高中数学考试压轴题讲义——欲证不等恒成立结论再造是利器(含答案).doc
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1、【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略:利用导数证明不等式,解决导数压轴题,谨记两点:()利用常见结论,如:,等;()利用同题上一问结论或既得结论【典例指引】例1已知,直线与函数的图像都相切,且与函数的图像的切点的横坐标为1(I)求直线的方程及m的值;(II)若,求函数的最大值 (III)当时,求证:例2设函数,其中R,为自然对数的底数()当时, 恒成立,求的取值范围;()求证: (参考数据:)例3设(l)若对一切恒成立,求的最大值;(2)是否存在正整数,使得对一切正整数都成立?若存在,求的最小值;若不存在,请说明理由【新题展示】1【2019安徽安庆上学期期末】(1)已知函数,求函数在
2、时的值域;(2)函数有两个不同的极值点,求实数的取值范围;证明:.(本题中可以参与的不等式:,)来源:Z*xx*k.Com2【2019河南驻马店上学期期末】设和是函数的两个极值点,其中,.(1)求的取值范围;(2)若,求的最大值.3【2019湖南益阳上学期期末】已知函数.(1)当时,比较与的大小;(2)若有两个极值点,求证:.4【2019广东韶关1月调研】已知函数(其中是自然对数的底数).(1)证明:当时,;当时,.(2)是否存在最大的整数,使得函数在其定义域上是增函数?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.5【2019天津部分区期末】已知函数,其中.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)
3、记的导函数为,若不等式在区间上恒成立,求的取值范围;(3)设函数,是函数的导函数,若存在两个极值点,且满足,求实数的取值范围【同步训练】来源:学*科*网1已知函数,(其中,为自然对数的底数, )(1)令,若对任意的恒成立,求实数的值;(2)在(1)的条件下,设为整数,且对于任意正整数,求的最小值来源:学_科_网2设函数(1)当时,求的单调区间;(2)若的图象与轴交于两点,且,求的取值范围;(3)令,证明:3已知函数(1)若函数有两个不同的零点,求实数的取值范围;(2)当时,恒成立的的取值范围,并证明 来源:学科网ZXXK4已知函数与(1)若曲线与直线恰好相切于点,求实数的值;来源:学科网ZXX
4、K(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;(3)求证:来源:学*科*网Z*X*X*K5已知函数,()若函数与的图像在点处有相同的切线,求的值;()当时,恒成立,求整数的最大值;()证明: 6已知函数(是自然对数的底数),(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求的单调区间;(3)设,其中为的导函数,证明:对任意, 7设函数,其中(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)讨论函数的单调性;(3)当,且时证明不等式: 8已知函数(1)当时,讨论的单调性;(2)当时,若,证明:当时,的图象恒在的图象上方;(3)证明:9已知函数 (1)若函数在区间上递增,求实数的取值范围;(2)求证:10已知函数 (其中,
5、)(1)若函数在上为增函数,求实数的取值范围;(2)当时,求函数在上的最大值和最小值;(3)当时,求证:对于任意大于1的正整数,都有来源:Zxxk.Com11已知函数()若有唯一解,求实数的值;()证明:当时,(附: )12 已知函数()若函数有极值,求实数的取值范围; ()当有两个极值点(记为和)时,求证:13已知(1)求函数在区间上的最小值;(2)对一切实数恒成立,求实数的取值范围;来源:学&科&网来源:Z。xx。k.Com(3)证明:对一切,恒成立14已知函数, (I)求的单调区间;(II)若对任意的,都有,求实数的取值范围来源:学科网ZXXK【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策
6、略:利用导数证明不等式,解决导数压轴题,谨记两点:()利用常见结论,如:,等;()利用同题上一问结论或既得结论【典例指引】例1已知,直线与函数的图像都相切,且与函数的图像的切点的横坐标为1(I)求直线的方程及m的值;(II)若,求函数的最大值 (III)当时,求证: ,取最大值,其最大值为2(III)证明,当时,学科&网例2设函数,其中R,为自然对数的底数()当时, 恒成立,求的取值范围;()求证: (参考数据:)【思路引导】(1)先构造函数,再对其求导得到然后分和两种情形分类讨论进行分析求解:(2)借助(1)的结论,当时,对恒成立, 再令,得到 即; 又由()知,当时,则在递减,在递增,则,
7、即,又,即,令,即,则,故有 点评:解答本题的第一问时,先构造函数,再对其求导得到然后分和两种情形分类讨论进行分析求解;证明本题的第二问时,充分借助(1)的结论及当时, 对恒成立,令,得到 即; 进而由()知,当时,则在递减,在递增,则,即,又,即,令,即,则,故有从而使得问题巧妙获证学科&网例3设(l)若对一切恒成立,求的最大值;(2)是否存在正整数,使得对一切正整数都成立?若存在,求的最小值;若不存在,请说明理由【思路引导】(1)即在时,从而求的参数的范围,所以函数 ,所以(2)由(1)可知当时,即,取,得,即累加可证到所以(2)设,来源:Z&xx&k.Com则,令得在时,递减;在时,递增
8、最小值为,故,取,得,即学科&网累加得 故存在正整数,使得当时,取,有,不符合故学科&网【新题展示】1【2019安徽安庆上学期期末】(1)已知函数,求函数在时的值域;(2)函数有两个不同的极值点,求实数的取值范围;证明:.(本题中可以参与的不等式:,)【思路引导】(1)首先可对函数进行求导,然后分析函数在上的单调性并求出最值,最后即可求出函数在上的值域;(2)首先将“有两个不同极值点”转化为“有两个不同的正实根”,再根据(1)中所给出的函数性质即可得出结果;可利用分析法进行证明。【解析】由条件有两个不同的极值点,知:,于是有所以,即要证成立,只需证明只需证只需证只需证只需证,令,只需证,而题中
9、已给出该不等式成立.即证。2【2019河南驻马店上学期期末】设和是函数的两个极值点,其中,.(1)求的取值范围;(2)若,求的最大值.【思路引导】(1)求出 ,方程有两个不等的正根,(其中).由韦达定理可得,,由此可得 ,由二次函数的性质可得结果;(2)设,则 ,求出,利用导数研究函数的单调性,利用单调性求出最值,从而可得结果.【解析】,,故的取值范围是:.记,则 ,在上单调递减,故的最大值是:.3【2019湖南益阳上学期期末】已知函数.(1)当时,比较与的大小;(2)若有两个极值点,求证:.【思路引导】(1),可得,可得故在时为增函数,可得结论;(2),可得在上有两个零点.当时,在上为增函数
10、,不可能有两个零点,故.此时,即,整理得,即.可得,故要证成立,只需证,即证,不妨设,即证.令,原不等式化为.由(1)得当时,.故只需证,化为,故原式得证.【解析】(2),.则在上有两个零点.令,即在上有两个零点,.当时,在上为增函数,不可能有两个零点,故.此时,即,整理得,即.故要证成立,只需证,即证,4【2019广东韶关1月调研】已知函数(其中是自然对数的底数).(1)证明:当时,;当时,.(2)是否存在最大的整数,使得函数在其定义域上是增函数?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【思路引导】(1)直接作差,构建新函数研究最值即可;同样作差构建函数,研究最值即可;(2)由题意可得,变量分
11、离研究最值即可.来源:Zxxk.Com【解析】令,当时,故在区间上为减函数,当时,故在区间上为增函数,因此,故.令,因此为增函数当时,故.故为增函数,又,因此在区间上有唯一的零点,记它为,在上单调递减,在上单调递增,故,因此,其中由(1)可知恒成立,且当时,成立故当且仅当时等号成立.因此.又因此,即存在最大的整数28,使得在其定义域上是增函数.5【2019天津部分区期末】已知函数,其中.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)记的导函数为,若不等式在区间上恒成立,求的取值范围;(3)设函数,是函数的导函数,若存在两个极值点,且满足,求实数的取值范围【思路引导】()当时,(1),可得(1)利用
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