创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题7 等和线、三角形四心、奔驰定理.doc
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1、微专题7等和线、三角形四心、奔驰定理1.平面向量的等和线平面内一组基底,及任一向量,(,R),若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上,则k(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.(1)当等和线恰为直线AB时,k1,(2)当等和线在O点和直线AB之间时,k(0,1);(3)当直线AB在O点和等和线之间时,k(1,);(4)当等和线过O点时,k0.2.三角形“四心”(1)点O是P1P2P3的重心,则有:0,SP2OP3SP1OP3SP1OP2SP1P2P3;(2)点O是P1P2P3的垂心,则有:,tan P1tan P2tan P30,SP2
2、OP3SP2OP1SP1OP2tan P1tan P2tan P3(P1P2P3不是直角三角形);(3)点O是P1P2P3的内心,则有:abc0,SP2OP3SP3OP1SP1OP2abc(其中a,b,c是P1P2P3的三边,分别对应角P1,P2,P3);(4)点O是P1P2P3的外心,则有:|,sinP2OP3sinP1OP3sinP1OP20,SP2OP3SP3OP1SP1OP2sin 2P1sin 2P2sin 2P3.3.奔驰定理如图,已知P为ABC内一点,则有SPBCSPACSPAB0.由于这个定理对应的图形和奔驰车的标志很相似,因此我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量
3、解决平面几何问题,尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题,有着决定性的作用.类型一利用等和线求基底系数和的值利用等和线求基底系数和的步骤(1)确定值为1的等和线;(2)平移该线,作出满足条件的等和线;(3)从长度比或点的位置两个角度,计算满足条件的等和线的值. 例1 设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,ADAB,BEBC.若12(1,2为实数),则12的值为_.答案解析法一(通法)由题意作图如图.在ABC中,()12,1,2.故12.法二(利用等和线)如图,过点A作,连接DF.设AF与BC的延长线交于点H,易知AFFH,AFAH,因此12.训练1 (2022太原模拟)如图,在平行四
4、边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若(,R),则等于()A.1 B. C. D.答案B解析法一(通法)E为线段AO的中点,(),则.法二(等和线法)如图,AD为值是1的等和线,过E作AD的平行线,设k,则k.由图易知,故选B.类型二利用等和线求基底系数和的最值(范围)求解步骤:(1)确定值为1的等和线;(2)平移(旋转或伸缩)该线,结合动点的允许存在的区域,分析何处取得最大值和最小值;(3)从长度比或点的位置两个方面,计算最大值和最小值. 例2 给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为,如图所示,点C在以O为圆心的弧上运动,若xy(x,yR),则xy的最大值是_.答案
5、2解析法一(通法)以O为坐标原点,所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(1,0),B,设AOC,则C(cos ,sin ),由xy,得所以xcos sin ,ysin ,所以xycos sin 2sin,又,所以当时,xy取得最大值2.法二(等和线法)如图所示,设xyk,则直线AB为k1的等和线,所有与直线AB平行的直线中,切线离圆心O最远,即此时k取得最大值,易知OEAB,OA1,AOB,OE,则k2,即xy的最大值为2.训练2 如图,四边形OABC是边长为1的正方形,点D在OA的延长线上,且OD2,点P是BCD内任意一点(含边界),设,则的取值范围为_.答案解析法一(通法)分别
6、以边OA,OC所在直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,则(0,1),(2,0),设P(x,y),(x,y),(x,y)(0,1)(2,0)(2,),xy,设zxy,则yxz,所以z是直线yxz在y轴上的截距,由图可知,当该直线过点B(1,1)时,它在y轴上的截距最大,为;和直线CD重合时,在y轴上的截距最小,为1,故z,即.法二(等和线法)如图,设k,则直线CD为k1的等和线,所有与直线CD平行的直线中,过点B的直线离点O最远,此时k的值最大,且此时k,易知ADDE1,故此时k,显然k的最小值为1,即.类型三利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题已知P为ABC内一点,且xyz0(x,y,zR
7、,xyz0,xyz0),则有(1)SPBCSPACSPAB|x|y|z|;(2),.例3 (1)已知O是ABC内部一点,满足2m0,且,则实数m等于()A.2 B.3 C.4 D.5(2)已知点A,B,C,P在同一平面内,则SABCSPBC等于()A.143 B.194 C.245 D.296答案(1)C(2)B解析(1)法一(通法)延长CO到点M,使得,因为2m0,所以,即,所以A,B,M三点共线,又因为与反向共线,所以,所以,解得m4.法二(奔驰定理法)由奔驰定理得SBOCSAOCSAOB0,又2m0,SBOCSAOCSAOB12m.m4.(2)法一(通法),以PQ为底的PQR与PQB的高
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