信号与系统课后习题整理及知识点提要.pdf
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1、第 1 章一、信 号 的 定 义 与 分 类1 .定义信号是带有信息(如语言、音乐、图像、数据等)的随时间(和空间)变化的物理量或物理现象,其随时间/变化的图像称为信号的波形。2 .典型的连续时间信号表达式及特性(1)指数信号/二K e 式 中a是实数指数信号的一个重要特性是它对时间的微分和积分仍然是指数形式。2)正弦信号/(/)=K s i n(a y +0)式 中K为振幅.3 是角频率.。称为初相位。正弦信号对时间的积分与微分仍为同频率的正弦信号。(3)复指数信号/(t)=K c1/其中 s =+讪。实际上不能产生复指数信号,但 可 以 利 用 它 来 描 述 各 种 基 本 信 号,使许
2、多运算和分 析 得 以 简 化。(4)S a(/)信号(抽样信号)S a(/)=詈S a(,)信 号 具 有 以 下 性 质:f S a(/)d/=4 S a(z)d/=r e(5)钟形信号(高斯函数)/(/)=E c 7 0函数式中的参数r是 当/(,)由 最 大 值E下 降 为0.7 1 E时,所占据的时间宽度。3.信号的传输与处理过程进行的信号运算包括:信号的移位、反 褶、尺度倍乘、微 分、积分以及两信号的相加或相乘。4.本身有不连续点或其导数与积分有不连续点的函数称为奇异函数或奇异信号。,0 (/0)(1)单位斜变信号 f(t)=,、)/(/2 0),0 (I 0)在 跳 变 点I=0
3、处.函数值未定义.或在I=0处 规 定 函 数 值M(0)=J(3)单位冲激信号 8(/)山=1 合(1)=0 (当/W 0)二、主要公式1 .正弦信号/(Z)=K s i n(o V+。)2 .复指数信号/(/)=K e-5 =。+3.抽样函数 S a(/)=手(0 Z 。0 I 01 I/W 56.门函数 g r(D=Y0 t|Y(1 /07.符号函数 s g n/=|1 I 08.S a(/)d z =7 tJ -89.(/)-今R d)1 0.s g n(z)=2 w(/)1三、系 统 的 定 义、分类及特性1 .系统的定义在电子与通信领域.系统通常是指由若干元件或大量相互联系的部件组
4、成并具有特定功能的整体。2 .系统的分类从不同角度可以将系统进行分类如连续时间系统与离散时间系统即时系统和动态系统.无源系统和有源系统.集总参数系统和分布参数系统.线性系统与非线性系统时变系统与时不变系统等。3 .系统的特性当输入为,(/),输出为r(/)时,表示为f r(/)线性系统满足:当-n(z)和et(l)f r,(Z)时,瓦的(八+苞七(2)f 3n(/)4儿心,其中瓦,上为任意常数。时不变系统满足:/o)一.其 中,0为任意常数.如r(/)=a,(/)。因果系统满足:系统在任何时刻的输出仅取决于输入的现在与过去值向与输入的将来值无关,如 r(n=4-2)。稳定系统满足:系统输入有界
5、其输出也是有界的如)=,(/屋 1.5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是,确定其周期。(1)/1 (k)=cos(也)(2 )f2(k)=cos(牛4+千)+cos(-归 +号)(2)=si n(J,(4)九(为)=产(5)人(,)=3 cosZ +2 si n(7 t Z)(6)/6(/)=cos(7 t/)e(/)分析 本题从函数周期的定义入手较简单。解 力1)=8 5(咛6)设周期为T.T 为正整数则应有争 一 传&+T)=2KN这里N 为一整数.上式等价于学T=-2“N或写为 率 T=2n N 0同 时.T 应当取满足式的最小正整数.可见T =10该序列是周期的,周期为10。该序列
6、的周期应为cos(争 +:)和 cos(尹+卷)的最小公倍数cos什 依+乎)的周期为8.cos信 A+前 的 周 期 为 6,该序列的周期为2 4。(3)人(6)=s in 是非周期的,原因在于若存在周期T.则 有:Q+T)=2KN 左式为有理数,右式为无理数,不等,是非周期的。九 =e 中 是周期的.周期为6.方法与(D相同。(5)该序列不是周期的。cos,的周期为2 k.si n(K/)的周期为2.若序列周期为丁.则T是 2的整数倍,也是2 7 r 的整数倍,这不成立.,不是周期的。(6)该序列不是周期的,在数轴上,零点左右该函数波形明显不同。1-6已知信号/的波形如图1-5所示,画出下
7、列各函数的波形。一一2 0 2 f国1-5#()(5)/(1-2。dT分析对于含有平移,反转尺度变换三种变换方式的信号变换,一般采用先平移后反转.最后进行尺度变换的步骤进行.这样很容易得出正确的变换结果.最后再结合e(f)或其经过变换后的信号可得到正确的波形。解:各信号波形为(1)/。一1)O 1 3(a)(5)“1 2。(e)dft dt 1.10计算下列各题。(1)cost +s in(2f(3)f sin(7t/)(/)d/J -5 0 t(5)+si n(半)3(t +2)d/J 4(7)f (r3+2 z2-2/+l)y(z-Dd rJ-a(2)(1-/)e-S(八(4)J _ e-
8、2,C y(z)+M z)d z(6)f (产+2)水卷)d/(8)p(1 -j-)y(x)d j-J-分析运算过程中如果遇到含有冲激函数与普通函数相乘的情况时.首先利用公式对此部分处理,以简化运算。解(1)$c os f+s i n()=1一 s i n f+2 c os(2/)e(/)+c os Z +s i n(2 z)(z)=京 s i n/+2 c os(2 f)(7)+3(f)=co st 4 s i n(2 z)e(/)+s i n/+2 c os(2 z)3(1)+T(Z)=co st 4 s i n(2/)e(z)+2 8(t)+,()(2)(1 t)d z首先求=e-8C)
9、+e 上 1)at=3 +(/)+3=X d)这里注意e-。出(甲=一(力+协3则(1 一/)=(1 /),(/)at=y(z)一步*)=&)+合&)这 里 注 意凶 =一6(3)涧 皿 与(/)d/-8=lim 绅(位)=H m兀7r/)(洛毕达法则)=7 T/-*0 t/-*0 1(4)e-2,E y(Z)+5(Z)d/J-O O0-2为 (/)+e-2(/)d/=-g.0 3S(Q +23C)-TOI (5(/)dzy(Z)d/+385(z)dz=3-X(5)-oo_t+sin(芈)S(Z +2)dz=_t2+sin()4 4=3 xt 1(6)+2)b(!)df=+2)=4J 8 Z
10、1 1=0T(7)(/+2/2/+l)y(z l)d fJ 2-(-+2/2 7+1)=-(3/2+4 Z-2)=-5=1 /=1(8)(1-z),(1)clrJ-oo y (j?)(l)S(z)cL r=y(j?)dj;+-88(z )cLrJ 03=S(t)+(/)1.1 2 如 图1 1 8所示的电路,写出(1)以 c d)为响应的微分方程;(2)以iL(t)为响应的微分方程。分析找出电路中各元件的端电流和端电压之间的关系.再利用KVL或KCL写出各元件彼此之间的关系.选定某一参量为响应,消去其余中间参量即可得到描述系统的微分方程。解 由 K V L 可得 s“)=L(Z)+(,)由K
11、C L可得 五=,R(/)+M(/)各元件端电流和端电压的关系为(t)=LL(t),UR(t)R R(/).(、(t)=C,(、()(1)选 定,(/)为响应,联立以上各式消去其余中间参量得IX?(/)r *U 0 (7 )I U(-(/)=s(/)稍加整理得以Uc(t)为响应的微分方程KL 1A LA(2)选 定 以 为 响 应,联立各式消去其余中间参量可得LC*(八+|幼+五 =C%.)+嬴 稍加整理得以iL(t)为响应的微分方程;L(/)+L(t)-y y Ti L(/)=s(/)十 n r(u S(?)2/1-1 1 1 1.2 1 图 1 2 4 是一个简单的声学系统模型。(1)声音
12、信号/(”在传播途中遇到障碍物将产生可音。设I 可音信号较原信号衰减a倍(a (/)的表示式。(2)为消除同音,需构造一个消回音系统 如图(b),写出其输出z(t)的表示式,并证明z(t)=f S分析 信 号/(,)经过迟延器后变为/(,7)则系统的输出为各框图加法器输入信号之和。证 明 2(,)=八,只要证明/(/)-z(/)=0即可。解(1)迟延器的输出为了(,丁),则系统输出为y(t)/(/)/(1 T)(2)迟延器的输出为z(r T),则系统的输出为z(/)yCt)一 az(t T)也即j(Z)=z(Z)-az(.t T)由以上两个结果可得f(t)+a f(t T)z(Z)az(t T
13、)整理得(/)一 T)z(T)=0此方程的解为 J,t T)z(t T)=-fl/(/)-z(Z)若 WO则有/f 8 时 的振幅趋于无穷大,不符合物理意义,因此必有/(/)-z(/)=0即/(Z)=2(z)证毕。1.2 2 图 1 2 5 所示的电阻梯形网络中,各串臂电阻均为R,各并臂电阻均为“R(a 为常数)。将各结点依次编号.其序号以=0.1,2.N).相应结点电压为“(4)(显然有 (0)=MS.U(N)=0.它们是边界条件).试列出关于“(A)的差分方程。分析 选 取 电 压 为“(A D 的结点利用基尔霍夫电流定律(K C L).列写方程求解。解 选 取 结 点 电 压 为 1)的
14、结点由基尔霍夫电流定律(K C L)可得u(k 2)u(k 1).u(.kt u(.k-1)_ u(k 1)R u p=次稍加整理即可得到“Q)的差分方程u(k)(2 H-)M(j t 1)+“(4 -2)=0a 1.2 4 下列微分或差分方程所描述的系统.是线性的还是非线性的?是时变的还是时不变的?(2)(/)+sin y(Z)=/(/)(4)yQ)+(为一 D y(4-1)=f(k)分析微分(或差分)方程是线性方程.则描述的系统为线性系统;微分(或差分)方程的系数为时间的函数.则描述的是时变系统,若为常数则为时不变系统。(2)令 y()=T/2(Z)则有 y i(,)一 sin/”(/)=
15、f i(,t),y 2(i)+sin/j 2(/)=f2(t)两式相加可得 四(?)十.(/)1 +sin/yi(?)+山(,)=力(Z)十八(?)即(?)+“(,)=7 /(/)+力”)则系统满足可加性。乂系统显然满足齐次性,可知系统为线性系统。微分方程系数为时间的函数,则系统为时变系统。(4)方程是变系数线性差分方程,则系统为线性时变系统。1.2 5 设激励为/().下列是各系统的零状态响应川(兀判断各系统是否线性的、时不变的、因果的、稳定的?“力=能/,d Z(3)yzs(?)=/()COS(2TTI)(5).凌)=f C k)f(k-l)k%=Zf)j=0分析 按照各个判定规则依次对系
16、统进行判断即可。解(1)系统满足齐次线性和可加性,则系统为线性系统。zs(/Z d)=/(/Z d),系统为时不变系统。at当z /时,/(,)=0.则此时有y“(/)=Q=0,则系统为因果系统。当/(/)=(/)时,(/)=3(/)=0时.6(/)f 8.则系统为不稳定系统。(3)系统满足齐次和可加性,则系统为线性系统。ya(.t /)=f(,t ti)c o s 2“(f 力)W f(,t tA)c o s(2T T/)则系统为时变系统。当,VA)时./=0,则此时有=/(/)C O S(2K/)=0,则系统为因果系统。若/8.有 I%.(/)=f(/)c o s(2 ,)|8,则系统为稳
17、定系统。(5)系统不满足可加性,则系统为非线性系统。T 0./a -和)=/一4)/4一 七-1)=%a Q),则系统为时不变系统。若 A VK时,/1)=0,则此时以(Q=0,则系统为因果系统。若/(为)|8,则%(Q;=|/a)/a 1)1-0统。k若 A VM时,/(&)=0,则 此 时 有%Q)=Z f(j)=0.则系统为因果系统。j 0k若 f(.k)=式h)则 yk)=/(j)=(4 +l)e(A),则当 k+8 时,尸。I y(k)I8,则系统为不稳定系统。1.2 7 某L T I连续系统,其初始状态一定.已知当激励为/(Z)时.其全响应y 1(/)=,(/)=e_,+e-2*.
18、/0当x,(0)=O.Xj(O)=1时,其零输入响应为,2(/)=e-e-z”2 0当x,(0)=l.x j(O)=-1 时,而输入为/(/)时.其全响应y(t)=2+e*,z 0求 当 X|(0)=3.j-.(0)2.输入为2/(,)时的全响应。分析 利用零输入响应的齐次性和可加性和零状态响应的齐次性和可加性以及系统的可分解特性求解。解 利用零输入响应的齐次性和可加性.由已知可得当初始状态为(0)=l,q(O)=1 时.系统的零输入响应为%(,)=(/)?(/)=2 e 2 .t 0由系统的可加性可知,输入为/X,)时.系统的零状态响应为yf(.t)=(,)一%(八=2+e-0则可得当工i(
19、O)=3,X2(0=2.输入 为2 f i t)时.系统的全响应为=3ylj(7)+2 yl2(t)+2”(,)=4 +7e 35“0第 2 章内 容 提 要一、基本定义1.对于复杂系统设激励信号为“,),系统响应为(/)则可以用一高阶的微分方程表示G j rr(/)+C,drr r(/)+.+C -(/)+Cr(/)=E 张。(,)+耳1 +Em i)(Z)4 E,e(/)d/2.整个系统的全响应由自由响应n,(/)和强迫响应彳(/)两部分组成。自由响应外(,)由系统自身特性决定,微分方程的齐次解决定了自由响应的全部形式:强迫响应r(Z)只与外加激励函数的形式有关。3.系统在激励信号加入前瞬
20、间的一组状态称为系统的起始状态(简称0状态).它包含了计算未来响应的全部过去”信息。4.没有外加激励信号作用,只有起始状态所产生的响应称为零输入响应,它是齐次解中的一部分。不考虑起始时刻系统储能的作用.由系统的外加激励信号所产生的响应称为零状态响应.它由自由响应的一部分及强迫响应构成。5.对系统响应的另一种分解是瞬态响应和稳态响应。当/-e时,响应趋于零的那部分响应分量称为瞬态响应;/8时保留下来的那部分响应分量称为稳态响应。6.系统在单位冲激信号8 )的激励下产生 的 零 状 态 响 应 称 为 冲 激 响 应/系 统 在 单位阶跃信号(/)的激励下产牛的零状态响应称为阶跃响应g S二、系统
21、的状态系统的起始状态 y(G)、/(/)系统的初始值 y(/)、.y(以)、了(好)三、系统的响应系统的输入一输出关系:y+an-i3,1 I a I a/i (/)*.A(/)=f t(r)f z(Z r)t/r/(/)*/,(/)=/,(/)*/J/)*人(/)+人(/门=/(/)*A(z)+/1/)*(/)U(/)*/2(Z)J*f式t)=J (t)*C/2(Z)*/s(Z)I C f i(r)*/2(r)d r =*P/2(r)d rJ OOJ-OQ=/2(,)*,f i(r)d r一3(5)微分性质:和()*/)1=/(,)*当 卢=力(/)*丝 产(6)微分积分性质:d f tCt
22、),、,,、d f,(/),*/?(r)d r =/!(r)d r*,C l/J 8 J OQ te 代人初始值得%(0+)=C|=1八(0 十)=-2 C,+C2=2解以上两式得G=1,Q =4,则系统的零输入响应为%(/)=e 2/+4z e ”)0由零状态响应性质可知,求零状态响应即求解微分方程+4,/(八 +4 J 7 C)=合(/)+2 e e(f)|j/(0-)=3 7(0-)=0方程右端含有冲激项,两端对0 一到0 一积分y,f(Z)d/+4 j/(?)d/+4 y(t AtJ o _ J o _ J o _=6”)山+2 e-ze(z)d/J 0 _ J 0 _考 虑 到%(z
23、)的连续性得,/(。十)一+4 /(。+)J/(O_)=1得 丁/(。+)=,/(。-)+1 =1 ,/(0+)=y 1-(0-)=0当/0时,微分方程可化为y f(/)+4j/z(z)+4J7(%)=2 e 1此方程全解为yf(t)=C)e-2 z+C2Z e-z,2 e-z,Z)0代人初始值得yf(0+)=C I +2 =0“/(0+)=2 CI+C2 2 =1解以上两式得3=-2,Q =-l,则系统的零状态响应为yf(t)=-2 e-2,-+2 e-*0系统的全响应为y(t)=%(?)+/(2)=-e-2/+3?e-z,+2 e-,Z)0 2.1 2 如因2 1 4的电路.以电容电压 (
24、/)为响应试求其冲激响应和阶跃响应。分析 由K VL与K C L写出系统微分方程.用经典法求解阶跃响应.代入公式八,)=4*(,)求冲激响应。a t解 由K VL与K C L得(f)=.(,)+(f)Z t(/)=(f)+1、(/)各元件端电流和端电压的关系为川.(f)=MR(/)=R i H(t)i c(/)=C 4 c 联立以上各式解得LC q-yWf (/)+器-q yZ Z c (2)十(t)=Ms (Z )代人数值得 ufc(t)+2 uc(t)=2 s”)当激励 s )=*)时,方程右端不含有冲激项,则u(0.)=0 c(0+)=0方程的解为 u c =+。2 6 7+1 0代人初
25、始值得”(0+)=C!+C2+1 =0c(0+)=-C 2 c 2 =0解 得 G=-2,C2=1,则系统的阶跃响应为g(z)=ucCt)=(2e 十 e 2+1 )e(f)系统的冲激响应为h(t)=(2 e-z 2 e 1?,)()d e 2.1 6 各函数波形如图2 1 6 所示.图(b).(c).(d)中均为单位冲激函数.试求下列卷积,并画出波形图。-(3)/()*九 分析 利用卷积的基本性质,代入公式求解。解 由已知可得/,(/)=-2)r(/)+;r(f +2)(r(/)=Z e(Z)为斜升函数)/?(7)=3(1-2)+3(,+2)人 =3(,t-1)+5(/+1)/4(z)=5(
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