2024届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量课时规范练45综合问题.docx
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1、课时规范练45综合问题1.如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,AD=AB=2,BAD=90,BCD=45,E为对角线BD的中点.现将ABD沿BD折起到PBD的位置,使平面PBD平面BCD,如图2.(1)求证:直线PE平面BCD;(2)求异面直线BD和PC所成角的余弦值.2. 如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,点D在以AP为直径的圆上,平面PAD平面ABCD,PA=2,PB=7,平面PBC平面PAD=m. (1)证明:直线m平面PDC;(2)当三棱锥P-ABD体积最大时,求二面角C-PB-A的余弦值.3.(2022山东德州二模)九章算术是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学
2、专著,是算经十书中最重要的一部,成于公元一世纪左右,是当时世界上最简练有效的应用数学专著,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在九章算术商功篇中提到“阳马”这一几何体,是指底面为矩形,有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,现有“阳马”P-ABCD,底面为边长为2的正方形,侧棱PA平面ABCD,PA=2,E,F分别为边BC,CD上的点,CE=CB,CF=CD,点M为AD的中点.(1)若=12,证明:平面PBM平面PAF;(2)是否存在实数,使二面角P-EF-A的大小为45?如果不存在,请说明理由;如果存在,求此时直线BM与平面PEF所成角的正弦值.4.如图,在四边形PDCB中,PDBC,BAPD
3、,PA=AB=BC=1,AD=12.沿BA将PBA翻折到SBA的位置,使得SD=52.(1)作出平面SCD与平面SBA的交线l,并证明l平面CSB;(2)点Q是棱SC上异于S,C的一点,连接QD,当二面角Q-BD-C的余弦值为66时,求三棱锥Q-BCD的体积.5.如图,在直角梯形ABCD中,ABDC,ABC=90,AB=2DC=2BC,E为AB的中点,沿DE将ADE折起,使得点A到点P位置,且PEEB,M为PB的中点,N是BC上的动点(与点B,C不重合).(1)证明:平面EMN平面PBC;(2)是否存在点N,使得二面角B-EN-M的余弦值为66?若存在,确定N点位置;若不存在,说明理由.6.如
4、图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,BAD=60. (1)求证:直线BD平面PAC;(2)求直线PB与平面PAD所成角的正切值;(3)设点M在线段PC上,且平面MBC与平面MBA夹角的余弦值为57,求点M到底面ABCD的距离.课时规范练45综合问题1.(1)证明因为平面PBD平面BCD,且平面PBD平面BCD=BD,又由图1可知AB=AD,且E为BD中点,所以AEBD,即PEBD.又PE平面PBD,所以PE平面BCD.(2)解建立空间直角坐标系,以E为坐标原点,EB所在直线为x轴,在平面BDC且垂直BD的直线为y轴,EP所在直线为z轴,如图所示.由
5、题图1可知ABD为等腰直角三角形,所以ADB=DBC=DCB=45,所以DBC为等腰直角三角形.因为AD=AB=2,所以PD=PB=2,所以DB=DC=PB2+PD2=2,所以B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,1),C(-1,2,0),所以BD=(-2,0,0),PC=(-1,2,-1),所以cos=BDPC|BD|PC|=226=66,所以异面直线BD和PC所成角的余弦值为66.2.(1)证明因为四边形ABCD是矩形,所以ADCD.因为点D在以AP为直径的圆上,所以ADDP,CDDP=D,CD,DP平面PDC,所以AD平面PDC.因为ADBC,AD平面PBC,BC平面PBC,
6、所以AD平面PBC.因为平面PBC平面PAD=m,所以ADm,所以直线m平面PDC.(2)解设PD=x,所以AD=4-x2(0x2),SPAD=12x4-x2.因为平面PAD平面ABCD,交线为AD,且ABAD,所以AB平面PAD,而PA平面PAD,所以ABPA.在直角三角形PAB中,PB=7,PA=2,则AB=3.因为VP-ABD=VB-PAD,所以VP-ABD=VB-PAD=13SPADAB=36x2(4-x2)36x2+4-x22=33,当且仅当x2=4-x2,即x=2时,等号成立,此时PD=AD=2,PC=5.如图,建立空间直角坐标系,可得P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,3
7、,0),C(0,3,0),所以PA=(2,0,-2),AB=(0,3,0),CB=(2,0,0),PC=(0,3,-2).设平面PAB和平面PBC的法向量分别为m=(x0,y0,z0)和n=(x,y,z),由mPA=0,mAB=0,则2x0-2z0=0,3y0=0,取x0=1,得m=(1,0,1),由nCB=0,nPC=0,则2x=0,3y-2z=0,取y=-2,得n=(0,-2,-6),所以cos=mn|m|n|=-6210=-3010.由图知二面角C-PB-A为钝角,所以二面角C-PB-A的余弦值为-3010.3.(1)证明当=12时,点E,F分别为BC,CD的中点.连接AF与BM交于点G
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