创新设计二轮理科数学配套PPT课件微专题15 空间角、距离的计算(几何法、向量法).pptx
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1、INNOVATIVE DESIGN上篇板块三 立体几何与空间向量立体几何与空间向量微专题15空间角、距离的计算(几何法、向量法)真题演练 感悟高考热点聚焦 分类突破高分训练 对接高考索引以以空空间几几何何体体为载体体考考查空空间角角(以以线面面角角为主主)是是高高考考命命题的的重重点点,常常与与空空间线面面位位置置关关系系的的证明明相相结合合,热点点为空空间角角的的求求解解,常常以以解解答答题的的形形式式进行行考考查.高考注重利用向量方法解决空高考注重利用向量方法解决空间角角问题,但也可利用几何法来求解,但也可利用几何法来求解.索引1真题演练 感悟高考索引1.(2019全全国国卷卷)如如图,直
2、直四四棱棱柱柱ABCDA1B1C1D1的的底底面面是是菱菱形形,AA14,AB2,BAD60,E,M,N分分别是是BC,BB1,A1D的中点的中点.(1)证明:明:MN平面平面C1DE;证明证明连接接B1C,ME.因因为M,E分分别为BB1,BC的中点,的中点,索引由由题设知知A1B1綊DC,可得,可得B1C綊A1D,故故ME綊ND,因此四,因此四边形形MNDE为平行四平行四边形,所以形,所以MNED.又又MN 平面平面C1DE,ED 平面平面C1DE,所以所以MN平面平面C1DE.索引(2)求点求点C到平面到平面C1DE的距离的距离.解解过点点C作作C1E的垂的垂线,垂足,垂足为H.由已知可
3、得由已知可得DEBC,DEC1C,又又BCC1CC,BC,C1C 平面平面C1CE,所以所以DE平面平面C1CE,故故DECH.所以所以CH平面平面C1DE,故,故CH的的长即即为点点C到平面到平面C1DE的距离的距离.由已知可得由已知可得CE1,C1C4,索引(1)证明:明:BDPA;证证明明在在四四边形形ABCD中中,作作DEAB于于点点E,CFAB于于点点F,如,如图.因因为CDAB,ADCDCB1,AB2,所以四所以四边形形ABCD为等腰梯形,等腰梯形,索引所以所以AD2BD2AB2,所以所以ADBD.因因为PD平面平面ABCD,BD 平面平面ABCD,所以所以PDBD,又又PDADD
4、,PD,AD 平面平面PAD,所以所以BD平面平面PAD.又因又因为PA 平面平面PAD,所以所以BDPA.索引(2)求求PD与平面与平面PAB所成的角的正弦所成的角的正弦值.解解由由(1)知,知,DA,DB,DP两两垂直,两两垂直,如如图,以点,以点D为原点建立空原点建立空间直角坐直角坐标系,系,设平面平面PAB的一个法向量的一个法向量为n(x,y,z),索引索引2热点聚焦 分类突破/索引核心归纳核心归纳热点一异面直线所成的角索引D 例例1(2021全全国国乙乙卷卷)在在正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中,P为B1D1的的中中点点,则直直线PB与与AD1所成的角所成的角为()解解析析法
5、法一一如如图,连接接C1P,因因为ABCDA1B1C1D1是是正正方方体体,且且P为B1D1的的中中点,所以点,所以C1PB1D1,又又C1PBB1,B1D1BB1B1,B1D1,BB1 平面平面B1BP,所以所以C1P平面平面B1BP.又又BP 平面平面B1BP,所以有,所以有C1PBP.连接接BC1,则AD1BC1,索引所以所以PBC1为直直线PB与与AD1所成的角所成的角.设正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱长为2,索引设直直线PB与与AD1所成的角所成的角为,索引法法三三如如图,连接接BC1,A1B,A1P,PC1,则易易知知AD1BC1,所所以以直直线PB与与AD1所成的角
6、等于直所成的角等于直线PB与与BC1所成的角所成的角.由由P为正方形正方形A1B1C1D1的的对角角线B1D1的中点的中点,知知A1,P,C1三点共三点共线,且,且P为A1C1的中点的中点.易知易知A1BBC1A1C1,所以,所以A1BC1为等等边三角形三角形 ,索引(1)利利用用几几何何法法求求异异面面直直线所所成成的的角角时,通通过平平移移直直线所所得得的的角角不不一一定定就就是是两两异面直异面直线所成的角,也可能是其所成的角,也可能是其补角角.(2)用向量法用向量法时,也要注意向量,也要注意向量夹角与异面直角与异面直线所成角的范所成角的范围不同不同.易错提醒索引C训训练练1(1)(202
7、2湖湖北北部部分分学学校校质检)在在长方方体体ABCDA1B1C1D1中中,BB12AB2BC,P,Q分分别为B1C1,BC的的中中点点,则异异面面直直线AQ与与BP所所成成角角的的余余弦弦值是是()解析解析法一法一不妨不妨设AB2,则BC2,BB14,连接接A1P,A1B(图略略),则A1PAQ,A1PB(或其或其补角角)为异面直异面直线AQ与与BP所成的角所成的角.索引法二法二如如图建立空建立空间直角坐直角坐标系,不妨系,不妨设AB2,则BC2,BB14.故故B(2,0,0),P(2,1,4),Q(2,1,0),设直直线AQ与与BP所成的角所成的角为,索引CEBC(或其或其补角角)为异面直
8、异面直线AD与与BC所成的角所成的角.索引法二法二由由圆锥侧面展开面展开图为半半圆,易得,易得BC2,又,又BO1,索引/索引热点二直线与平面所成的角核心归纳核心归纳索引例例2(2022南南京京一一模模)如如图,在在三三棱棱柱柱ABCA1B1C1中中,AA113,AB8,BC6,ABBC,AB1B1C,D为AC的的中中点点,平平面面AB1C平面平面ABC.(1)求求证:B1D平面平面ABC;证明证明因因为AB1B1C,D为AC的中点,所以的中点,所以B1DAC.又又平平面面AB1C平平面面ABC,平平面面AB1C平平面面ABCAC,B1D 平平面面AB1C,所以所以B1D平面平面ABC.索引(
9、2)求直求直线C1D与平面与平面AB1C所成角的正弦所成角的正弦值.解解法法一一在在平平面面ABC内内,过点点D作作BC的的平平行行线,交交AB于于点点E,过点点D作作AB的的平平行行线,交,交BC于点于点F,连接接DE,DF,BD.由由(1)知知B1D平面平面ABC,所以所以B1DAC,B1DBD.因因为ABBC,所以所以DEDF,索引因因为AB8,BC6,ABBC,又又AA1BB113,ABBC,易得易得D(0,0,0),A(3,4,0),B(3,4,0),C(3,4,0),B1(0,0,12),索引设平面平面AB1C的法向量的法向量为n(x1,y1,z1),得得3x14y1,z10.不妨
10、取不妨取x14,则y13,得平面,得平面AB1C的一个法向量的一个法向量为n(4,3,0).设直直线C1D与平面与平面AB1C所成的角所成的角为,索引索引法法二二连接接BC1,交交B1C于于点点M,易易知知BMMC1,所所以以点点C1到到平平面面AB1C的的距距离离d和点和点B到平面到平面AB1C的距离相等的距离相等.过点点B作作BHAC,垂足,垂足为H.又平面又平面AB1C平面平面ABC,平面平面AB1C平面平面ABCAC,BH 平面平面ABC,所以所以BH平面平面AB1C,则BH为点点B到平面到平面AB1C的距离的距离.在在RtABC中,中,因因为AB8,BC6,ABBC,索引由由(1)知
11、知B1D平面平面ABC,又又BC 平面平面ABC,所以,所以B1DBC.又又B1C1BC,所以,所以B1DB1C1,则DB1C1为直角三角形直角三角形.连接接BD,则B1DBD.又又AA1BB113,所以,所以B1D12.索引规律方法索引(1)求求证:DO平面平面ABC;证明证明法一法一取取AB的中点的中点为F,连接接CF,OF(图略略),因因为O,F分分别为AE,AB的中点,的中点,所以所以OFCD,且,且OFCD,所以四所以四边形形OFCD为平行四平行四边形,形,所以所以DOCF,又,又CF 平面平面ABC,DO 平面平面ABC,所以,所以DO平面平面ABC.索引法二法二取取BE的中点的中
12、点为G,连接接OG,DG(图略略),则CDGB,且,且CDGB,所以四所以四边形形DGBC为平行四平行四边形形,所以,所以DGBC,又又BC 平面平面ABC,DG 平面平面ABC,所以,所以DG平面平面ABC.因因为O,G分分别为AE,BE的中点的中点,所以,所以OGAB,又又AB 平面平面ABC,OG 平面平面ABC,所以所以OG平面平面ABC,又又OGDGG,OG,DG 平面平面DOG,所以平面所以平面DOG平面平面ABC,又又DO 平面平面DOG,所以所以DO平面平面ABC.索引(2)求求DA与平面与平面ABC所成角的正弦所成角的正弦值.解解法一法一取取EB的中点的中点为G,连接接AG,
13、DG,易得,易得DG綊BC.所以所以AE2AB2BE2,所以所以ABAE,ABE为等腰直角三角形,所以等腰直角三角形,所以AGBE,AG1,所以所以AG2DG2AD2,所以,所以DGAG.又又BEAG,BEDGG,BE,DG 平面平面BCDE,所以,所以AG平面平面BCDE.记h为点点D到平面到平面ABC的距离,的距离,连接接BD,则VDABCVABCD,索引因因为BC 平面平面BCDE,所以,所以BCAG,又又CBBE,BEAGG,BE,AG 平面平面ABE,所以,所以BC平面平面ABE,又又AB 平面平面ABE,所以所以BCAB,索引设DA与平面与平面ABC所成的角所成的角为,索引法法二二
14、如如图,取取EB的的中中点点为G,连接接AG,OG,DG,由由(2)法法一一可可知知AGBE,ABAE,BC平面平面ABE,BCDG,所以,所以DG平面平面ABE.因因为AE 平面平面ABE,所以,所以BCAE,又又ABAE,BCABB,BC,AB 平面平面ABC,所以,所以AE平面平面ABC,索引设DA与平面与平面ABC所成角所成角为,/索引热点三二面角核心归纳核心归纳索引(1)证明:明:DB平面平面AEF;证明证明法一法一DA平面平面ABC,且,且BC 平面平面ABC,DABC.AC2BC2AB2,ACBC.DAACA,DA,AC 平面平面DAC,BC平面平面DAC,又,又AE 平面平面D
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