收敛加速的方法.ppt
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1、简单迭代法简单迭代法不动点迭代的收敛性不动点迭代的收敛性迭代序列的收敛速度迭代序列的收敛速度收敛加速的方法收敛加速的方法第二章第二章 非线性方程的求根方法非线性方程的求根方法a,b称为有根区间称为有根区间.则则(2)(3)(1)f(ak)f(bk)0 由此可见,如果二分过程无限地进行下去(由此可见,如果二分过程无限地进行下去(),则则有有限限区区间间必必定定缩缩为为一一点点x*,该该点点显显然然就就是是所所求的根。求的根。实实际际上上,我我们们不不可可能能去去完完成成这这种种无无穷穷过过程程,也也无无必必要,只需得到满足一定精度的近似值就可以了。要,只需得到满足一定精度的近似值就可以了。如如果
2、果令令有有根根区区间间an,bn的的中中点点 为为 x*的的近近似似值值,则则在在二二分分过过程程中中,得得到到下下列列以以x*为为极极限限的的近近似根序列似根序列由于由于二二分分法法优优点点:是是方方程程求求根根问问题题的的一一种种直直接接搜搜索索方方法法,算法简单、直观、实用,收敛性总能得到保证。算法简单、直观、实用,收敛性总能得到保证。缺点(局限性):不能求重根;计算速度慢。缺点(局限性):不能求重根;计算速度慢。思考:思考:为什么不能求重根?为什么不能求重根?例例2.1 用二分法求方程用二分法求方程 在区间在区间1,1.5内的一个实根,要求误差不超过内的一个实根,要求误差不超过0.00
3、5。解解 由公式估计所要由公式估计所要 二分的次数二分的次数即只要二分即只要二分6次,便能达到所要求的精度。次,便能达到所要求的精度。计算结果计算结果kakbkxkf(xk)01.01.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-作业:作业:1、用二分法求方程、用二分法求方程在在区区间间1,2内内的的一一个个实实根根,要要求求误误差差不不超超过过0.005。将将一个计算过程反复进行一个计算过程反复进行一种常见
4、常用的计算技术一种常见常用的计算技术构造有效的迭代格式构造有效的迭代格式选取合适的迭代初值选取合适的迭代初值对迭代格式进行收敛性分析对迭代格式进行收敛性分析一种圆周率的计算方案一种圆周率的计算方案:初值初值:x0=1(n=1,2,3,)迭代格式迭代格式:2.2 迭代法迭代法1 选取初值选取初值把给定的方程把给定的方程 改写成等价形式改写成等价形式 f(x)=0若存在若存在 x*,使得使得 ,则称则称x*为为不动点不动点。在在根根x*的的附附近近取取一一点点x0作作为为x*的的预预测测值值,也也叫叫迭迭代代初初值值。(1)把把x0代入代入(1)的右端,得的右端,得如果如果 ,则,则 。如果如果
5、,把,把 x1作为根的新的预测值代入作为根的新的预测值代入(1),得,得如果如果 ,则,则 。如果如果 ,把,把 x2作为根的新的预测值代入作为根的新的预测值代入(1).如此重复上述步骤,则有如此重复上述步骤,则有迭代公式迭代公式(k=0,1,2,)2 按迭代格式进行计算按迭代格式进行计算3 判别收敛判别收敛其中,其中,:迭代函数迭代函数,得到迭代序列,得到迭代序列如果迭代序列的极限存在,则迭代过程收敛,显然有如果迭代序列的极限存在,则迭代过程收敛,显然有如果迭代序列的极限不存在,则称迭代过程发散。如果迭代序列的极限不存在,则称迭代过程发散。上述迭代过程也称不动点迭代法。上述迭代过程也称不动点
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