湘教版九年级数学上册第二章一元二次方程ppt课件.pptx
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1、2.1 2.1 一元二次方程第二章一元二次方程第二章一元二次方程学学习习目标目标1.在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中,形成对一元二次方程的感性认识。2.理解一元二次方程的定义,能识别一元二次方程。3.知道一元二次方程的一般形式,能熟练地把一元二次方程整理成一般形式,能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项。如图所示,已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm.现在矩形中挖去一个圆,使剩余部分的面积为原矩形面积的 .求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程(其中 取3).要建立方程,关键是找出问题中的等量关系。分析 问题涉及的等量关系是:矩形的面积-圆的面积=矩形的面积 .
2、情境导入情境导入问题一分析 问题涉及的等量关系是:解:由于圆的半径为xcm,则它的面积为 3x2 cm2.根据等量关系,可以列出方程 化简,整理得 矩形的面积-圆的面积=矩形的面积 .据某市交通部门统计,前年该市汽车拥有量为75万辆,两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程.分析 问题涉及的等量关系是:解:该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x.根据等量关系,可以列出方程 化简,整理得 两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量(1+年平均增长率)2问题二方程 和,它们有什么共同点?两个方程都只有一个未知数.它们的左边都是二次多项式.它们的右边是 0。观察从方
3、程和受到启发,如果一个方程通过整理可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫作一元二次方程.它的一般形式是其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项ax2+bx+c=0(a,b,c是已知数,a0)总结归纳总结归纳 1.下列方程哪些是一元二次方程?(1)7x2-6x=0(2)2x2-5xy+6y=0(5)x2+2x-3=1+x2(3)2x2-1=0 13x解:以上是一元二次方程的是:(4)=0y22(6)3x3-3x=0(1)(4)当堂练习当堂练习2.把下列方程化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:方程一般形式二次项系数一次项
4、系数常数项3x25x1(x2)(x1)647x203x2 5x10 x2 x807x2 0 x40317510 18 435 111 870 41.一元二次方程的概念 2.一元二次方程的一般形式 如果一个方程通过整理可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫作一元二次方程.ax2+bx+c=0(a,b,c是已知数,a0),其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项通过这节课学习,你有哪些收获?课堂小结课堂小结2.2.1 配方法第2章 一元二次方程第1课时 用直接开平方法解一元二次方程学习目标学习目标1.1.理解并掌握一元二次方程的根的概念理解并掌握一元二次
5、方程的根的概念;2.2.会用直接开平方法解形如会用直接开平方法解形如 的方程的方程(重点、难点)(重点、难点)问题:问题:一桶某种油漆可刷的面积为一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm1500 dm2 2,小李用这,小李用这桶油漆恰好刷完桶油漆恰好刷完1010个同样的正方体形状的盒子的全部外个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?表面,你能算出盒子的棱长吗?导入新课导入新课解:设正方体的棱长为解:设正方体的棱长为x x dm dm,则一个正方体的表面积为,则一个正方体的表面积为 6 6x x2 2dmdm2 2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:,根据一桶油漆可刷的面积列出方
6、程:106106x x2 215001500,由此可得由此可得x x2 22525,根据平方根的意义,得根据平方根的意义,得x x55,即即x x1 15 5,x x2 25 5但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为5dm.5dm.前面题解得的前面题解得的x x1 15 5,x x2 25 5也叫作也叫作106106x x2 215001500的根的根一元二次方程的解也叫作一元二次方程的一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根根一、一元二次方程的解(根)一、一元二次方程的解(根)例例1 1:已知已知x x=1=1是一元二次方程是一元二次方程x x2 2-mxmx
7、+2+2m m=0=0的一个解,则的一个解,则m m 的值是的值是 ()()A.-1 B.1 C.0 D.0A.-1 B.1 C.0 D.0或或1 1解析:把解析:把x x=1=1代入一元二次方程代入一元二次方程x x2 2-mxmx+2+2m m=0=0 可得可得m m=-1.=-1.A A典例精析典例精析问题问题1 1:能化为能化为(x x+m m)2 2=n n(n n0)0)的形式的方程需要具备什么特点?的形式的方程需要具备什么特点?左边是含有未知数的完全平方式,右边是非负常数的左边是含有未知数的完全平方式,右边是非负常数的一元二次方程可化为一元二次方程可化为(x x+m m)2 2=
8、n n(n n0).0).问题问题2 2:x x2 29 9,根据平方根的意义,直接开平方得,根据平方根的意义,直接开平方得x x33,如,如果果x x换元为换元为2 2t t1 1,即,即(2(2t t1)1)2 29 9,能否也用直接开平方的方法,能否也用直接开平方的方法求解呢?求解呢?一起一起看看下面的例题看看下面的例题二、直接开平方法解一元二次方程二、直接开平方法解一元二次方程例例2 2:解方程:解方程:(1)(1)x x2 24 4x x4 41 1(2)(2)x x2 26 6x x9 92 2解:解:(1)(1)由原方程得:由原方程得:(x x+2)+2)2 2=1=1 直接开平
9、方得:直接开平方得:x x+2=1+2=1 x x1 1=-1=-1 x x2 2=-3=-3右边是大于右边是大于0 0的数的数所以方程有个不同所以方程有个不同的的实数解的的实数解(2)(2)由原方程得:由原方程得:(x x+3)+3)2 2=2=2直接开平方得:直接开平方得:典例精析典例精析用直接开平方法解方程时,要先将方程化成左边是含未知用直接开平方法解方程时,要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式,右边是非负常数的形式,再根据平方根数的完全平方式,右边是非负常数的形式,再根据平方根的定义求解注意开方后,等式的右边取的定义求解注意开方后,等式的右边取“正、负两种情正、负两种情况况”方法归
10、纳方法归纳1 1一元二次方程一元二次方程x x2 24 40 0的根为的根为()A Ax x2 2 B Bx x2 2 C Cx x1 12 2,x x2 22 2 D Dx x4 42 2方程方程5 5y y2 23 3y y2 23 3的实数根的个数是的实数根的个数是()A A0 0个个 B B1 1个个 C C2 2个个 D D3 3个个3 3一元二次方程一元二次方程x x2 27 7的根是的根是C C C C 当堂练习当堂练习4 4若代数式若代数式3 3x x2 26 6的值为的值为2121,则则x x的值是的值是 5 5解下列方程:解下列方程:(1)2(1)2y y2 2100100
11、0 0;(2)(2)(x x6)(6)(x x6)6)64.64.解析:由题意可得方程:解析:由题意可得方程:3 3x x2 26 62121;解这个方程得:解这个方程得:x x1 1=3=3,x x2 2=-3=-3.解:解:x x2 2-36=64-36=64 x x2 2=100=100 x x=10=10解:解:2 2y y2 2=100=100 y y2 2=50=50直接开平直接开平方法解一方法解一元二次方元二次方程程一元二次方程的解:使方程一元二次方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解,也就是一元二次方程的解,也叫一元二次方程的根叫一
12、元二次方程的根直接开平方法解形如直接开平方法解形如课堂小结课堂小结2.2 一元二次方程的解法2.2.1 配方法(第二课时)学习目学习目标标1.使用完全平方式把x+ax型的代数式配成(x+p)-q(q0)的形式.2.运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.(1(1)(2(2)2 2、下列方程能直接根据平方根的意义来解、下列方程能直接根据平方根的意义来解吗吗?1 1、解下列方程、解下列方程:左边是完全平方式可转化成左边是完全平方式可转化成(x+b)(x+b)2 2=a(a0)=a(a0)的形式,再根的形式,再根据平方根的意义求解据平方根的意义求解.旧知回顾旧知回顾(1(1)(2(2)(3(3)=
13、(=(+)+)2 2=(=()2 2=(=()2 2填上适当的数或式填上适当的数或式,使下列各等式成立使下列各等式成立.()()2 2=(=()2 2(4(4)观察观察(1)(2)(1)(2)当二次项系数当二次项系数是是1 1时时,所填的常数项与一所填的常数项与一次项系数之间有什么关系次项系数之间有什么关系?当二次项系数是当二次项系数是1 1时,常数项是一次项系数绝对值一半的平时,常数项是一次项系数绝对值一半的平方方.探究怎样解方程 x+6x-16=0?能能把方把方程程 x x+6x-16=0+6x-16=0转化成转化成(mx+n)(mx+n)=a=a 的形式吗?的形式吗?移项移项两边加上两边
14、加上3 32 2,使左边配成使左边配成完完全平方全平方式式左边写成完全平方的形左边写成完全平方的形式式开平开平方方变成了变成了(mx+n)(mx+n)2 2=a=a的形式的形式把把一元二次方程的左边配成一个一元二次方程的左边配成一个完全平方式完全平方式,右边为一个右边为一个非负常数非负常数,然后根据平方根的意义求解,这种解一元二次方程的方法叫做然后根据平方根的意义求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法配方法配方的作配方的作用是?用是?降降次次归纳总结归纳总结把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程解下列方解下列方程程:x x+10 x+9=0+10 x
15、+9=0 x x-x-x-=0 0 x x2 22x2x4 40 0 方程无实数根方程无实数根当堂练习当堂练习用配方法解一元二次方程的步用配方法解一元二次方程的步骤:骤:移项:把常数项移到方程的右边;配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;开方:根据平方根意义,方程两边开平方(有正负两根)求解:解一元一次方程;定解:写出原方程的解.课堂小结课堂小结2.2.若若x x2 2 mxmx+49+49是一个完全平方式,则是一个完全平方式,则m=m=.1.1.关于关于x x的二次三项式的二次三项式x x2 2+4+4x x+k k是一个完全平方式,则是一个完全平方式,则k k的值是的值是 .3.
16、3.用配方法将二次三项式用配方法将二次三项式a a2 2-4a+5-4a+5变形结果是(变形结果是()A A(a-2a-2)2 2+1 B+1 B(a+2a+2)2 2-1 -1 C C(a+2a+2)2 2+1 D+1 D(a-2a-2)2 2-1-14 41414A A 4.用配方法解下列方程:(1)x2-3x-1=0 (2)x2 x-=05 5.用用配方法说明:不论配方法说明:不论k k取何实数,多项式取何实数,多项式k k2 23 3k k5 5的值必定大于的值必定大于零零.小试牛刀1.本节课你学到了什么?2.若是要解方程2x4x1=0该如何解?思考2.2 2.2 一元二次方程的解法一
17、元二次方程的解法2.2.2 2.2.2 公式法公式法第二章第二章 一元二次方程一元二次方程教学目标教学目标学会用公式法解一元二次方程,其一般步骤:1、把方程化成一般形式,并写出a、b、c 的值.2、求出b2-4ac 的值.特别注意特别注意:当当b b2 2-4-4acac00时原方程有实数解时原方程有实数解.3、代入求根公式:4、写出方程的解:x1=?,x2=?解:解:移项,得移项,得 配方配方由此可得由此可得利用配方法解一元二次方程利用配方法解一元二次方程回顾旧知回顾旧知化:把原方程化成 xpxq=0 的形式.移项:把常数项移到方程的右边,如x2px=q.配方:方程两边都加上一次项系数一半的
18、平方.开方:根据平方根的意义,方程两边开平方.求解:解一元一次方程.定解:写出原方程的解.用配方法解一元二次方程的步骤用配方法解一元二次方程的步骤方程右边方程右边是非负数是非负数x2px()2 =q()2(x+)2=q()2一元二次方程的一般形一元二次方程的一般形式是什么?式是什么?axax2 2bxbxc c=0(=0(a a0)0)如果使用配方法解出一元二次如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根,那么这个方程一般形式的根,那么这个根是不是可以普遍适用呢?根是不是可以普遍适用呢?导入新课导入新课任何一元二次方程都可以写成一般形式任何一元二次方程都可以写成一般形式你能否也用配方法得出你能否
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