外接球、内切球、棱切球(十五大经典题型)(解析版)-备战2023年高考数学一轮复习微专题(新高考地区专用).pdf
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1、考向2 8外接球、内切球、棱切球,经 典 题 后 初经典题型一:正方体、长方体模型经典题型二:正四面体模型经典题型三:对棱相等模型经典题型四:直棱柱模型经典题型五:直棱锥模型经典题型六:正棱锥与侧棱相等模型经典题型七:侧棱为外接球直径模型经典题型八:共斜边拼接模型经典题型九:垂面模型经典题型十:最值模型经典题型十一:二面角模型经典题型十二:坐标法模型经典题型十三:圆锥圆柱圆台模型经典题型十四:锥体内切球经典题型十五:棱切球(2 0 2 2 全国高考真题)已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为3 6 1,且3 4”3 石,则该正四棱锥体积的取值范围是()【答案】C【解析
2、】球的体积为3 6%,所以球的半径R =3.设正四棱锥的底面边长为2 a,高为/7,贝IJ=2/+/72,32=2a2+(3-/?)2,所以6 =尸,2 a2=l2-h2所以正四棱锥的体积 g”i =九?记/4)二I2=(#一/6所以 y=,4/3-g91 61/2 4-Q E当 3 4/4 2 指 时,V 0,当 2 3 百 时,S/3 时,V=,4 4所以正四棱锥的体积V 的最小值 为2一7,所以该正四棱锥体积的取值范围是y y .故选:C.(2022全国高考真题)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3百 和 4石,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.IOOT C B.12
3、8K C.144冗 D.192兀【答案】A【解析】设正三棱台上卜.底面所在圆面的半径彳,4,所以2 4=*-,2 ,=也叵即4=3透=4,设球心sin 60 sin 60到上下底面的距离分别为4 4,球的半径为R,所以4=V/?2-9,d2=Vz?2-1 6,故E -囚=1或4+4 =1,即河 9-改一16|=1或 痛 M +元=1,解得R?=25符合题意,所以球的表面积为S=4T CR2=1(X)兀.方法技巧一:正方体、长方体外接球1 .正方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半.2 .长方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半.3 .补成长方体(1)
4、若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内,如 图1所示.(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图2所示.(3)正四面体尸-A B C可以补形为正方体且正方体的棱长PA如图3所示.方法技巧二:正四面体外接球如图,设正四面体ABQ的 的 棱 长 为 将 其 放 入 正 方 体 中,则正方体的棱长为也a,显然正四面体2和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为/?=也。且=必 ,即正四面体外接球半径为R=2 2 4 4ABB方法技巧三:对棱相等的三棱锥外接球四面体A B C D 中,AB =C D =mf A C =B D =n,A D =B C =t,这种四面
5、体叫做对棱相等四面体,可以通过构造长方体来解决这类问题.4-C2=m2 2 2 2如图,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则+c 2=2 ,三式相加可得K+休+七=,a2+b2=t2 2I -)-?2而显然四面体和长方体有相同的外接球,设外接球半径为R,则/+加+。2=4 F,所以R=.方法技巧四:直棱柱外接球如 图 1,图 2,图 3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角第一步:确定球心。的位置,0,是M B C的外心,则。J 平面ABCi第二步:算出小圆。1 的半径H Q =r,OO,=-A 4,=-h(A 4,=也是圆柱的高);第二步:勾股定理:OA
6、2=OtA2+OfO2=R。=(厂 +r2=R=,解出R方法技巧五:直棱锥外接球如图,平面A B C,求外接球半径.解题步骤:第一步:将 A A 8 C 画在小圆面上,A 为小圆直径的一个端点,作小圆的直径A D,连接P D,则 P D 必过球心。;第二步:。1为 A A B C 的外心,所 以 平 面 他 C,算出小圆。1的半径日。=/(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理,得,_=_ 9 _ =_ J =2r),O OX=-PA-,sin A sin B sinC 2第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:(2 R)2 =P A?+(2 r)2 o 2 R=J P/V+(2)2 ;R2
7、=r +o o:。R=,产 +o o:.方法技巧六:正棱锥与侧棱相等模型1.正棱锥外接球半径:R=.2.侧棱相等模型:如图,P 的射影是A A B C 的外心。三棱锥P-A B C的三条侧棱相等=三棱锥P-A B C 的底面A A B C 在圆锥的底上,顶点P 点也是圆锥的顶点.解题步骤:第一步:确定球心。的位置,取AA8C的外心,则 尸,。,Q三点共线;第二步:先算出小圆。1的半径4 9 1=r,再 算 出 棱 锥 的 高(也是圆锥的高);尸+h2第三步:勾股定理:。42=0汗+。2=7?2=(72-穴)2+产,解出R=Z _ _2h方法技巧七:侧棱为外接球直径模型方法:找球心,然后作底面的
8、垂线,构造直角三角形.方法技巧八:共斜边拼接模型如图,在四面体ABC中,AB1.AD,C B L C D,此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,8。为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型 命名之.设点。为公共斜边比的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知,OA=O C=O B =O D,即点。到A,B,C,。四点的距离相等,故点。就 是 四 面 体 外 接 球 的 球 心,公共的斜 边 即 就是外接球的一条直径.方法技巧九:垂面模型如 图1所示为四面体尸-A B C,已 知 平 面 平 面A B C,其外接球问题的步骤如下:(1)找出E48和AMBC的外接圆圆心,分
9、别记为。|和。厂(2)分别过01和0?作 平 面 和 平 面45C的垂线,其交点为球心,记为。.(3)过01作 钻 的 垂 线,垂足记为。,连接。2。,则(4)在四棱锥A-OQOO?中,垂直于平面。10。”如图2所示,底面四边形。OQQ的四个顶点共圆且。为该圆的直径.图1图2方法技巧十:最值模型这类问题是综合性问题,方法较多,常见方法有:导数法,基本不等式法,观察法等方法技巧十一:二面角模型如 图1所示为四面体P-A B C,己知二面角P-A B-C大小为a,其外接球问题的步骤如下:(1)找出和ABC的外接圆圆心,分别记为01和0?.(2)分别过。和0?作平面P43和 平 面 的 垂 线,其交
10、点为球心,记为。.(3)过01作A 3的垂线,垂足记为。,连接0?。,则Q O LA B.(4)在四棱锥A-O q。2中,垂直于平面。a。?,如 图2所示,底 面 四 边 形 的 四 个 顶点共圆且OD为该圆的直径.方法技巧十二:坐标法对于一般多面体的外接球,可以建立空间直角坐标系,设球心坐标为O(x,y,z),利用球心到各顶点的距离相等建立方程组,解出球心坐标,从而得到球的半径长.坐标的引入,使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来,转化为向量的计算,大大降低了解题的难度.方法技巧十三:圆锥圆柱圆台模型1.球内接圆锥如图1,设圆锥的高为6,底面圆半径为厂,球的半径为R.通常在OC8中,由
11、勾股定理建立方程来计算/?.如图2,当PCCB时,球心在圆锥内部;如图3,当 PC 匚平面4。(7,故 3O_L AR B。,。.乂 BD=2,AB=2五,AC=BC=2 5故A)=JA82-82=7 =2,CD=J8C2-BD)=120-4=4,所以 AC2=A2+C)2 ,即_LC。,故A D C D 8D两两垂直,故以ADCDBQ为相邻的棱构造一个相邻三条棱长为2,2,4的长方体,如图:则三棱锥A-B C D的外接球即该长方体的外接球,外接球半径为r=S2+22+42=娓,2所以一棱锥A-B C D的外接球的体积 为 与x(府=8隔,故答案为:8 兀3.(多选题)(2022 江 苏 高三
12、开学考试)在棱长为2的正方体A 3 C D-A B C A中,点M,N分别是棱A 2,A 8的中点,则()A.异 面 直 线 与AC所成角的余弦值为gB.M”RNC.四面体C4耳口的外接球体积为4 6万D.平面MNC截正方体所得的截面是四边形【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系,则用(1,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0)6(0,2,2),A(0,0,2),N(2,1,0),.加=(1,0,2),=(-2,2,0),.加国,殉=忑矢=噜,A 错误;M q=(-1,2,0),丽=(2,1,-2),冠 取=0,A MC.1D,2V,B 正确;由题可知四面体C A B R的外接球即为
13、正方体的外接球,所以外接球半径满足2r=2 g,丫=丛,:丫=兀户=46兀,C 正确;延长C N 交D 4延长线与P,连接M P交AA于Q,延长交。A 延长线于K,连接CK 交于J,则五边形Q M J C N为平面MNC截正方体所得的截面,D 错误.故选:BC.经典题型二:正四面体模型4.(2022 江苏南京高三开学考试)已知一个正四面体的棱长为2,则其外接球与以其一个顶点为球心,1为 半 径 的 球 面 所 形 成 的 交 线 的 长 度 为.【答案】等【解析】设外接球半径为,,外接球球心到底面的距离为h ,如图,在 P D O中,c os=2 xlx64 v 6 J 3 0-=,s i n
14、 Z D PO=J 6 6 62在中,0,=P D s i n Z.D OP=6所以交线所在圆的半径 为 叵,6所以交线长度为2万 典 加.6 3故答案为:叵35.(多选题)(2 0 2 2 全 国 高三专题练习)已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N ,若线段MN的最小值为布,则()A.正四面体的棱长为6B.正四面体的内切球的表面积为6灯C.正四面体的外接球的体积为8#%D.线 段 的 最 大 值 为2 m4【答案】A B D【解析】设这个四面体的棱长为。,则此四面体可看作棱长 为 变”的正方体截得的,所以四面体的外接球2即为正方体的外接球,外接球直径为正方体的对角线长,设外接
15、球的半径为R,内切球的半径为,则-S/?=4 x l s r,3 3所以r=,力=4 12由题意得/?一厂=遥,所 以 圆 一 旦=指,解得4 =64 12所以A正确,=2 7 6,所以C错误,所以区=也义6=巫,所以外接球的体积为&乃/?=3为4 2 3 3因为内切球半径为,所以内切球的表面积为4G=4%(手 1=6,所以B正确,线 段 的 最 大 值 为/?+r=城+亚=2而,所以D 正确,2 2故选:A B D6.(多选题)(20 22 山东济南模拟预测)在正四面体A 8 C D 中,若 A B =0,则下列说法正确的是()A.该四面体外接球的表面积为3万B.直线A3 与平面8 8 所成
16、角的正弦值为更3C.如果点M 在 C O 上,则AM+8 M的最小值为几D.过线段A B 一个三等分点且与A 8 垂直的平面截该四面体所得截面的周长为独担1【答案】A C D【解析】A正四面体ABC。中,AB=0,图中点。为外接球的球心,半径为R=Q4=O8,为SCO的外心,n n_ V2 _V2_V6所以“耳-而-不,由于。肉+。:=0正,T因此外接球的表面积为4万=3万,故A正确;由于哈当叫=专 用0、=当,且力B与平面B 8所成的角为4畋,2 6因此s in W q=2=%=故B错误;AB 及 3因为 AELC。于 E,所以 AMmin=AE:8E,CZMPE,所以 BMn“_=BE;因
17、此当M与E点重合时,4 0 +3M最小,最小值为2x亚 =&,故C正确;2在平面ABC中过点T作PT_LAB交AC 于P,在平面ADC中过点T作/?T _ L交AZ)于R,连接尸R.又因为RTcPT=7,所以AB_L平面7 P R,因此平面7PR即为所求,TP=TR=旦,AD=PR=,3 3贝I J ATPR的周长 为 在+如+迪=2 +2 ,3 3 3 3同理在平面A3C中过点N作NQ工AB交BC于。,在 平 面 中 过 点N作NS工AB交8。于S,连接QS,可得平面N Q S,而平面NQS即为所求,NQ=NS=*,BQ=QS=AP=,则ANOS的周长 为 避+逅+至 =2#+2 0 ,故D
18、正确.3 3 3 3故选:ACD.7.(2022 湖北高三阶段练习)有一个棱长为6 的正四面体,其中有一半径为底的球自由运动,正四面4体内未被球扫过的体积为【答案】9/2+cos8 3 8【解析】B如图设正四面体尸-A B C,当球运动到与平面R W、平面B 4 C、平面P 3 C 相切时,可得此时球无法继续向上运动,设切点分别为E,尸,。,则此时球面与正四面体顶点P 之间的部分球无法扫过,同理可得正四面体顶点4 8,C均有相同的空间未被球扫过,作与平面A B C 平行且与此时球相切的平面A 4 G,易 得 棱 锥 为 正 四 面 体,设棱长为叫 作 PG_L平面A B G 于G,2则 PG
19、经过球心0,易得AG=x3=-a,贝 i P G =3则正四面体P-4 4 G 的体 积/me=-x-a x -a x -a =a3,表面积S=4 x L x 3a=石 ,p-A4c,3 2 2 3 12 2 2设球半径为r,则 w,=g x S x r,即 年 3=$信 2、手,解得a=3,作 人抬 ,易得“为班 中点,3则尸=二,2设 4 个顶点处未被球扫过空间的体积为匕,球的体积为 力,可得i/一%=夜e r 4 x27 4 x12 3(#Y 9夜底-=-71 4/4 8当球沿着P A方向运动且始终与二面角8-P 4-C 相切时,设球与平面P A B、平面P A C的切点始终为E,F,过
20、E,F 的大圆与A4交于M,由垂径定理知O M _LPA,又O E,O F_LPA,易得k J_ P A,则NEMr 即为二面角B-R 4-C 的平面角,易得未被球扫过的部分为柱体,且柱体的底面为扇形0 防 与 四 边 形 之 间 的 部 分,设R 4中点为N,连接8M CN,易 得 班,尸 4 次,尸 4,则/胡匕即为二面角8-2 4 一(的平面角,又 BN=CN=3后,由余弦定理得 cos NBNC=(响+(询 3=1,则 NBNC=cos-11,则 cos N E M F =2cos?N E M O-1=1,2x3&3 6 3 3 3则8 5/“。=逅,匕 11乙臼0 0 =,KljME
21、=V20E=,设扇形0 E F 与四边形MEO尸之间部分面积为3 2 2%扇形 O E F 面积为 S0 E F,/E O F =7t-NEMF=%-cos g,则3 3 3由上知9=5,又 叫6,贝府体的高为6-厂/3 正四面 体 外 M C 的六条棱未被球扫过空间均为相同的柱体,设这部分体积为匕,则匕=3&3(_#_,2 7 0 27 工 27.1 1 r|,.x-cos-x3x6=-/r+cos-,则正四面体内未被球o 10 J)4 o o J扫过的体积为匕+匕=9&+g c o s-1-3迎.故答案为:9&+2 c o s-d-巫 卫 万.8 3 8经典题型三:对棱相等模型8.(202
22、2 全国高三专题练习)如图,在三棱锥P-A B C 中,PA=BC=B PB=AC=2,PC=AB=6则三棱锥P-A B C 外接球的体积为()A.母兀 B.0兀 C.瓜兀 D,6万【答案】C【解析】由题意,PA=BC=,PB=AC=2,PC=48=宕,将三棱锥尸 ABC放到长方体中,可得长方 体 的 三 条 对 角 线 分 别 为 2,亚,设长方体的长、宽、高分别为。力,。,则 yla2+b2=/3 yla2+c2-2,-Jc2+b2=-Js 解得a=l,b=41 c=百.所以三棱锥P-ABC外接球的半径R x V 7 7 P 7 7=2.2 24 r-二棱锥P-A B C 外接球的体积丫=
23、乃 肥=.故选:C9.(2022 全国高三专题练习)在三棱锥P-A 8 C 中,R 4=6 C=4,PB=AC=5,PC=A8=JTT,则三棱锥P-A B C 的外接球的表面 积 为()A.26兀 B.12兀 C.8兀 D.24兀【答案】A【解析】三棱锥 P-ABC 中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=4 T i,构造长方体,使得面上的对角线长分别为4,5,而,则长方体的对角线长等于三棱锥P-M C 外接球的直径,如图,设长方体的棱长分别为R,y Z,则1 2+,2=6,y2+z2=2 5 ,X2+z2=1 1 ,则/+y2 +Z?=2 6 ,因此三棱锥尸-M C外接球的直径为 病
24、,所以三棱锥尸-M C外接球的表面积为4 n(返)2 =2 6 n.2故选:A1 0.(多选题)(2022 辽 宁朝阳高三阶段练习)在三棱锥ABCD中,AB=C D =BAD=BC=AC=BD=4S,贝I()A.ABY CDB.三棱锥A-8C。的体积为C.三棱锥A-8 8外接球半径为几3D.异面直线AO与BC所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】将三棱锥补形为长方体如下:其中班:=BN=1,BF=2,所以 A8=C3=,AD=BC=AC=BD=&连接MF,因为AW/EC,BFHEC,AM=EC,EC=BF,所以AM/BF,AM=BF,所以四边形4 0五8为平行四边形,所以AB/MF,又四边形M
25、CE。为正方形,所以MFLCD,所以A对;长方体的体积K=lxlx2 =2,三棱锥E A 8 c 的体积=g xg xlx2 xl=g,三棱锥NABD的体枳=g x g x l x 2 x l=g,三棱锥产一B C D 的体积=g xg xlx2 xl=g,三棱锥M ACD的体积匕=g xg xlx2 xl=g,1 2所以一棱锥A-B C D的体积丫 =2-4 x =,B对,为长方体的外接球的直径,80=庐下寿=,所以长方体的外接球的半径为 远,长方体的外接球也是三棱锥A-BCD外接球,2所以三棱锥A-58外接球的半径为 迈;C错;2连接MN,交 AO于。,因为M N B C,所以NAOM为异
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