2015年湖南省高考数学试卷.pdf
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1、2015 年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题,共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1(5 分)已知=1+i(i 为虚数单位),则复数 z=()A1+i B 1i C1+i D1i 2(5 分)设 A、B是两个集合,则“AB=A”是“A B”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3(5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入 n=3,则输出的 S=()A B C D 4(5 分)若变量 x、y 满足约束条件,则 z=3x y 的最小值为()A7 B1 C1 D2 5(5 分)设函数 f(x)=ln(1+x)ln(1x),则 f(x)是()A奇函
2、数,且在(0,1)上是增函数 B奇函数,且在(0,1)上是减函数 C偶函数,且在(0,1)上是增函数 D偶函数,且在(0,1)上是减函数 6(5 分)已知()5的展开式中含 x的项的系数为 30,则 a=()A B C6 D6 7(5 分)在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布 N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若 XN=(,a2),则 P(X+)=0.6826 p(2X+2)=0.9544 A2386 B2718 C3413 D4772 8(5 分)已知 A,B,C在圆 x2+y2=1 上运动,且 AB BC,若点 P的坐标为(2,
3、0),则|的最大值为()A6 B7 C8 D9 9(5 分)将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移(0)个单位后得到函数 g(x)的图象若对满足|f(x1)g(x2)|=2 的 x1、x2,有|x1x2|min=,则=()A B C D 10(5 分)某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A B C D 二、填空题,共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11(5 分)(x1)dx=12(5 分)在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图
4、所示 若将运动员成绩由好到差编号为 135 号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则 其 中 成 绩 在 区 间 139,151 上 的 运 动 员 人 数是 13(5 分)设 F是双曲线 C:=1 的一个焦点若 C上存在点 P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C的离心率为 14(5 分)设 Sn为等比数列an的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3成等差数列,则 an=15(5 分)已知函数 f(x)=若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)b 有两个零点,则 a 的取值范围是 三、简答题,共 1 小题,共 75 分,16、17、18 为选修题,任选两小题作答,如果全做
5、,则按前两题计分选修 4-1:几何证明选讲 16(6 分)如图,在O中,相交于点 E的两弦 AB,CD的中点分别是 M,N,直线 MO与直线 CD相交于点 F,证明:(1)MEN+NOM=180(2)FEFN=FMFO 选修 4-4:坐标系与方程 17(6 分)已知直线 l:(t 为参数)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的坐标方程为=2cos(1)将曲线 C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点 M的直角坐标为(5,),直线 l 与曲线 C的交点为 A,B,求|MA|MB|的值 选修 4-5:不等式选讲 18设 a0,b0,且 a+b=+证明:()a+b2;()a2
6、+a2 与 b2+b2 不可能同时成立 七、标题 19设ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c,a=btanA,且 B为钝角()证明:BA=;()求 sinA+sinC 的取值范围 20某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各随机摸出 1 个球,在摸出的 2 个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有 1 个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率;(2)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X,求 X的分布列和数学期望
7、 21如图,已知四棱台 ABCD A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形,AA1=6,且 AA1底面 ABCD,点 P、Q分别在棱 DD1、BC上(1)若 P是 DD1的中点,证明:AB1PQ;(2)若 PQ 平面 ABB1A1,二面角 PQD A的余弦值为,求四面体 ADPQ 的体积 22(13 分)已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F也是椭圆 C2:+=1(ab0)的一个焦点C1与 C2的公共弦长为 2()求 C2的方程;()过点 F的直线 l 与 C1相交于 A、B两点,与 C2相交于 C、D两点,且与同向(1)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率;(2)
8、设 C1在点 A处的切线与 x 轴的交点为 M,证明:直线 l 绕点 F 旋转时,MFD 总是钝角三角形 23(13 分)已知 a0,函数 f(x)=eaxsinx(x0,+)记 xn为 f(x)的从小到大的第 n(nN*)个极值点证明:()数列f(xn)是等比数列;()若 a,则对一切 nN*,xn|f(xn)|恒成立 2015 年湖南省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题,共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1(5 分)已知=1+i(i 为虚数单位),则复数 z=()A1+i B 1i C1+i D1i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得 z 的值【
9、解答】解:已知=1+i(i 为虚数单位),z=1i,故选:D【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题 2(5 分)设 A、B是两个集合,则“AB=A”是“A B”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集,判断两个集合的关系,判断充要条件即可【解答】解:A、B是两个集合,则“AB=A”可得“A B”,“AB”,可得“AB=A”所以 A、B是两个集合,则“AB=A”是“A B”的充要条件 故选:C【点评】本题考查充要条件的判断与应用,集合的交集的求法,基本知识的应用 3(5 分)执行如图所示的程序框图,如果
10、输入 n=3,则输出的 S=()A B C D【分析】列出循环过程中 S 与 i 的数值,满足判断框的条件即可结束循环【解答】解:判断前 i=1,n=3,s=0,第 1 次循环,S=,i=2,第 2 次循环,S=,i=3,第 3 次循环,S=,i=4,此 时,i n,满 足 判 断 框 的 条 件,结 束 循 环,输 出 结 果:S=故选:B【点评】本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力 4(5 分)若变量 x、y 满足约束条件,则 z=3x y 的最小值为()A7 B1 C1 D2【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案【解答】解:
11、由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为 A,联立,解得 C(0,1)由解得 A(2,1),由,解得 B(1,1)z=3x y 的最小值为 3(2)1=7 故选:A 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题易错点是图形中的 B点 5(5 分)设函数 f(x)=ln(1+x)ln(1x),则 f(x)是()A奇函数,且在(0,1)上是增函数 B奇函数,且在(0,1)上是减函数 C偶函数,且在(0,1)上是增函数 D偶函数,且在(0,1)上是减函数【分析】求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可【解答】解:函数 f(x)=ln(1+x)ln
12、(1x),函数的定义域为(1,1),函数 f(x)=ln(1x)ln(1+x)=ln(1+x)ln(1x)=f(x),所以函数是奇函数 排除 C,D,正确结果在 A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0 时,f(0)=0;x=时,f()=ln(1+)ln(1)=ln31,显然 f(0)f(),函数是增函数,所以 B错误,A正确 故选:A【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用,考查计算能力 6(5 分)已知()5的展开式中含 x的项的系数为 30,则 a=()A B C6 D6【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1 项,整理成最简形式,令 x
13、的指数为求得 r,再代入系数求出结果【解答】解:根据所给的二项式写出展开式的通项,Tr+1=;展开式中含 x的项的系数为 30,r=1,并且,解得 a=6 故选:D【点评】本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具 7(5 分)在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布 N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若 XN=(,a2),则 P(X+)=0.6826 p(2X+2)=0.9544 A2386 B2718 C3413 D4772【分析】求出 P(0X1)=0.6
14、826=0.3413,即可得出结论【解答】解:由题意 P(0X1)=0.6826=0.3413,落入阴影部分点的个数的估计值为 100000.3413=3413,故选:C【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量 和 的应用,考查曲线的对称性,属于基础题 8(5 分)已知 A,B,C在圆 x2+y2=1 上运动,且 AB BC,若点 P的坐标为(2,0),则|的最大值为()A6 B7 C8 D9【分析】由题意,AC为直径,所以|=|2+|B为(1,0)时,|2+|7,即可得出结论【解答】解:由题意,AC为直径,所以|=|2+|所以 B为(1,0)时,|2+|7
15、所以|的最大值为 7 另解:设 B(cos,sin),|2+|=|2(2,0)+(cos2,sin)|=|(cos6,sin)|=,当 cos=1 时,B为(1,0),取得最大值 7 故选:B【点评】本题考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础 9(5 分)将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移(0)个单位后得到函数 g(x)的图象若对满足|f(x1)g(x2)|=2 的 x1、x2,有|x1x2|min=,则=()A B C D【分析】利用三角函数的最值,求出自变量 x1,x2的值,然后判断选项即可【解答】解:因为将函数 f(x)=sin2x 的周期为,函数的图象向右平
16、移(0)个单位后得到函数 g(x)的图象若对满足|f(x1)g(x2)|=2的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1x2|min=,不妨 x1=,x2=,即 g(x)在 x2=,取得最小值,sin(22)=1,此时=,不合题意,x1=,x2=,即 g(x)在 x2=,取得最大值,sin(22)=1,此时=,满足题意 另解:f(x)=sin2x,g(x)=sin(2x2),设 2x1=2k+,kZ,2x22=+2m,m Z,x1x2=+(km),由|x1x2|min=,可得=,解得=,故选:D【点评】本题考查三角函数的图象平移,函数的最值以及函数的周期的应用,考查分析问题解决问题的能力
17、,是好题,题目新颖有一定难度,选择题,可以回代验证的方法快速解答 10(5 分)某工件的三视图如图所示现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A B C D【分析】根据三视图可判断其为圆锥,底面半径为 1,高为 2,求解体积 利用几何体的性质得出此长方体底面边长为 n 的正方形,高为 x,利用轴截面的图形可判断得出 n=(1),0 x2,求解体积式子,利用导数求解即可,最后利用几何概率求解即【解答】解:根据三视图可判断其为圆锥,底面半径为 1,高为 2,V=2=加工成一个体积尽可能大的长方体新工
18、件,此长方体底面边长为 n 的正方形,高为 x,根据轴截面图得出:=,解得;n=(1),0 x2,长方体的体积=2(1)2x,=x24x+2,=x24x+2=0,x=,x=2,可判断(0,)单调递增,(,2)单调递减,最大值=2(1)2=,原工件材料的利用率为=,故选:A【点评】本题很是新颖,知识点融合的很好,把立体几何,导数,概率都相应的考查了,综合性强,属于难题 二、填空题,共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11(5 分)(x1)dx=0 【分析】求出被积函数的原函数,代入上限和下限求值【解答】解:(x1)dx=(x)|=0;故答案为:0【点评】本题考查了定积分的计算;关键是求出
19、被积函数的原函数 12(5 分)在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示 若将运动员成绩由好到差编号为 135 号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则 其 中 成 绩 在 区 间 139,151 上 的 运 动 员 人 数 是 4 【分析】根据茎叶图中的数据,结合系统抽样方法的特征,即可求出正确的结论【解答】解:根据茎叶图中的数据,得;成绩在区间139,151 上的运动员人数是 20,用系统抽样方法从 35 人中抽取 7 人,成绩在区间139,151 上的运动员应抽取 7=4(人)故答案为:4【点评】本题考查了茎叶图的应用问题,也考查了系统抽样方法的应用问题,是基础
20、题目 13(5 分)设 F是双曲线 C:=1 的一个焦点若 C上存在点 P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C的离心率为 【分析】设 F(c,0),P(m,n),(m 0),设 PF 的中点为 M(0,b),即有 m=c,n=2b,将中点 M的坐标代入双曲线方程,结合离心率公式,计算即可得到【解答】解:设 F(c,0),P(m,n),(m 0),设 PF的中点为 M(0,b),即有 m=c,n=2b,将点(c,2b)代入双曲线方程可得,=1,可得 e2=5,解得 e=故答案为:【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法,同时考查中点坐标公式的运用,属于中档题 1
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