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1、2016 年天津市高考数学试卷(文科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 1(5 分)已知集合 A=1,2,3,B=y|y=2x 1,xA,则 AB=()A1,3 B1,2 C2,3 D1,2,3 2(5 分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为()A B C D 3(5 分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()A B C D 4(5 分)已知双曲线=1(a0,b0)的焦距为 2,且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为()Ay2=1
2、Bx2=1 C=1 D=1 5(5 分)设 x0,yR,则“xy”是“x|y|”的()A充要条件 B充分不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 6(5 分)已知 f(x)是定义在 R上的偶函数,且在区间(,0)上单调递增,若实数 a 满足 f(2|a 1|)f(),则 a 的取值范围是()A(,)B(,)(,+)C(,)D(,+)7(5 分)已知ABC是边长为 1 的等边三角形,点 D、E分别是边 AB、BC的中点,连接 DE并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 的值为()A B C D 8(5 分)已知函数 f(x)=sin2+sin x(0),xR,若 f(x)在区间(,
3、2)内没有零点,则 的取值范围是()A(0,B (0,1)C(0,D (0,二、填空题本大题 6 小题,每题 5 分,共 30 分 9(5 分)i 是虚数单位,复数 z 满足(1+i)z=2,则 z 的实部为 10(5 分)已知函数 f(x)=(2x+1)ex,f(x)为 f(x)的导函数,则 f(0)的值为 11(5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 12(5 分)已知圆 C的圆心在 x 轴正半轴上,点(0,)圆 C上,且圆心到直线 2xy=0 的距离为,则圆 C的方程为 13(5 分)如图,AB是圆的直径,弦 CD与 AB相交于点 E,BE=2AE=2,BD=
4、ED,则线段 CE的长为 14(5 分)已知函数 f(x)=(a0,且 a1)在 R上单调递减,且关于 x 的方程|f(x)|=2 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是 三、解答题:本大题共 6 小题,80 分 15(13分)在ABC 中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin2B=bsinA(1)求 B;(2)已知 cosA=,求 sinC 的值 16(13 分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C三种主要原料,生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:肥料 原料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A种原料
5、 200 吨,B种原料 360 吨,C种原料 300 吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润为 3 万元、分别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数()用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;()问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润 17(13 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED 平面 ABCD,EFAB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE=,BAD=60,G为 BC的中点(1)求证:FG 平面 BED;(2)求证:平面
6、BED 平面 AED;(3)求直线 EF与平面 BED所成角的正弦值 18(13 分)已知an是等比数列,前 n 项和为 Sn(nN*),且=,S6=63(1)求an的通项公式;(2)若对任意的 nN*,bn是 log2an和 log2an+1的等差中项,求数列(1)nb的前 2n 项和 19(14 分)设椭圆+=1(a)的右焦点为 F,右顶点为 A,已知+=,其中O为原点,e 为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l 与椭圆交于B(B不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于点 M,与 y 轴交于点 H,若 BFHF,且MOA=MAO,求直线 l 的斜率 20(14 分
7、)设函数 f(x)=x3axb,xR,其中 a,bR(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0),其中 x1x0,求证:x1+2x0=0;(3)设 a0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间 1,1 上的最大值不小于 2016 年天津市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的 1(5 分)已知集合 A=1,2,3,B=y|y=2x 1,xA,则 AB=()A1,3 B1,2 C2,3 D1,2,3【分析】根据题意,将集合 B用列举法表示出来,可得 B=1,3,5,由交集的定义
8、计算可得答案【解答】解:根据题意,集合 A=1,2,3,而 B=y|y=2x 1,xA,则 B=1,3,5,则 AB=1,3,故选:A【点评】本题考查集合的运算,注意集合 B的表示方法 2(5 分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为()A B C D【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出【解答】解:甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件 根据互斥事件的概率计算公式可知:甲不输的概率 P=+=故选:A【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式,关键是判断出事件的关系,然后选择合适的概率公式,属于基础题 3(5 分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱
9、锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()A B C D【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图,找出所切棱锥的位置,得出答案【解答】解:由主视图和俯视图可知切去的棱锥为 DAD1C,棱 CD1在左侧面的投影为 BA1,故选:B【点评】本题考查了棱锥,棱柱的结构特征,三视图,考查空间想象能力,属于基础题 4(5 分)已知双曲线=1(a0,b0)的焦距为 2,且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,则双曲线的方程为()Ay2=1 Bx2=1 C=1 D=1【分析】利用双曲线=1(a0,b0)的焦距为 2,且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,求
10、出几何量 a,b,c,即可求出双曲线的方程【解答】解:双曲线=1(a0,b0)的焦距为 2,c=,双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直,=,a=2b,c2=a2+b2,a=2,b=1,双曲线的方程为=1 故选:A【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查待定系数法的运用,确定双曲线的几何量是关键 5(5 分)设 x0,yR,则“xy”是“x|y|”的()A充要条件 B充分不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【分析】直接根据必要性和充分判断即可【解答】解:设 x0,yR,当 x0,y=1 时,满足 xy 但不满足 x|y|,故由 x0,yR,则“xy”推不出“x|y|”,
11、而“x|y|”“xy”,故“xy”是“x|y|”的必要不充分条件,故选:C【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 6(5 分)已知 f(x)是定义在 R上的偶函数,且在区间(,0)上单调递增,若实数 a 满足 f(2|a 1|)f(),则 a 的取值范围是()A(,)B(,)(,+)C(,)D(,+)【分析】根据函数的对称性可知 f(x)在(0,+)递减,故只需令 2|a 1|即可【解答】解:f(x)是定义在 R上的偶函数,且在区间(,0)上单调递增,f(x)在(0,+)上单调递减 2|a 1|0,f()=f(),2|a 1|=2|a 1|,解得
12、故选:C【点评】本题考查了函数的单调性,奇偶性的性质,属于中档题 7(5 分)已知ABC是边长为 1 的等边三角形,点 D、E分别是边 AB、BC的中点,连接 DE并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 的值为()A B C D【分析】由题意画出图形,把、都用表示,然后代入数量积公式得答案【解答】解:如图,D、E分别是边 AB、BC的中点,且 DE=2EF,=故选:C【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量加减法的三角形法则,是中档题 8(5 分)已知函数 f(x)=sin2+sin x(0),xR,若 f(x)在区间(,2)内没有零点,则 的取值范围是()A(0,B (0,1)C(0,
13、D (0,【分析】函数 f(x)=,由 f(x)=0,可得=0,解得 x=(,2),因此=,即可得出【解 答】解:函 数f(x)=+sin x=+sin x=,由 f(x)=0,可得=0,解得 x=(,2),=,f(x)在区间(,2)内没有零点,故选:D【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 二、填空题本大题 6 小题,每题 5 分,共 30 分 9(5 分)i 是虚数单位,复数 z 满足(1+i)z=2,则 z 的实部为 1 【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解:由(1+i)z=2,得,z 的实部为 1
14、 故答案为:1【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题 10(5 分)已知函数 f(x)=(2x+1)ex,f(x)为 f(x)的导函数,则 f(0)的值为 3 【分析】先求导,再带值计算【解答】解:f(x)=(2x+1)ex,f(x)=2ex+(2x+1)ex,f(0)=2e0+(20+1)e0=2+1=3 故答案为:3【点评】本题考查了导数的运算法则,属于基础题 11(5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 S 的值为 4 【分析】根据循环结构,结合循环的条件,求出最后输出 S 的值【解答】解:第一次循环:S=8,n=2;第二次循环:S=2,n
15、=3;第三次循环:S=4,n=4,结束循环,输出 S=4,故答案为:4【点评】本题主要考查程序框图,循环结构,注意循环的条件,属于基础题 12(5 分)已知圆 C的圆心在 x 轴正半轴上,点(0,)圆 C上,且圆心到直线 2xy=0 的距离为,则圆 C的方程为(x2)2+y2=9 【分析】由题意设出圆的方程,把点 M的坐标代入圆的方程,结合圆心到直线的距离列式求解【解答】解:由题意设圆的方程为(xa)2+y2=r2(a0),由点 M(0,)在圆上,且圆心到直线 2xy=0 的距离为,得,解得 a=2,r=3 圆 C的方程为:(x2)2+y2=9 故答案为:(x2)2+y2=9【点评】本题考查圆
16、的标准方程,训练了点到直线的距离公式的应用,是中档题 13(5 分)如图,AB是圆的直径,弦 CD与 AB相交于点 E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段 CE的长为 【分析】由 BD=ED,可得BDE为等腰三角形,过 D作 DH AB于 H,由相交弦定理求得 DH,在 RtDHE 中求出 DE,再由相交弦定理求得 CE 【解答】解:如图,过 D作 DH AB于 H,BE=2AE=2,BD=ED,BH=HE=1,则 AH=2,BH=1,DH2=AHBH=2,则DH=,在 RtDHE 中,则,由相交弦定理可得:CEDE=AEEB,故答案为:【点评】本题考查与圆有关的比例线段,考查相交弦定理的应
17、用,是中档题 14(5 分)已知函数 f(x)=(a0,且 a1)在 R上单调递减,且关于 x 的方程|f(x)|=2 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是,)【分析】由减函数可知 f(x)在两段上均为减函数,且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值,作出|f(x)|和 y=2的图象,根据交点个数判断3a 与 2 的大小关系,列出不等式组解出【解答】解:f(x)是 R上的单调递减函数,y=x2+(4a3)x+3a 在(,0)上单调递减,y=loga(x+1)+1 在(0,+)上单调递减,且 f(x)在(,0)上的最小值大于或等于 f(0),解得a 作出 y=|f(x)|和 y=2的
18、函数草图如图所示:由图象可知|f(x)|=2 在0,+)上有且只有一解,|f(x)|=2 恰有两个不相等的实数解,x2+(4a3)x+3a=2在(,0)上只有 1 解,即 x2+(4a)x+3a2=0 在(,0)上只有 1 解,或,解得 a=或 a,又a,故答案为,)【点评】本题考查了分段函数的单调性,函数零点的个数判断,结合函数函数图象判断端点值的大小是关键,属于中档题 三、解答题:本大题共 6 小题,80 分 15(13分)在ABC 中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin2B=bsinA(1)求 B;(2)已知 cosA=,求 sinC 的值【分析】(1)利用正弦定理将边
19、化角即可得出cosB;(2)求出 sinA,利用两角和的正弦函数公式计算【解答】解:(1)asin2B=bsinA,2sinAsinBcosB=sinBsinA,cosB=,B=(2)cosA=,sinA=,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=【点评】本题考查了正弦定理解三角形,两角和的正弦函数,属于基础题 16(13 分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料,生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:肥料 原料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A种原料 200 吨,B种原料 360 吨,C
20、种原料 300 吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润为 3 万元、分别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数()用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;()问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润【分析】()设出变量,建立不等式关系,即可作出可行域()设出目标函数,利用平移直线法进行求解即可【解答】解:()由已知 x,y 满足不等式,则不等式对应的平面区域为,()设年利润为 z 万元,则目标函数为 z=2x+3y,即 y=x+,平移直线 y=x+,由
21、图象得当直线经过点 M时,直线的截距最大,此时 z 最大,由得,即 M(20,24),此时 z=40+72=112,即分别生产甲肥料 20 车皮,乙肥料 24 车皮,能够产生最大的利润,最大利润为112 万元 【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据条件建立约束条件,作出可行域,利用平移法是解决本题的关键 17(13 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED 平面 ABCD,EFAB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE=,BAD=60,G为 BC的中点(1)求证:FG 平面 BED;(2)求证:平面 BED 平面 AED;(3)求直线 EF与平面 BED所成角的正弦值 【分
22、析】(1)利用中位线定理,和平行公理得到四边形 OGEF 是平行四边形,再根据线面平行的判定定理即可证明;(2)根据余弦定理求出 BD=,继而得到 BD AD,再根据面面垂直的判定定理即可证明;(3)先判断出直线 EF与平面 BED所成的角即为直线 AB与平面 BED所形成的角,再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案【解答】证明:(1)BD的中点为 O,连接 OE,OG,在BCD中,G是 BC的中点,OG DC,且 OG=DC=1,又EFAB,AB DC,EFOG,且 EF=OG,即四边形 OGEF 是平行四边形,FG OE,FG 平面 BED,OE 平面 BED,FG 平面 BED;(2)
23、证明:在ABD中,AD=1,AB=2,BAD=60,由余弦定理可得 BD=,仅而ADB=90,即 BD AD,又平面 AED 平面 ABCD,BD 平面 ABCD,平面 AED 平面 ABCD=AD,BD 平面 AED,BD 平面 BED,平面 BED 平面 AED ()EFAB,直线 EF与平面 BED所成的角即为直线 AB与平面 BED所形成的角,过点 A作 AH DE于点 H,连接 BH,又平面 BED 平面 AED=ED,由(2)知 AH 平面 BED,直线 AB与平面 BED所成的角为ABH,在ADE,AD=1,DE=3,AE=,由余弦定理得 cos ADE=,sin ADE=,AH
24、=AD,在 RtAHB 中,sin ABH=,直线 EF与平面 BED所成角的正弦值 【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直,平面与平面的垂直,直线与平面所成的角,考查了空间想象能力,运算能力和推理论证能力,属于中档题 18(13 分)已知an是等比数列,前 n 项和为 Sn(nN*),且=,S6=63(1)求an的通项公式;(2)若对任意的 nN*,bn是 log2an和 log2an+1的等差中项,求数列(1)nb的前 2n 项和【分析】(1)根据等比数列的通项公式列方程解出公比q,利用求和公式解出a1,得出通项公式;(2)利用对数的运算性质求出bn,使用分项求和法和平方差公式计算【解答
25、】解:(1)设an的公比为 q,则=,即 1=,解得 q=2或 q=1 若 q=1,则 S6=0,与 S6=63矛盾,不符合题意q=2,S6=63,a1=1 an=2n1(2)bn是 log2an和 log2an+1的等差中项,bn=(log2an+log2an+1)=(log22n1+log22n)=n bn+1bn=1 bn是以为首项,以 1 为公差的等差数列 设(1)nbn2的前 2n 项和为 Tn,则 Tn=(b12+b22)+(b32+b42)+(b2n12+b2n2)=b1+b2+b3+b4+b2n1+b2n=2n2【点评】本题考查了等差数列,等比数列的性质,分项求和的应用,属于中
26、档题 19(14 分)设椭圆+=1(a)的右焦点为 F,右顶点为 A,已知+=,其中O为原点,e 为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l 与椭圆交于B(B不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于点 M,与 y 轴交于点 H,若 BFHF,且MOA=MAO,求直线 l 的斜率【分析】(1)由题意画出图形,把|OF|、|OA|、|FA|代入+=,转化为关于 a 的方程,解方程求得 a 值,则椭圆方程可求;(2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x2),(k0),联立直线方程和椭圆方程,化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系求得B的坐标,再写出 MH 所在直线方
27、程,求出 H的坐标,由 BFHF,得,整理得到 M的坐标与 k 的关系,由MOA=MAO,得到 x0=1,转化为关于 k 的等式求得 k 的值【解答】解:(1)由+=,得+=,即=,aa2(a23)=3a(a23),解得 a=2 椭圆方程为;(2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x2),(k0),设 B(x1,y1),M(x0,k(x02),MOA=MAO,x0=1,再设 H(0,yH),联立,得(3+4k2)x216k2x+16k212=0=(16k2)24(3+4k2)(16k212)=1440 由根与系数的关系得,MH 所在直线方程为 yk(x02)=(xx0),令 x=0,得 yH
28、=(k+)x02k,BFHF,即 1x1+y1yH=1(k+)x02k=0,整理得:=1,即 8k2=3 k=或 k=【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法,考查运算能力,是难题 20(14 分)设函数 f(x)=x3axb,xR,其中 a,bR(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0),其中 x1x0,求证:x1+2x0=0;(3)设 a0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间 1,1 上的最大值不小于【分析】(1)求出 f(x)的导数,讨论 a0 时
29、 f(x)0,f(x)在 R上递增;当 a0 时,由导数大于 0,可得增区间;导数小于 0,可得减区间;(2)由条件判断出 a0,且 x00,由 f(x0)=0 求出 x0,分别代入解析式化简 f(x0),f(2x0),化简整理后可得证;(3)设 g(x)在区间 1,1 上的最大值 M,根据极值点与区间的关系对 a 分三种情况讨论,运用 f(x)单调性和前两问的结论,求出 g(x)在区间上的取值范围,利用 a 的范围化简整理后求出 M,再利用不等式的性质证明结论成立【解答】解:(1)若 f(x)=x3axb,则 f(x)=3x2a,分两种情况讨论:、当 a0 时,有 f(x)=3x2a0 恒成
30、立,此时 f(x)的单调递增区间为(,+),、当 a0 时,令 f(x)=3x2a=0,解得 x=或 x=,当 x或 x时,f(x)=3x2a0,f(x)为增函数,当x时,f(x)=3x2a0,f(x)为减函数,故 f(x)的增区间为(,),(,+),减区间为(,);(2)若 f(x)存在极值点 x0,则必有 a0,且 x00,由题意可得,f(x)=3x2a,则 x02=,进而 f(x0)=x03ax0b=x0b,又 f(2x0)=8x03+2ax0b=x0+2ax0b=f(x0),由题意及()可得:存在唯一的实数 x1,满足 f(x1)=f(x0),其中 x1x0,则有 x1=2x0,故有
31、x1+2x0=0;()设 g(x)在区间 1,1 上的最大值 M,maxx,y 表示 x、y 两个数的最大值,下面分三种情况讨论:当 a3 时,11,由(I)知 f(x)在区间 1,1 上单调递减,所以 f(x)在区间 1,1 上的取值范围是f(1),f(1),因此 M=max|f(1)|,|f(1)|=max|1 ab|,|1+ab|=max|a 1+b|,|a 1b|=,所以 M=a 1+|b|2 当a3 时,由()、()知,f(1)=f(),f(1)=,所以 f(x)在区间 1,1 上的取值范围是f(),f(),因此 M=max|f()|,|f()|=max|,|=max|,|=,当 0a时,由()、()知,f(1)=f(),f(1)=,所以 f(x)在区间 1,1 上的取值范围是f(1),f(1),因此 M=max|f(1)|,|f(1)|=max|1+ab|,|1 ab|=max|1 a+b|,|1 ab|=1 a+|b|,综上所述,当 a0 时,g(x)在区间 1,1 上的最大值不小于【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和最值,不等式的证明,注意运用分类讨论的思想方法和转化思想,考查分析法在证明中的应用,以及化简整理、运算能力,属于难题
限制150内