解析几何2023届高考数学一轮复习学案.pdf
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1、解 析 几 何【知 钠 直 讲 解】一、直 线 的 方 程 1.直 线 的 倾 斜 角(1)定 义:当 直 线/与 轴 相 交 时,取 工 轴 作 为 基 准,%轴 正 向 与 直 线 1 向 上 的 方 向 之 间 所 成 的 角 叫 做 直 线/的 倾 斜 角。(2)规 定:当 直 线/与 工 轴 平 行 或 重 合 时,规 定 它 的 倾 斜 角 为 0。(3)范 围:直 线 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 0。,180)o2.斜 率 公 式(1)定 义 式:直 线 的 倾 斜 角 为 a(a H,则 斜 率 k=te m a。(2)坐 标 式:Pi(%i,y i),P2(x2,y2
2、)在 直 线/上,且 4 H x2,则/的 斜 率 k=及 一 力 o%2一%1例 1.图 1 是 中 国 古 代 建 筑 中 的 举 架 结 构,AA,8B,CC,Q Q 是 桁,相 邻 桁 的 水 平 距 离 称 为 步,垂 直 距 离 称 为 举,图 2 是 某 古 代 建 筑 屋 顶 截 面 的 示 意 图.其 中 O A,C G,8 4,A A是 举,O R,D C|,C B*A是 相 等 的 步,相 邻 桁 的 举 步 之 比 分 别 为 7m=0,5,DT-=ki 已 知 勺&,&成 公 差 为 a 的 等 差 数 列,且 直 线 ZJCj C L|D/。4的 斜 率 为 0.7
3、 2 5,则 与=()【答 案】D(详 解】设=DC、=CB、=BA,=1,则 CC=*BB=k2,AAt=k,依 题 意 有&-0.2=勺,%-0.1=&,且 C 0+C C+B 4+A AOD、+Z)G+CB、+3A=0.725,所 以 0.5+3k%0.3=0.725,故&=0.9,4例 2.已 知 A,8,P为 双 曲 线/一 片=上 不 同 三 点,且 满 足 用+方=2的(。为 坐 4标 原 点),直 线 P A P 8 的 斜 率 记 为 加,,则 病+止 的 最 小 值 为 4A.8 B.4 C.2 D.1【答 案】B【详 解】PA+PB=2 P O 有 点。为 线 段 A B
4、 的 中 点,设 4%,,必),(,必),则 岭 2,所 与,”资,故 叱 器 鬻 当 寒,由 于 点 A,B,P在 双 曲 线 上,所 以 x:-g=l,考-父=1,代 入 上 式 中,有 J?=4,所 4 4 4(必 一 1)以 病+2 21.匕=mn=4,故 最 小 值 为 4.选 B.4 V 43.直 线 方 程 的 五 种 形 式 名 称 方 程 点 斜 式 y y0=k(x x0)不 含 垂 直 于 久 轴 的 直 线 适 用 范 围 斜 截 式 y=kx+b 不 含 垂 直 于 X 轴 的 直 线 两 点 式 y-yi _ 2 一%一 X2-Xt不 含 直 线%=%式%1。%2)
5、和 直 线 y=丫 1(%丰 丫 2)截 距 式-4-7=l(ah H 0)a D不 含 垂 直 于 坐 标 轴 和 过 原 点 的 直 线 一 般 式 A%+By+C=0(/+82=0)平 面 内 所 有 直 线 都 适 用 例 3.直 线 2yx+l=0 关 于 y-x+3=0对 称 的 直 线 方 程 是()A.2x-y-8=0 B.2x-y-10=0 C.2x+y-12=0 D.2x+y-10=0【答 案】A【详 解】解:设 所 求 直 线 上 任 意 一 点 P(x,y),Q(%,x)是 关 于 直 线)x+3=0 的 对称 点,则,解 得 卜”:一+y X|+X|?_ 0 y x-
6、3,2 2由 对 称 性 得。在 直 线 2 y-x+l=0上,.2(x 3)(y+3)+l=0,即 2 x-y-8=0例 4.直 线 I:2/n r+y-m-l=0与 圆 C:/+(-2尸=4 交 于 A,B 两 点,则 当 弦 AB最 短 时 直 线 I的 方 程 为 A.2x-4y+3=0 B.x-4 y+3=0C.2x+4y+3=0 D.2x+4y+l=0【答 案】A【详 解】由 题 得?(2x-l)+(y-l)=0,.12 1=0y-l=01x=2,)=1所 以 直 线 I过 定 点 P(g,D.当 CPBI时,弦 AB最 短.由 题 得,2-1.=10 _ 1一,,/一 2,所 以
7、 一 2雨 二 一,.2=22 4所 以 直 线 I的 方 程 为 2x-4y+3=0.二、两 直 线 的 位 置 关 系 1.两 条 直 线 平 行 与 垂 直 的 判 定(1)两 条 直 线 平 行 对 于 两 条 不 重 合 的 直 线 2 1/2,其 斜 率 分 别 为 七 水 2,则 有,1,2=K=k2 O当 直 线 2 1,。的 斜 率 都 不 存 在 时,h 与 平 行。例 5.若 直 线 ix+2y+,=0与 直 线 3次+(加-1)+7=0平 行,则 加 的 值 为 A.7 B.0 或 7 C.0 D.4【答 案】B【详 解】回 直 线 tr+2y+z=0与 直 线 3,n
8、x+Q _l)y+7=0平 行,回,=3,x2,回 j=0或 7,经 检 脸,都 符 合 题 意,故 选 B.(2)两 条 直 线 垂 直 如 果 两 条 直 线,12斜 率 存 在,设 为 七,k2,则,1 J-0=A kz=T o当 一 条 直 线 斜 率 为 零,另 一 条 直 线 斜 率 不 存 在 时,两 直 线 垂 直。2.三 种 距 离 公 式(1)点/(%1,丫 1),8(%2,丫 2)间 的 距 离 为|AB|=J(%2%1)2+(丫 2 yi)2 o(2)点 P(%o,yo)到 直 线 L/x+By+C=0 的 距 离 为 人=毁 舞 尹。(3)两 平 行 直 线。:4%+
9、By+G=0与,2:4 x+By+C2=0(G。2)间 的 距 离 为 o例 6.在 平 面 直 角 坐 标 系 中,记 d 为 点 P(cosO,sin。)到 直 线 x-阳-2=0 的 距 离,当 9、“变 化 时,的 最 大 值 为 A.I B.2 C.3 D.4【答 案】C【详 解】Qcos2 6+sin?=1,P 为 单 位 圆 上 一 点,而 直 线 x-,y-2=0过 点 A(2,0),所 以 d 的 最 大 值 为 Q4+l=2+l=3,选 C.3.对 称 问 题(1)点 P(%o,y。)关 于 点 力(a,b)的 对 称 点 为 P(2a-xQ,2b-y0)。(2)设 点 P
10、 Q o,yo)关 于 直 线 丫=左+5 的 对 称 点 为 P(x,y),P 坐.=则 有.*x 可 求 出/,y oV 2 2 特 殊 情 况:(1)点(x,y)关 于 直 线 x=a 的 对 称 点 为(2ax,y),关 于 直 线 y=6 的 对 称 点 为(x,2by);(2)点(x,y)关 于 直 线 y=x 的 对 称 点 为(v,x),关 于 直 线 y=-x 的 对 称 点 为(-y,x):(3)点(x,_/)关 于 直 线 x+y=A 1的 对 称 点 为(一 v,kx),关 于 直 线 xy=k 的 对 称 点 为(A+y,x).例 7.点(1,2)*口(一 1,相)关
11、 于 乙 一 丁+3=。对 称,则 7+4=.【答 案】5【详 解】由 题 意,点(1,2)和(-1,m)关 于 kx-y+3=0对 称,则 点(寸,等)在 直 线 kx-y+3=0上,可 得:笞 1=3,解 得 m=4.那 么:点(1,2)和(-1,4)确 定 的 直 线 的 斜 率 为-1 与 kx-y+3=0垂 直,故 得:k=l则 m+k=4+l=5,故 答 案 为 5.例 8.已 知 点 P(2,l),。(/)关 于 直 线 x+y+l=O对 称,则 a+6=.【答 案】-5【详 解】由 题 意,点 尸(2,1),Q(a,6)关 于 直 线 x+y+l=。对 称,空(一 1)=1可
12、得,解 得 a=_2,b=_ 3,所 以 a+6=5.I Z A?I 1-+-+1=02 2例 9.点 M(3,l)关 于 点 N(4,4)的 对 称 点 为 0(5,7),则=.【答 案】1例 1 0.已 知 直 线 4:2x+y+2=0 与&:4x+处+c=。关 于 点 P(l,0)对 称,则 b+c=【答 案】-10【详 解】在 直 线 4:2x+y+2=0上 取 点 M(-l,0),MO,-2),M,N 关 于 点 尸 久。)对 称 的 点 分 别 为 必(3,0),M(2,2).点 M(3,0),M(2,2)在 直 线(:4x+by+c=0上,12+c=0,8+2/?+c=0,解 得
13、 c=-12,/?=2,:.b+c-O.三、圆 的 方 程 1.圆 的 定 义 和 圆 的 方 程 定 义 平 面 内 到 定 点 的 距 离 等 于 定 长 的 点 的 轨 迹 叫 做 圆 标 准 方 程(x a)2+(y b)2=户&0)圆 心 C(a,b)半 径 为 r一 般 方 程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F 0)充 要 条 件:。?+E?-4F 0圆 心 坐 标:半 径 r=|VD2+F2-4F补 充:以 4(%,%),8(X2,为 直 径 端 点 的 圆 的 方 程 为(x一 拓)(xX2)+(yyi)(y y)=0.例 IL 经 过 三 个 点 40,0),
14、8(20,0),C(0,-2)的 圆 的 方 程 为()A.(x-V3)2+(y+l)2=2C.JC 5/3 j+(y+1)=4【答 案】CB.(X-可+(y_lf=2D.(x-V3)2+(y-l)2=4【详 解】由 已 知 得,A(0,0),8(2G,0),C(0,-2)分 别 在 原 点、x 轴、1 轴 上,A B L A C,.,经 过 三 点 圆 的 半 径 为/=JBC|=g,(26-0)2+(0+2)2=2,圆 心 坐 标 为 B C 的 中 点 1当 2 等,即(上,-1),.圆 的 标 准 方 程 为(x-G+(y+l=4.例 1 2.已 知 平 面 向 量 3,反 满 足 忖
15、=l,cos(a,c)=;,坂-4 Z+3=0,贝|忸-4 的 最 小 值 是()C.6 D.V3-1【答 案】D【详 解】建 立 平 面 直 角 坐 标 系 x O y,设=),石=丽 工=反,由 同=i,cos(,a=g,不 妨 设=场=(1,0),又,P=3,不 妨 设 C 在 直 线 y=J5x(x0)上,又 方 47B+3=0 可 得 初 疝 石+4=1,即 片 一 4出+47=1,则,-2q 2=1,设。(2,0),则 砺=2丽=2/则(而-而 丫=1,即 方 2=,则 B 在 以。(2,0)为 圆 心,1 为 半 径 的 圆 上:又 R-相 丽-网=同,则 忸-|的 最 小 值
16、等 价 于 同 的 最 小 值,即 以 0(2,0)为 圆 心,1 为 半 径 的 圆 上 一 点 到 直 线 y=A(x()上 一 点 距 离 的 最 小 值,即 圆 心 到 直 线 的 距 离 减 去 半 径,即 1=1,则 的 最 小 值 是 百 一 1.例 1 3.已 知 z 为 复 数,且 Iz|=l,则|z-3i|的 取 值 范 围 是()A.2,3 B.3,4J C.2,4 D.272,4【答 案】C【详 解】法 一:在 复 平 面 内,复 数 z 对 应 的 点 Z(a,,)的 轨 迹 是 以 原 点。为 圆 心,以 1 为 半 径 的 圆,Iz-3i|表 示 复 平 面 内
17、的 点 Z(“,b)与 点 用(0,3)之 间 的 距 离.因 为 点(0,3)与 原 点。的 距 离 10Ml=3,所 以|z-3i|的 最 小 值 是 M E=2,最 大 值 是 M r=4,故 I z-3i|的 取 值 范 围 是 2,4.故 选:J法 二:因 为 复 数 z 满 足 I z|=1,不 妨 设 z=cos,+isin。,O e R,则|z-3i|=|cose+i(sine-3)|=如 痴 而 万 二=因 为 sin6e-l,ll,所 以 J10-6sin。G 2,4,所 以 I z-3i|的 取 值 范 围 是 2,4.2.点 与 圆 的 位 置 关 系 平 面 上 的
18、一 点 M(%o,y()与 圆 C:(%a)2+(y-b)2=N 之 间 存 在 着 下 列 关 系:(1)MC r M 在 圆 外,Fp(x0 a)2+(y0 b)2 r2 M 在 圆 外;(2)MC=r M 在 圆 上,即(Xo a)?+(y()b)2=r2 0 M 在 圆 上:(3)MC r M 在 圆 内,即(%o a)2+(y。-b)2 0 相 交 元 二 次 方 程,计 算/=b2-4ac 4=0 相 切 4 V o 相 离 几 何 法 计 算 圆 心 到 直 线 的 距 离 d,比 较 dd r 相 离 例 1 4.直 线/:x-y 4=0 与 圆 C:产+),2=8的 位 置
19、关 系 为()A.相 切 B.相 交 C.相 离 D.不 确 定【答 案】A【详 解】解:圆 C:f+y2=8的 圆 心 为(0,0),半 径 r=2夜,|-4|厂 圆 心 到 直 线/:x_y_4=0 的 距 离 1=(1y=2y2=r,所 以 直 线 与 圆 相 切:2.圆 与 圆 的 位 置 关 系 设 圆。1:(%-a。?+(y-瓦)2=r/d 0),圆。2:(X-a2y+(y-b2)2=r/(r2 0)。几 何 法:圆 心 距 d 与 勺/2 的 关 系 代 数 法:两 圆 方 程 联 立 组 成 方 外 离 d r1+r2程 组 的 解 的 情 况 无 解 外 切 d=r1+r2一
20、 组 实 数 解 相 交 2 1rl-r2 d rr+r2两 组 不 同 的 实 数 解 内 切 d=In-r2|(rx*r2)一 组 实 数 解 内 含 QWd+(y-2)2=4 交 于 A 8 两 个 不 同 点,则 当 弦 A B 最 短 时,圆 与 圆 N:x2+(y-m)2=l的 位 置 关 系 是()A.内 切【答 案】DB.相 离 C.外 切 D.相 交【详 解】易 知 直 线/:皿+尸 相-1=0过 定 点 弦 4 8 最 短 时 直 线/垂 直 P M,又 即 M=:4=I,所 以 解 得 i=i,此 时 圆 N 的 方 程 是/+(丫-1)2=4.两 圆 圆 心 之 间 的
21、 距 离 MY=(2-0)2+(2-1尸=6,又 2-1 石 2+1,所 以 这 两 圆 相 交.3.两 圆 公 切 线 的 条 数 位 置 关 系 内 含 内 切 相 交 外 切 外 离 公 切 线 条 数 0 1 2 3 4例 1 6.已 知 圆 C:x?+丁=4,直 线/:(3+m)x+4y-3+3m=0,(m eR),则 下 列 结 论 正 确 的 是()A.直 线/恒 过 定 点(3,3)B.当 帆=0时,圆 C上 有 且 仅 有 三 个 点 到 直 线/的 距 离 都 等 于 1C.圆 C与 曲 线 V+y n-6 x-8 y+w=0恰 有 三 条 公 切 线,则 加=16D.当
22、机=13时,直 线/上.个 动 点 P向 圆 C 引 两 条 切 线 P A P B,其 中 A,8 为 切 点,则 直 线 A B经 过 点 1【答 案】CD【详 解】对 于 A,直 线/:(3+m)x+4 y-3+3?=0,(,e R),整 理 得 加(x+3)+(3x+4y-3)=0,fx+3=0(x=3,、所 以 j3 x+4.y_3=0,得=3 所 以 直 线/恒 过 定 点(T 3),所 以 A 错 误,对 于 B,当 机=0时,直 线/为 3x+4 y-3=。,则 圆 心 C(0,0)到 直 线/的 距 离 为=S 0-3|=m 而 圆 的 半 径 为 2,所 以 圆 C上 有
23、V32+42 5且 仅 有 四 个 点 到 直 线/的 距 离 都 等 于 1,所 以 B 错 误,16x=-94 y=-94y-x=09y+4=0,得.对 于 C,当 加=16时,曲 线 x2+y2-6x-8y+/M=0 为 一+丁-6犬-8y+16=0,整 理 得(x-3)2+(y-4)2=9,则 圆 心 为(3,4),半 径 为 3,圆 C:f+y2=4的 圆 心 C(0,0),半 径 为 2,所 以 两 圆 的 圆 心 距 为 J(3-ON+(4-ON=5=3+2,所 以 两 圆 相 外 切,所 以 两 圆 恰 有 3 条 公 切 线,所 以 C 正 确,对 于 D,当 机=13时,直
24、 线/的 方 程 为 4x+y+9=0,设 P(f,-9-4f),则 以 P C 为 直 径 的 圆 的 方 程 为(x-f)x+(9+4f+y)y=0,gp x2+(-?)%+y2+9y+4ty=0,因 为 圆 Ux?+),2=4,所 以 两 圆 的 公 共 弦 的 方 程 为 Tr+4/+9y+4=0,整 理 得(4y-x)r+9y+4=o,所 以 所 以 直 线 A8经 过 点,所 以 D 正 确,4.圆 的 切 线 方 程 常 用 结 论 过 圆 上 一 点 P(*o,加 的 圆 的 切 线 方 程 为 xox+yoy=r;过 圆(%一 目 2+(,一。)2=/-2上 一 点 P(x,
25、y0)的 圆 的 切 线 方 程 为(4 a)(xa)+(%一 6)(y6)=r2;过 圆 寸+/=/外 一 点”(%,No)作 圆 的 两 条 切 线,则 两 切 点 所 在 直 线 方 程 为 Xox+yoy=r.5.圆 系 方 程 过 直 线 Ax+By+C=Q 与 圆 x+y+Dx+Ey+F=Q交 点 的 圆 系 方 程:x+y+D x+E y+F+A x+W+O=0(2 6R);(2)过 圆 G:X2+/+X+J/+=O 和 圆 G:*?+/+3 x+E j/+6=0 交 点 的 圆 系 方 程:x y DyX-Eyy-Fy-A(x2+y2+Zx+E2y-F)=0(A 1)五、椭 圆
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