高中数学考试压轴题讲义——欲证不等恒成立目标调整依形式(含答案).doc
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1、【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略:准确解答首先观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步利用导数证明.【典例指引】例1已知函数()讨论函数在定义域内的极值点的个数;()若函数在处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围;()当且时,试比较的大小例2已知函数.若函数满足下列条件:;对一切实数,不等式恒成立.()求函数的表达式;()若对,恒成立,求实数的取值范围;()求证:.例3已知函数,在定义域内有两个不同的极值点 (I)求的取值范围;(II)求证:例4已知函数的图象在处的切线过点, .(1)若,求函数的极值点;(2)设是函数的两
2、个极值点,若,证明: .(提示)来源:学*科*【新题展示】1【2019山西晋中1月适应性考试】已知函数.(1)讨论的单调性;(2)当时,证明:.2【2019陕西西安西北工业大学附属第一次适应性训练】已知函数,曲线在点处的切线方程为求a,b的值;2若当时,关于x的不等式恒成立,求k的取值范围来源:学_科_网Z_X_X_K3【2019湖北黄冈上学期元月调研】设函数求的单调区间;当时,若对任意的,都有,求实数的取值范围;证明不等式.4【2019福建三明期末质量检测】已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,证明:.网Z*X*X*K【同步训练】1已知函数与.(1)若曲线与曲线恰好相切于点,
3、求实数的值;(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;(3)求证:. .2函数f(x)=()求f(x)的单调区间;()若a0,求证:f(x).3已知函数其中实数为常数且.来源:学科网(I)求函数的单调区间;(II)若函数既有极大值,又有极小值,求实数的取值范围及所有极值之和;(III)在(II)的条件下,记分别为函数的极大值点和极小值点,求证:.4设函数.(1)当时,求的单调区间;来源:学_科_网Z_X_X_K(2)若的图象与轴交于两点,起,求的取值范围;来源:学.科.网Z.X.X.K(3)在(2)的条件下,求证.(参考知识:若,则有)5已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)当,且时,证明:.6
4、已知函数(1)求的单调递增区间;(2)当时,求证:来源:学_科_网Z_X_X_K7已知函数()若函数有零点,其实数的取值范围来源:Zxxk.Com()证明:当时,8已知函数.(1)若在区间有最大值,求整数的所有可能取值;(2)求证:当时,.9已知函数.(1)设,若,求的单调区间;来源:学+科+网Z+X+X+K(2)设,比较与的大小.来源:学科网10函数(1)讨论的单调性;(2)若函数有两个极值点,且,求证: 11已知函数.()判断函数的单调性;()求证: .12已知函数(1)若是函数的极值点,求曲线在点处的切线方程;(2)若函数在上为单调增函数,求的取值范围;(3)设为正实数,且,求证:来源:
5、Zxxk.Com【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略:准确解答首先观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步利用导数证明.【典例指引】例1已知函数()讨论函数在定义域内的极值点的个数;()若函数在处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围;()当且时,试比较的大小令,则只要证明在上单调递增,又,学科&网显然函数在上单调递增 ,即,在上单调递增,即,当时,有例2已知函数.若函数满足下列条件:;对一切实数,不等式恒成立.()求函数的表达式;()若对,恒成立,求实数的取值范围;()求证:. ()证明:因为,所以 要证不等式成立, 即证.
6、因为, 学科&网所以. 所以成立 例3已知函数,在定义域内有两个不同的极值点 (I)求的取值范围;(II)求证:【答案】(1) ;(2)详见解析. 学科&网【思路引导】 (1) 函数,在定义域内有两个不同的极值点, 令即对求导,按照和分类判断单调性及极限,求出函数的极值,确定a的范围;(2)证明, 即证, ,构造函数求导判断单调性求出函数的最值,即可证明不等式成立.(II)由题意及(I)可知,即证 例4已知函数的图象在处的切线过点, .(1)若,求函数的极值点;(2)设是函数的两个极值点,若,证明: .(提示)【思路引导】(1)求导,则.又,曲线在处的切线过点利用斜率相等,可得,又,可得,则,
7、可得函数的极值点(2)由题是方程的两个根,则, ,由,可得, ,是函数的极大值, 是函数的极小值,要证,只需,计算整理可得 ,令,则,设,利用导数讨论函数的性质即可得证 【新题展示】1【2019山西晋中1月适应性考试】已知函数.(1)讨论的单调性;(2)当时,证明:.来源:学,科,网Z,X,X,K【思路引导】(1)由题意,求得函数的导数, 分类讨论,即可求解函数的单调区间;(2)由(1)知,当时,的最大值为,从而要证等价于,即,设,利用导数求得函数的单调性和最值,即可得证.【解析】(1)由题意,得, 若,恒成立,在上是增函数;若,当时,是增函数; 来源:学科网ZXXK当时,是减函数;综上,时,
8、在上是增函数;时,在上是增函数,在上是减函数.2【2019陕西西安西北工业大学附属第一次适应性训练】已知函数,曲线在点处的切线方程为求a,b的值;2若当时,关于x的不等式恒成立,求k的取值范围【思路引导】(1)求得的导数,可得切线的斜率,由已知切线的方程可得切点,由,的方程,可得,的值;(2)由题意可得恒成立,即有对恒成立,求导并根据函数单调性情况进行分类讨论,最终获得k取值范围.【解析】函数,导数为,曲线在点处的切线方程为,可得,则,即有,;2当时,关于x的不等式恒成立,可得恒成立,即有对恒成立,可设,导数为,设,当时,在递增,可得,则在递增,与题设矛盾;当,可得,3【2019湖北黄冈上学期
9、元月调研】设函数求的单调区间;当时,若对任意的,都有,求实数的取值范围;证明不等式.【思路引导】 求出,分两种情况讨论的范围,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间;问题等价于对恒成立,令,根据函数的单调性求出的取值范围,从而可得结果; 由知对任意的恒成立,令得:,累加即可证明结论【解析】,即,原不等式等价于对恒成立,令,则对恒成立,时,故所求a的范围为由知不等式对任意的和恒成立,则对任意的恒成立,令得:,2,n,再迭加即可,得4【2019福建三明期末质量检测】已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,证明:.【思路引导】(1)对函数求导,分情况
10、讨论导函数的正负,进而得到单调性;(2)对函数求导,结合极值点的概念得到,构造函数,对函数求导,得到函数单调性即可得到结果.【解析】(2)函数的定义域为,函数有两个极值点,且.由(1)知,且,则,【同步训练】1已知函数与.(1)若曲线与曲线恰好相切于点,求实数的值;(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;(3)求证:. .【思路引导】(1)先求出导函数 由 ,解方程可得;(2)由 在恒成立的必要条件为得,再利用导数研究函数的单调性及最值,从而证明时,对任意 ,总有;(3)由(2)知:时,令,化简可得,再令 ,多个不等式求和,利用对数的运算法则即可的结论.试题解析:(1)先求出导函数 由 ,解方程
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