数值积分和数值微分yj.ppt
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_05.gif)
《数值积分和数值微分yj.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数值积分和数值微分yj.ppt(54页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、数值分析数值分析 计算定积分有微积分基本公式但很多函数找不到原函数,如等。而实际上,有很多函数只知一些离散点的函数值,并无表达式,这就需要利用已知条件求出近似值。第第5章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分 x x1 12 23 34 45 5f f(x x)4 44.54.56 68 88.58.5科大研究生学位课程数值分析数值分析数值积分数值积分/Numerical Integration/Numerical Integration/定义数值积分如下:是离散点上的函数值的线性组合是离散点上的函数值的线性组合称为求积系数,与f(x)无关,与积分区间和求积节点求积节点有关称为数值积分公式称
2、为数值积分公式数值积分问题可分解为下述三个问题:1、求积公式的具体构造问题;、求积公式的具体构造问题;(包括包括xi的选取和的选取和Ai的构造的构造)3、精确性程度的衡量标准问题。、精确性程度的衡量标准问题。2、余项估计问题、余项估计问题(亦即误差估计问题亦即误差估计问题);求积公式的误差求积公式的误差 RfI*fIf科大研究生学位课程数值分析数值分析1、解决第一个问题;节点、解决第一个问题;节点xi 和和系数系数Ai如何选取,即选取原则如何选取,即选取原则两个目标:两个目标:1、余项估计问题;求积公式的误差、余项估计问题;求积公式的误差 RfI*fIf尽可能小。尽可能小。2、求积公式的代数精
3、度尽可能高。、求积公式的代数精度尽可能高。2、解决第二个问题;依赖插值多项式的余项估计公式。、解决第二个问题;依赖插值多项式的余项估计公式。3、对于第三个问题;引进代数精度的概念、对于第三个问题;引进代数精度的概念科大研究生学位课程数值分析数值分析 定义定义5.1 若求积公式对(x)=xj(j=0,1,2,m)都精确成立,但对(x)=xm+1不精确成立,即则称此公式具有具有m次代数精度次代数精度.可见,若公式具有m次代数精度,则公式对所有次数不超过m的多项式都精确成立.注意:注意:、求积公式的误差是计算精度的度量标志,而代数精度、求积公式的误差是计算精度的度量标志,而代数精度是求积公式优良性能
4、的标志。是求积公式优良性能的标志。2、求积公式的误差小,不代表代数精度高。代数精度高,、求积公式的误差小,不代表代数精度高。代数精度高,也不代表求积公式的误差小。它们没有必然联系。也不代表求积公式的误差小。它们没有必然联系。科大研究生学位课程数值分析数值分析例例 1 1 确定形如确定形如确定形如确定形如的求积公式,使其代数精度尽可能高。数值求积公式为 解解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则 A0+A1+A2=3 A1+3A2=4.5 A1+9A2=9解之得:A0=0,A1=9/4,A2=3/4.例例2 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?
5、科大研究生学位课程数值分析数值分析 解得:A0=A2=1/3,A1=4/3.求积公式为 当(x)=x3时,左=0,右=0,公式也精确成立.解解 令公式对(x)=1,x,x2 都精确成立,则 A0+A1+A2=2 -A0+A2=0 A0+A2=2/3当(x)=x4时,左=2/5,右=2/3,公式不精确成立.所以,此公式的代数精度为3.科大研究生学位课程数值分析数值分析例例3 试确定参数A0,A1和x0,x1,使求积公式具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?解解 令公式对(x)=1,x,x2,x3都精确成立,则 A0+A1=2 A0 x0+A1x1=0 A0 x02+A1x12=2/3 A0
6、 x03+A1x13=0解得:求积公式为求积公式的代数精度为3。科大研究生学位课程数值分析数值分析5.1 插值型求积公式插值型求积公式思思路路利用利用插值多项式插值多项式 ,则积分易算。,则积分易算。在在a,b上取上取 a x0 x1 xn b,做,做 f 的的 n 次插值次插值多项式多项式 ,即得到,即得到Ak由由 决定,决定,与与 无关。无关。节点节点 f(x)插值型积分公式插值型积分公式误差误差科大研究生学位课程数值分析数值分析例:例:对于对于a,b上上1次插值,有次插值,有考察其代数精度。考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式梯形公式/*trapezoidal rule*
7、/解解:逐次检查公式是否精确成立逐次检查公式是否精确成立代入代入 P0=1:=代入代入 P1=x:=代入代入 P2=x2:代数精度代数精度=1定理定理:形如形如 的求积公式至少有的求积公式至少有 n 次代数精度次代数精度 该该公式公式为为插值型插值型(即:(即:)科大研究生学位课程数值分析数值分析 为了简化计算,取等距节点xk=a+kh,(k=0,1,2,n,则有 令 则有称为Newton-Cotes公式公式.Ck(n)称为Cotes系数.(5.6)它不仅与它不仅与函数函数f(x)无关,而且与无关,而且与积分区间积分区间a,b无关。无关。科大研究生学位课程数值分析数值分析设(x)C2a,b,取
8、n=1时的Newton-Cotes公式并估计误差.计算Cotes系数于是有5.2 几个常用的求积公式几个常用的求积公式从几何上看从几何上看:用梯形的面用梯形的面积近似曲边梯形的面积。积近似曲边梯形的面积。所以公式=T也称为梯形公式梯形公式,记为T.5.2.1 梯形公式及其误差梯形公式及其误差科大研究生学位课程数值分析数值分析称之为Simpson公式公式或抛物线公式抛物线公式,记为S.构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a),H3(b)=(b),于是有证明Simpson公式对不高于三次三次的多项式精确成立精确成立,即这时插值误差为=S.设(x)C4a,b,取n=2时的Newton-C
9、otes公式并估计误差.解解 计算Cotes系数 5.2.2 辛普森公式及其误差辛普森公式及其误差科大研究生学位课程数值分析数值分析于是有科大研究生学位课程数值分析数值分析 由于构造Newton-Cotes公式需要Cotes系数,将其列表如下:科大研究生学位课程数值分析数值分析牛顿求积公式:代数精度代数精度=3牛顿公式及其误差牛顿公式及其误差科大研究生学位课程数值分析数值分析取取n n=4=4的的Newton-CotesNewton-Cotes公式及误差公式及误差.查表可得于是有称之为Cotes公式,公式,记为C。其误差为其中,xk=a+kh,k=0,1,2,3,4,h=(b-a)/4.代数精
10、度代数精度=55.2.3 科茨公式及其误差科茨公式及其误差科大研究生学位课程数值分析数值分析 一般地,Newton-Cotes公式的截断误差为 例例1 用梯形公式、Simpson公式和Cotes公式求积分.的近似值。解解 IT=1/2*(4+2)=3IS=1/6*(4+12.8+2)=3.13333IC=1/90*(28+14)=3.14212科大研究生学位课程数值分析数值分析5.3 复化求积公式复化求积公式高次插值有高次插值有Runge 现象现象,故采用分段低次插值,故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 复化复化求积公式。求积公式。复化梯形公式:复化梯形
11、公式:在每个在每个 上用梯形公式:上用梯形公式:=Tn科大研究生学位课程数值分析数值分析可见,复化梯形公式是收敛的。而且,要使|RTn|,只要如果记M2=复化梯形公式的误差为,则有 若在每个小区间上的积分采用Simpson公式,则可得到复化复化Simpson公式公式:科大研究生学位课程数值分析数值分析 复化复化 Simpson 公式:公式:44444=Sn误差为如果记M4=,则有复化Simpson公式也是收敛的,而且,要使|RSn|,只要科大研究生学位课程数值分析数值分析 例例 已知函数分别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算积分 解解的数据表x xk k(x xk k)x xk k(x
12、 xk k)x xk k(x xk k)0 01 13/83/80.97672670.97672673/43/40.90885170.90885171/81/80.99739780.99739781/21/20.95885110.95885117/87/80.87719260.87719261/41/40.98961580.98961585/85/80.93615560.93615561 10.84147100.8414710的近似值。I精确到精确到数点后数点后7位的位的值是值是0.9460831。科大研究生学位课程数值分析数值分析 例例 利用复化梯形公式和复化Simpson公式分别计算上例中
13、定积分,若使精度=10-6,问各需取n为多少?解解 因为(x)=,所以有于是有对复化梯形公式,若使|RTn|10-6,只要故应取n=167.对复化Simpson公式,若使|RSn|10-6,只要 故只需取n=3.实际上,S3=0.9460838.科大研究生学位课程数值分析数值分析变步长求积方法变步长求积方法 实际的积分计算问题,很难根据误差实际的积分计算问题,很难根据误差|Rf|0时时,总有总有Rf-0.这说明这说明,只需只需 h 充分小充分小,必可满足误差要必可满足误差要求求.因此为计算积分,通常采取因此为计算积分,通常采取逐步缩小步长逐步缩小步长的办法。的办法。例如应用复化梯形求积公式时,
14、注意当前步长为h时,有科大研究生学位课程数值分析数值分析可见步长减半时 这表明算出T(h)后,为算T(h/2),只需计算新增节点xi-1/2=a+(i-1/2)h(i=1,n)处的函数值f(xi-1/2),将它们的和乘新步长h/2,再加上T(h)的一半。利用T(h)和T(h*)还可近似误差估计,称之事后误差估计事后误差估计.科大研究生学位课程数值分析数值分析对于复化梯形公式n等分区间h=(b-a)/n2n等分区间近似有:由此引入龙贝格求积方法。3事后误差估计公式事后误差估计公式科大研究生学位课程数值分析数值分析由此得记T(h)=Tn,T(h/2)=T2n 一方面,若|T2n-Tn|3,则有近似
15、误差|I*-T2n|.5.4 Romberg5.4 Romberg求积公式求积公式求积公式求积公式所以有 另一方面,(4T2n-Tn)/3应比Tn和T2n的近似程度更好.事实上,有其中,xk=a+kh,k=0,1,2,n,h=(b-a)/n,科大研究生学位课程数值分析数值分析而且有于是有因此有逐次分半的复化梯形公式的递推公式:而且,要使=Sn只要科大研究生学位课程数值分析数值分析复化Simpson公式能加工成更高精度的公式吗?由复化Simpson公式的误差估计式有:科大研究生学位课程数值分析数值分析所以有由此得 一方面,若|S2n-Sn|15,则有近似误差|I*-S2n|.另一方面,(16S2
16、n-Sn)/15应比Sn和S2n的近似程度更好.(16S2n-Sn)/15=Cn类似地,由于事实上,有科大研究生学位课程数值分析数值分析所以有由此得 一方面,若|C2n-Cn|63,则有近似误差|I*-C2n|.另一方面,(64C2n-Cn)/63应比Cn和C2n的近似程度更好.记(64C2n-Cn)/63=Rn,称为Romberg求积公求积公式式.科大研究生学位课程数值分析数值分析 用Tm(k)(m=1,2,3,4)分别表示把区间2k等分的复化梯形公式,复化Simpson公式,复化Cotes公式和Romberg求积公式.而且,要使|I*-Tm(k)|,只要|Tm(k)-Tm(k-1)|(4m
17、-1)(m=1,2,3,4).则有若对Romberg求积公式作组合也有 科大研究生学位课程数值分析数值分析 Romberg算法:算法:?T1=)0(1T T8=)3(1T T4=)2(1T T2=)1(1T S1=)0(2T R1=)0(4T S2=)1(2T C1=)0(3T C2=)1(3T S4=)2(2T科大研究生学位课程数值分析数值分析 实际计算可按下表顺序进行 k k区间等分数区间等分数n n=2=2k k梯形公式梯形公式T T1 1(k)(k)SimpsonSimpson公式公式T T2 2(k)(k)CotesCotes公式公式T T3 3(k)(k)RombergRomber
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数值 积分 微分 yj
![提示](https://www.deliwenku.com/images/bang_tan.gif)
限制150内