力系对于简化中心的的主矩主矩。如果选取不同的简化中心,如果选取不同的简化中心,主矢量并不改变,即主矢量并不改变,即与简化中心的位置无关。但与简化中心的位置无关。但主矩一般将随简化中心位主矩一般将随简化中心位置不同而改变。置不同而改变。可见,可见,平面任意力系向所在平面内一点(简化中心)平面任意力系向所在平面内一点(简化中心)简化的一般结果是一个力和一个力偶,这个力作用于简简化的一般结果是一个力和一个力偶,这个力作用于简化中心,等于原力系中所有各力的矢量和,亦即等于原化中心,等于原力系中所有各力的矢量和,亦即等于原力系的主矢量;这个力偶在原力系所在平面内,其矩等力系的主矢量;这个
9、力偶在原力系所在平面内,其矩等于原力系中所有各力对于简化中心的矩的代数和,亦即于原力系中所有各力对于简化中心的矩的代数和,亦即等于原力系对于简化中心的主矩。等于原力系对于简化中心的主矩。第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 理论力学电子教程理论力学电子教程平面一般力系的三种简化结果平面一般力系的三种简化结果1.1.力系简化为力偶力系简化为力偶力系合成为一力偶,所以主矩与简化中心的位置无关。FFFABC例例理论力学电子教程理论力学电子教程2.力系简化为合力力系简化为合力 FR 就是原力系的合力,合力的作用线通过简化中心。力系仍可简化为一个合力,但合力的作用点不通过简化中心。(1)(
10、2)力系简化为合力Moo()(c)od(b)odFRFRFRFRFR理论力学电子教程理论力学电子教程3.力系平衡力系平衡是平面一般力系平衡的充分和必要条件。理论力学电子教程理论力学电子教程第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 平面力系的合力矩定理:平面力系的合力矩定理:若平面任意力系简化若平面任意力系简化成为一个合力,则合力对于该力系平面内任一成为一个合力,则合力对于该力系平面内任一点的矩等于各分力对于同一点的矩的代数和。点的矩等于各分力对于同一点的矩的代数和。理论力学电子教程理论力学电子教程例题3-1 在长方形平板的O,A,B,C点上分别作用着有四个力:F1=1 kN,F2=2
11、 kN,F3=F4=3 kN(如图),试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果,以及该力系的最后合成结果。F1F2F3F4OABCxy2m3m3060理论力学电子教程理论力学电子教程求向求向O点简化结果点简化结果解:建立如图坐标系Oxy。所以,主矢的大小1.求主矢 。F1F2F3F4OABCxy2m3m3060理论力学电子教程理论力学电子教程2.求主矩MO由于主矢和主矩都不为零,所以最后合成结果是一个合力FR。如右图所示。主矢的方向:合力FR到O点的距离yFROABCxMOdMO理论力学电子教程理论力学电子教程三、三、平面任意力系简化结果的解析计算平面任意力系简化结果的解析计算 过简化中心过简
12、化中心O作直角作直角坐标系坐标系Oxy。由于由于所以,可得:所以,可得:第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 理论力学电子教程理论力学电子教程主矢量主矢量的大小及方向余弦为:的大小及方向余弦为:主矩,可直接用下式计算。主矩,可直接用下式计算。第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 只要主矢量不等于零,力系总可简化成为一个只要主矢量不等于零,力系总可简化成为一个合力,至于合力作用线的位置,可以直接利用合力合力,至于合力作用线的位置,可以直接利用合力矩定理求得。矩定理求得。理论力学电子教程理论力学电子教程第二节第二节 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 即:即:由合力矩
13、定理,得由合力矩定理,得图图 计算合力作用线的位置计算合力作用线的位置 理论力学电子教程理论力学电子教程第三节 沿直线平行分布力的简化 第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 理论力学电子教程理论力学电子教程第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 物体所受的力,往往是分布作用于物体体积内物体所受的力,往往是分布作用于物体体积内(如重力、万有引力等)或物体表面上(如梁上的荷(如重力、万有引力等)或物体表面上(如梁上的荷载、坝或闸门上的静水压力等),前者称为载、坝或闸门上的静水压力等),前者称为体力体力,后,后者称为者称为面力面力。体力和面力都是。体力和面力
14、都是分布力。分布力。沿直线狭长面积分布的平行力通常可以简化成为沿沿直线狭长面积分布的平行力通常可以简化成为沿直线分布的平行力,简称为直线分布的平行力,简称为线分布力线分布力或或线分布荷载线分布荷载。例如:作用于坝上的水荷载和作用于梁上的荷载,例如:作用于坝上的水荷载和作用于梁上的荷载,均为线分布荷载。均为线分布荷载。理论力学电子教程理论力学电子教程水压力的简化水压力的简化 梁上面力荷载的简化梁上面力荷载的简化 第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 理论力学电子教程理论力学电子教程表示力的分布情况的图形称为表示力的分布情况的图形称为荷载图荷载图。某一单位。某一单位长度上所受
15、的力,称为分布力在该处的长度上所受的力,称为分布力在该处的荷载集度荷载集度。如。如果分布力的集度处处相同,则该分布力称为匀布力或果分布力的集度处处相同,则该分布力称为匀布力或匀布荷载匀布荷载;否则,就称为;否则,就称为非匀布力或非匀布荷载非匀布力或非匀布荷载。用用q 代表线分布力的集度。集度代表线分布力的集度。集度q 定义为某一微小长定义为某一微小长度度L 上所受的力上所受的力Q 与与L 之比当之比当L0 时的极限,时的极限,即即第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 线分布力集度的单位是线分布力集度的单位是N/m、kN/m 等。等。理论力学电子教程理论力学电子教程则,线段
16、则,线段AB上所受的分布力的上所受的分布力的合力合力Q 的大小的大小为:为:=线段线段ABAB上荷载图的面积上荷载图的面积第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 设图中的设图中的AabB 为直线段为直线段AB上的荷载图。取直角坐上的荷载图。取直角坐标系标系Oxy,使,使y轴平行于分布力。命与原点相距轴平行于分布力。命与原点相距x 处的荷处的荷载集度为载集度为q,则在该处微小长度,则在该处微小长度x 上的力的大小为上的力的大小为Q=qx,亦即等于亦即等于x上荷载图的面积上荷载图的面积 A。理论力学电子教程理论力学电子教程 其次求其次求合力合力Q 的作用线的位置的作用线的位置。
17、利用平面力系的。利用平面力系的合力矩定理,可得合力矩定理,可得 第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 综上所述,可知综上所述,可知同向的线分布力的合力的大小等同向的线分布力的合力的大小等于荷载图的面积(注意这一面积具有力的单位),合于荷载图的面积(注意这一面积具有力的单位),合力通过荷载图面积的形心。力通过荷载图面积的形心。如果荷载图的如果荷载图的图形较为复杂图形较为复杂:可分成几个简单的:可分成几个简单的图形,分别求每一简单图形所代表的分布力的合力;图形,分别求每一简单图形所代表的分布力的合力;如果分布力的集度是连续变化的,则可用积分法求其如果分布力的集度是连续变化的,
18、则可用积分法求其合力。合力。可见,可见,xC 就是荷载图面积的形心的坐标。就是荷载图面积的形心的坐标。理论力学电子教程理论力学电子教程(1)集中荷载的单位,即力的单位为(N,kN)。荷载的单位荷载的单位分布荷载的大小用集度表示,指密集程度。(2)体分布荷载的单位:(3)面分布荷载的单位:(4)线分布荷载的单位:理论力学电子教程理论力学电子教程如图所示的均布荷载,其合力为:作用线则通过梁的中点。(1)均布荷载:集度为常数的分布荷载。)均布荷载:集度为常数的分布荷载。分布荷载的计算方法分布荷载的计算方法Fq=10.91kN/m16 m图理论力学电子教程理论力学电子教程 如图所示坝体所受的水压力为非
19、均布荷载。(2)非均布荷载:荷载集度不是常数的荷载。)非均布荷载:荷载集度不是常数的荷载。yABC图理论力学电子教程理论力学电子教程 水平梁AB受三角形分布的载荷作用,如图所示。载荷的最大集度为q,梁长l。试求合力作用线的位置。例题3-2ABqxl 在梁上距A端为x的微段dx上,作用力的大小为qdx,其中q为该处的载荷集度,由相似三角形关系可知因此分布载荷的合力大小解xABqxdxhlF理论力学电子教程理论力学电子教程xABqxdxhlF 设合力F 的作用线距A端的距离为h,根据合力矩定理,有将q 和 F 的值代入上式,得理论力学电子教程理论力学电子教程 重力坝断面如图示,坝的上游有泥沙淤积。
20、已重力坝断面如图示,坝的上游有泥沙淤积。已知水深知水深H=46m,泥沙厚度,泥沙厚度h=6m,单位体积水重,单位体积水重 =9.8kN/m3,泥沙在水中的容重,泥沙在水中的容重 =8kN/m3。又。又1m长坝段所受重力为长坝段所受重力为W1=4500kN,W2=14000kN。试。试将该坝段所受的力系向将该坝段所受的力系向O 点简化,并求出简化的最点简化,并求出简化的最后结果。后结果。第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 例题3-3理论力学电子教程理论力学电子教程解:解:作用于坝上游面的水压力和泥沙压力为作用于坝上游面的水压力和泥沙压力为平行分布力,上游坝面所受分布荷载的
21、荷载图平行分布力,上游坝面所受分布荷载的荷载图为两个三角形。为两个三角形。设水压力合力为设水压力合力为P1,则,则 P1通过该三角形的形心,即与坝底相距通过该三角形的形心,即与坝底相距 H/3=46/3m。第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 泥沙压力的合力设为泥沙压力的合力设为 P2,则,则 P2与坝底相距与坝底相距h/3=2m。理论力学电子教程理论力学电子教程将将P1、P2、W1、W2四个力向四个力向O 点简化。点简化。求主矢量:求主矢量:第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 理论力学电子教程理论力学电子教程 负号表示主矩负号表示主矩MO 的转向
22、与图示转向相反,即应为的转向与图示转向相反,即应为顺时针向。顺时针向。合力作用线与合力作用线与x轴交点轴交点A的的x坐标值为:坐标值为:第三节第三节 沿直线平行分布力的简化沿直线平行分布力的简化 对对O点的主矩:点的主矩:故原力系有合力故原力系有合力理论力学电子教程理论力学电子教程第四节 平面任意力系的平衡条件 平衡方程第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程理论力学电子教程理论力学电子教程第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程 如果平面任意力系的主矢量及对任一简化中心的如果平面任意力系的主矢量及对任一简化中心的主矩同时
23、等于零,则该力系为主矩同时等于零,则该力系为平衡力系平衡力系;反之,若;反之,若平面任意力系平衡,则其主矢量及对任一简化中心平面任意力系平衡,则其主矢量及对任一简化中心的主矩必须分别等于零。的主矩必须分别等于零。平面任意力系成平衡的充分与必要条件是:平面任意力系成平衡的充分与必要条件是:力系的主矢量与力系对任一点的主矩都等于零,即力系的主矢量与力系对任一点的主矩都等于零,即上述条件用代数方程表示为:上述条件用代数方程表示为:(3-133-13)理论力学电子教程理论力学电子教程 力系中各力在两个直角坐标轴中的每一轴上力系中各力在两个直角坐标轴中的每一轴上的投影的代数和都等于零,所有各力对于任一点
24、的投影的代数和都等于零,所有各力对于任一点的矩的代数和等于零。的矩的代数和等于零。第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程方程(方程(3-133-13)称为)称为平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程,其,其中前两个称为中前两个称为投影方程投影方程,后一个称为,后一个称为力矩方程力矩方程。方程(方程(3-133-13)是平面任意力系平衡方程的)是平面任意力系平衡方程的基本基本形式形式,除了这种形式外,同样还可将平衡方程表示,除了这种形式外,同样还可将平衡方程表示为为二力矩形式二力矩形式或或三力矩形式三力矩形式。(3-14)(3-14)(3-15)(3-
25、15)理论力学电子教程理论力学电子教程二力矩形式的平衡方程,二力矩形式的平衡方程,限制条件限制条件:点:点A、B的连线的连线不垂直于不垂直于x 轴。轴。三力矩形式的平衡方程,三力矩形式的平衡方程,限制条件限制条件:A、B、C 三点不三点不在同一直线上。在同一直线上。第四节第四节 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡方程平衡方程 对于二力矩形式的平衡方程,可推证如下:对于二力矩形式的平衡方程,可推证如下:设一平面任意力系满足方程设一平面任意力系满足方程MiA,则由力偶则由力偶对于任一点的矩是常量对于任一点的矩是常量(等于力偶矩等于力偶矩)这一性质可知,该这一性质可知,该力系不可能简
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