初中数学北师大七年级上册(2023年修订) 有理数及其运算有理数的乘除.pdf
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1、有理数的乘除一、单选题1.若 外=一|町 贝!I必 有()A.x、y 异号 B.x、y 异 号 或 x y 中至少有一个为0C.x、y 中至少有一个为0 D.x、y 同号【答案】B【解析】因为任意两个数积的绝对值都是非负数,所以 肛,,则_,对 0,即TqJ 是非正数,又 因 为 冲=-|孙I,所 以 是 非 正 数,所以x、y异号或x、y中至少有一个是0.故选B.2.已 知 普 =%则区+=+其值为 多 少()3xyz 3 x|y|zA.1 或-3 B.1 或-1 C.-1 或 3 D.3 或-3【答案】A【解析】试题分析:根据绝对值的性质及连乘法则,可判断出X、y、Z的符号,再根据正负性即
2、可求值.解:3xyz 3 J:,xyz都为零 B.如果a b#0,那么a,b不都为零C.如果a b =0,那么a,b都为零 D.如果|a|+|b|力0,那么a,b均不为零【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的意义和性质,以及有理数的乘法法则判断即可.【详解】根据非负数的性质,可知|a|+|b|=0时,那么a,b都为零,故正确;根据有理数的乘法法则,。乘以任何数都等于0,可知若a b和,a、b均不等于0,故不正确;根据有理数的乘法法则,如果帅=0,那么a=0或b=0或a、b都为0,故不正确;根据非负数的性质,可知|a|+|b|M 0,那么a,b至少有一个不为0,故不正确.故选:A.【点睛】此题主
3、要考查了绝对值的意义和有理数的乘法法则,关键是会分类讨论,会根据性质判断特殊情况,有一定的难度.4.下列说法正确的是()A.若两个数互为相反数,则这两个数一定是一个正数,一个负数 B.一个数的绝对值一定不小于这个数C.如果两个数互为相反数,则它们的商为-1 D.一个正数一定大于它的倒数【答案】B【解析】【分析】根据有理数的相反数、绝对值以及有理数的大小比较注意判断即可.【详解】根据相反数的概念与性质,可知一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0 的相反数是0,故 A 不正确;根据绝对值的概念,一个正数的绝对值是正数,0 的绝对值是0,一个负数的绝对值是其相反数(正数),故 B正确;由
4、于0 的相反数为0,可知C 不正确;一个正数不一定大于其倒数,如:的倒数是2,故 D 不正确.故选:B.【点睛】此题主要考查了相反数、绝对值、倒数以及有理数的大小比较,关键是熟记相反数、绝对值、倒数的概念和性质,并灵活运用.5.六个整数的积a b c d e 7=36,a、b、c、d e、f 互不相等,则a+b+c+d+e+/=().A.0 B.4 C.6 D.8【答案】A【解析】解:V-36=(-1)xlx(-2)x2x(-3)x 3,二这六个互不相等的整数是-1、1、-2、2、-3、3,:.a+b+c+d+e+fi=(-1)+1+(-2)+2+(-3)+3=0.故选 A.点睛:本题考查了有
5、理数的乘法,有理数的加法,难点在于确定出这六个互不相等的整数的值.6.若 a,b,c 都是负数,并且上,则 a、I)、。中()a+b b+c c+aA.a 最 大 B.b 最 大 C.c 最 大 D.c 最小【答案】c【解析】解:一上,a+b b+c c+a -+1 -+1 -+1.a+b b+c c+aAa+b+ca+b+ca+b+c(又 a、b、c 都是负数,a+b b+c c+aa+b b+c V c+a,.*.b a c,故选:C.【点评】本题考查的是分式的混合运算和不等式的性质,掌握分式的加减运算法则是解题的关键.7.已知。力表示两个非零的实数,则 +也1的值不可能是()a bA.2
6、 B.-2 C.1 D.0【答案】C【解析】.当a0时,=q =l;当a()时,也1 =2 =1;当人0,Z?0时,+=1 +1 =2;a b当a 0,8 0,bvO时,+-=1 +(-1)=0;a b当a(0,防0时,+=1 +1=0;a h,综上所述,口 +U的值可能为2,-2,0,不可能为1.a b故选c.点睛:(1)正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数;(2)分情况讨论时,虽然两种情况在本题中的计算结果是一样的,但在分类讨论时,还是要分为两种.8.式子白+挤+5的值等于()四|c|A.3 B.1 C.土 3或1 D.3 或 1【答案】C【解析】由题意可知:a、b、c的值都不为
7、0.当a 0 时,含=2=1;当a+c|+|c|的结果是()-b C 0A.a+b B.a+h-2c C.-a-h-2c D.a+b+2c【答案】C【解析】试题分析:根据数轴上右边的数总是大于左边的数即可判断a、氏 c,的符号和大小,根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号,然后合并同类项即可.解:根据数轴可得力c0 a,且|“|例,则。+0,h+c-a”是假命题的一个反例可以是()A.a=-2 B.a C.i=1 D.-a”中验证即可作出判断.详解:(1)当a =2时,|a|=|-2|=2,a =(2)=2,此时|a|=-a,.当a =-2时,能说明命题“对于任意实数a,|a|-a ”是假命题,故
8、可以选A;(2)当a =时,|a|=g,a =-p 此时|a|a,.当a =:时,不能说明命题“对于任意实数a,|a|-a ”是假命题,故不能B;(3)当a =l时,|a|=1,a =-1,此时|a|a,.当a =l时,不能说明命题”对于任意实数“,|a|-a ”是假命题,故不能C;(4)当a =时,|a|=近,a=V 2,此时|a|a,.当a =或 时,不能说明命题“对于任意实数a,|a|-”是假命题,故不能D;故选A.点睛:熟知“通过举反例说明一个命题是假命题的方法和求一个数的绝对值及相反数的方法”是解答本题的关键.1 1.将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后,其分子分别为6、15、1 0
9、,其分母的最小公倍数为3 6 0.判断甲、乙、丙三数的大小关系为何?()A.乙甲丙 B.乙丙 甲 C.甲乙丙 D.甲丙乙【答案】A【解析】试题分析:首先把3 6 0分解质因数,可 得3 6 0=2x 2x 2x 3 x 3 x 5;然后根据甲乙丙化为最简分数后的分子分 别 为6、15、10,6=2x 3,可得化简后的甲的分母中不含有因数2、3,只能为5,即化简后的甲为;再根据15=3 x 5,可得化简后的乙的分母中不含有因数3、5,只能为2,4或8;再根据10=2x 5,可得化简后的丙的分母中不含有因数2、5,只能为3或9;最后根据化简后的三个数的分母的最小公倍数为3 6 0,甲的分母为5,可
10、得乙、丙的最小公倍数是3 6 0+5=7 2,再根据化简后的乙、丙两数的分母的取值情况分类讨论,(1)当乙的分母是2时,丙的分母是9时,乙、丙的最小公倍数是:2x 9=18,它不满足乙、丙的最小公倍数是7 2;(2)当乙的分母是4时,丙的分母是9时,乙、丙的最小公倍数是:4 x 9=3 6,它不满足乙、丙的最小公倍数是7 2;所以乙的分母只能是8,丙的分母只能是9,此时乙、丙的最小公倍数是:8 x 9=7 2,所以化简后的乙是,丙是,因为所以乙甲丙.故选:A.8 5 9点睛:(1)此题主要考查了最简分数的特征,以及几个数的最小公倍数的求法,考查了分类讨论思想的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是
11、分别求出化简后的甲、乙、丙的分母各是多少,进而求出化简后的甲乙丙各是多少.(2)此题还考查了分数大小比较的方法,要熟练掌握.1 2.下列计算正确 的 是()A.()2=9 B.(-2)2=-2 C.(-2)=-1 D.|-5-3|=2【答案】A【解析】试题分析:根 据 负 整 指 数 基 的 性 质(仃=39力0),可 得()J%故正确;a(a 0)根据二次根式的性质值=同=0(a =0),可 知 代 =2,故不正确;a(a 09根据零次皋的性质a=1(Q H 0),可 知(-2)。=1,故不正确;a(a 0)根据绝对值的性质|a|=0(a=0),可 得|-5-3|=8,故不正确.a(a 0)
12、故选:A.13.已知,一3|+|5-目=2,则化简J(1_X)2+J(5 _X)2的结果是()A.4 B.6-2 x C.-4 D.2 x-6【答案】A【解析】由卜可+|5-x|=2 可得,.-.3x|a+2|+|b-l|=0.a+2=0,b-l=0 得 a=-2,b=l,/.a+b=-l,(a+b)2023=-l.故选C.考点:绝对值的性质.16.如图所示,是有理数,则式子同-同 卜-“卜-a 化简的结果为()卷d 金 -11 时 1 1A.3a+b B.3a b C.a D.35 a【答案】D【解析】试题分析:由题意可知a 0 l0,b-a 0,所以原式=-a+b+a+b+b-a=-a+3
13、b.故选:D.考点:1、数轴;2、化简含有绝对值的代数式.二、填空题17.有三个互不相等的整数a,b,c,如果abc=4,那么a+b+c=【答案】-1,-4【解析】这三个整数可能为,I,-1,-4或-1,2,-2,则a+b+c=-4或-1.18.a是不为1的数,我们把上 称为a的差倒数,如:2的差倒数 为 二=-1;-1的差倒数是=已知的=。2是由的差倒数,是 的 差 倒 数.是 差 倒 数,依此类推,则。2 0 1 5=.【答案】|.【解析】试题分析:=-|,是的的差倒数,即。2=4=|,是。2的差倒数,即。3=3,是 差 倒 数,即&4=2=-;,依此类推,1 3 2V 2023-3=67
14、1.2,.。2015=。2=|故答案为:|.考点:1.规律型:数字的变化类;2.倒 数;3.规律型.19.已知a,b为整数,且ab=4,贝!|a-b=.【答案】3或0【解析】【分析】根据有理数的乘法,把4分解成两个因数的积,然后再进行解答.【详解】;4=1X4=2X2=(-1)x(-4)-(-2)x(-2),:.a,可以分解为-1 与-4,1 与 4,-2 与-2,2 与 2,.a-b-I-(-4)=3,或 a-匕=1-4=-3,a-b=-2-(-2)=0,a-b-2-2=0.故 a-h=3 或 0.故答案为:3或0.【点睛】本题考查了有理数的乘法,准确的把4分解成两个因数的积是解题的关键.2
15、0.a是 不 为1的有理数,我们把 一 称为的差倒数。如:2的差倒数是一1一=-1,-1的差倒数是1-a .-1-2已 知.=-g,%是由的差倒数,4是%的 差 倒 数,明是小的差倒数,依此类推,则2010=-【答案】4.【解析】试题分析:根据差倒数的定义分别求出前几个数,因为6=-j,所 以 出=131-34_L-4,3-1-4便不难发现,每3个数为一个循环组依次循环,2 0 2 3+3=6 7 0,所以%n o与%相同,2 0 101 4 3=4.故答案为:4.考点:数字的变化规律类问题.b2 1.有三个有理数,分别是1、。、a+b,或者写成0、-一、b,那么数。的值是a【答案】1【解析】
16、【分析】三个有理数,分别是-1、a、a+h,或者写成0、-2、匕的形式,也就是说这两个数组的数分别对应相等,a据此即可确定三个有理数,求得人的值.【详解】b由于三个有理数,分别是一1、。、a+b,或者写成0、-一、,也就是说这两个数组的数分别对应相等.于ab b是可以判定+6与。中有一个是0,但若a=0,会使 无意义,.。和,只能a+b=0,B J a-b,于是=1.只a a能是氏一 1,于是a=L故答案为:1.【点睛】本题考查了有理数的运算,关键是根据两个数组的数分别对应相等确定小人的值.2 2 .已知:或=竺=3,亡=把 勺 叱=10,C:=-.=15,.观察上面的计算过程,寻找规律并计3
17、 1x2 5 1x2 x3 3?算 C;=.【答案】2 10【解析】观察运算式子会发现分子、分母中因数的个数相同且等于等式左边符号中的上标,分子中最大的因数是左边符号中的下标,且 每 个 因 数 逐 次 减1;分 母 中 最 小 的 因 数 是1,且 每 个 因 数 逐 次 加1,所以=10 x9 x8 x7 x6 x5-=2 10.I x2 x3 x4 x5x6故答案为2 10.23.对于有理数a、b,定义运算“”如下:=必+(a+b),试比较大小(一3虑4 3 0(-4)(填“”“,或【答案】【解析】试题分析:定义新运算题目,关键是理解未知符号 和已知符号的等价性试题解析:(3 虑 4=-
18、3 x 4-3+4 =-12,3(g)(Y)=3 x T+3-4 =12,.-.(-3)4 3 ().点睛:定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式,是可以深刻理解数学本源的题型,它使用的是一些特殊的运算符号,如:*、。等,解答定义新运算,关键是要正确地理解新定义的算式含义,然后严格按照新定义的计算程序,将数值代入,转化为常规的四则运算算式进行计算.24.若|a|+|b|=|a+b|,则a、b满 足 的 关 系 是.【答案】a、b同号或a、b有一个为0或同时为0【解析】V|a|+|b|=|a+b|,,a、b满足的关系是a、b同号或a、b有一个为0,或同时为0,故答案为:a、b同号或a、b有一个
19、为0,或同时为0.25.若直角三角形的两条边长为a,b,且 满 足(a-3)2+|b-4|=0,则该直角三角形的第三条边长为_ _ _ _ _ _ _O【答案】5 或 将【解析】分析:设该直角三角形的第三条边长为x,先根据非负数的性质求出a、b的值,再分4是斜边或直角边的两种情况,然后利用勾股定理求解.本题解析:该直角三角形的第三条边长为x,:直角三角形的两条边长为a,b,且满足(a-3)2+|b-4|=0,.a=3,b=4.若4是直角边,则第三边x是斜边,由勾股定理得:32+42=%2,.x=5;若4是斜边,则第三边x为直角边,由勾股定理得:32+X2=42,A x=7 7 ;第三边的长为5
20、或 五.故答案为:5或不点睛:本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方和等于斜边的平方是解答本题的关键.26.设 abed是一个四位数,a、b、c、d 是阿拉伯数字,且 abc 1,且m 0,S=2a-3b-2b-m-b+,试求4(2 a-S)+2(2 a S)(2 a-S)的值.(3)若n iK O,试讨论:x为有理数时,|x+m|-|x-刑 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.【答案】-1;(2);(3)m=1【解析】试题分析:(1)、根据互为相反数的两数之和为零,互为倒数的两数之积为1可以得出a c=-l,然后代入代数式进行求值;(2
21、)、首先根据题意得出绝对值里面的数的正负性,然后进行去绝对值计算求出S 的值,从而得出2a-S的值,最后将所求的式子进行化简得出答案;(3)、首先根据题意得出m=l,当m=l时,分别根据x -1,-l x 1三种情况分别将绝对值进行化简得出答案,从而求出最值;根据同样的方法得出m=-l时的最值,从而得出答案.试题解析:(1)a+b=0,be=1 ac=-1 2a+2b 4-ac=0 1=1m+2(2)v a 1 b 0,h+-b zn=b+lV O JS=2Q 3b+2b+2+b+=2a H 2Q S=2 2 2(3)若7nH 0,此时m=1若?n=1,则4-m|-|x-m|=|x+1|-|x
22、-1|当 不 1 时|x+l|一 1|=%+1%+1=2 当不为有理数时,存在最大值为2;若血=一1同理可得,当为有理数时,存在最大值为2,综上所述,当?n=l,%为有理数时,|久+加 一|久-zn|存在最大值为2.点睛:本题主要考查同学们对相反数,绝对值,倒数等考点的理解以及分类讨论思想的应用.在解决第一题是我们必须要明白互为负倒数的两数之间为1;在解决第二题时,我们必须能够根据已知条件对所求的代数式的正负性进行判定,然后在去绝对值时必须要注意符号的变化;在解决第三题时,我们必须要学会分类讨论的思想,将x 的取值范围进行分情况讨论,然后根据讨论的结果得出答案.3 2.将 2023减去它的%再
23、减去余下的%再减去余下的:以此类推,直至减去余下的就,最后的得数是多少?【答案】1.【解析】【分析】本题不要做减法,而是做乘法:2 0 2 3 减去它的点剩下2 0 2 3 x(1-,再减去余下的:,剩下2 0 2 3 x(l-1)x(if,以此类推即可解答.【详解】根据题意,得 2 0 2 3 x(1 -1)x(1 -A)x.x(1 -2-)=2 0 2 3 x lx x.x 翳 1.Z 3 Z U lo N 3 Z U 1 O【点睛】本题考查了有理数的乘法,在进行有理数的乘法运算时,要灵活运用运算律,看懂题意是解本题的关键.3 3.已知a,5互为相反数,c,d互为倒数,e 的绝对值为3,试
24、求(4+力)+1 0 8 0 2+(一0 4 2 0 1 7-2 的值.【答案】3【解析】【分析】根据相反数、倒数、绝对值的定义和性质可得a+b=0,c d=l,e=3,然后代入式子中进行计算即可得.【详解】因为a,b互为相反数,c,d互为倒数,e的绝对值为3,所以 a+b=0,c d=l,e 3,所以原式=0 X O 8 一(3)2+(_I)2 0 1 7 _ 2 =(_ 9)+(_ _ 2)=(_ 9)+(_ 3)=3.【点睛】本题考查了代数式求值,涉及了相反数、倒数、绝对值、有理数的混合运算等知识,熟练掌握相关的定义以及运算法则是解题的关键.3 4.计算:(14)x(l 一 乡 x(l-
25、J X x(J x(l专)【答案【解析】【分析】先计算括号内的,然后再根据多个有理数相乘的运算法则进行求解即可.【详解】乙1 -1-、X乙 1 -1、X乙 1 -1 X.XZ1(1 1、)X八(1 1.1)=-X 2-X3-X 4-X X4 8 X4 9 1.2/3/4/49,50/2 3 4 5 49 50 50【点睛】本题考查了有理数的加、乘混合运算,熟练掌握运算顺序以及运算法则是解题的关键.3 5 (-1 8)x(|+|-|).【答案】-2 0【解析】试题分析:利用乘法分配律和乘法法则计算即可.试题解析:(-18)x(|+1-1)=(-18)x 1+(-18)x*-(-18)x|=-9
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