创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题5 与平面向量有关的最值、范围问题.doc
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1、微专题5与平面向量有关的最值、范围问题高考定位1.平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇融合.2.此类问题一般以选择题或填空题的形式出现.1.(2018浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b24eb30,则|ab|的最小值是()A.1 B.1 C.2 D.2答案A解析法一设O为坐标原点,a,b(x,y),e(1,0),由b24eb30得x2y24x30,即(x2)2y21,所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心,1为半径的圆.因为a与e的夹角为,所以不妨令点A在射线yx(x0)上,如图,数形结合可知|
2、ab|min|1.故选A.法二由b24eb30得b24eb3e2(be)(b3e)0.设b,e,3e,所以be,b3e,所以0.取EF的中点为C,则B在以C为圆心,EF为直径的圆上,如图.设a,作射线OA,使得AOE,所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|1.故选A.2.(2017全国卷)在矩形ABCD中,AB1,AD2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若,则的最大值为()A.3 B.2 C. D.2答案A解析如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,则B(1,0),D(0,2),C(1,2),直线BD的方程为:y2x2,C方程为:(x1)2(y2)2r2,又(1,0),(0
3、,2),则(,2),又圆与直线BD相切,则半径r.因为P点坐标可表示为x1rcos ,y2rsin 2,则2sin rcos 2sin(),当sin()1时,有最大值,为23.3.(2022北京卷)在ABC中,AC3,BC4,C90.P为ABC所在平面内的动点,且PC1,则的取值范围是()A.5,3 B.3,5C.6,4 D.4,6答案D解析以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(3,0),B(0,4).设P(x,y),则x2y21,(3x,y),(x,4y),所以x23xy24y(y2)2.又(y2)2表示圆x2y21上一点到点距离的平方,圆心(0
4、,0)到点的距离为,所以,即4,6,故选D.4.(2020浙江卷)已知平面单位向量e1,e2满足|2e1e2|.设ae1e2,b3e1e2,向量a,b的夹角为,则cos2的最小值是_.答案解析法一设e1(1,0),e2(x,y),则a(x1,y),b(x3,y).由2e1e2(2x,y),故|2e1e2|,得(x2)2y22.又有x2y21,得(x2)21x22,化简,得4x3,即x,因此x1.cos2,当x时,cos2有最小值,为.法二单位向量e1,e2满足|2e1e2|,所以|2e1e2|254e1e22,即e1e2.因为ae1e2,b3e1e2,a,b的夹角为,所以cos2 .不妨设te
5、1e2,则t,cos2 ,又y在上单调递增.所以cos2 .所以cos2 的最小值为.法三由题意,不妨设e1(1,0),e2(cos x,sin x).因为|2e1e2|,所以,得54cos x2,即cos x.易知a(1cos x,sin x),b(3cos x,sin x),所以ab(1cos x)(3cos x)sin2x44cos x,|a|2(1cos x)2sin2 x22cos x,|b|2(3cos x)2sin2 x106cos x,所以cos2 .不妨设mcos x,则m,cos2 ,又y在上单调递增,所以cos2 ,所以cos2 的最小值为.热点一向量数量积的最值或范围问
6、题数量积的表示一般有三种方法:(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解;(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解;(3)运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算. 例1 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是()A.(2,6) B.(6,2)C.(2,4) D.(4,6)答案A解析法一如图,取A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(3,),F(1,).设P(x,y),则(x,y),(2,0),且1x3.所以(x,y)(2,0)2x(2,6).故选A.法二|cosPAB2|cosPAB,又|cosP
7、AB表示在方向上的投影,所以结合图形可知,当P与C重合时投影最大,当P与F重合时投影最小.又22cos 306,22cos 1202,故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时,(2,6),故选A.规律方法结合图形求解运算量较小,建立坐标系将用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择的变量要有可操作性.训练1 如图,在矩形ABCD中,AB3,AD2,DE2EC,M为BC的中点,若点P在线段BD上运动,则的最小值为_.答案解析以A为坐标原点,AB,AD分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则E(2,2),M(3,1),又(3,0),(0,2),令(1)(3,22),01,故P(3,22),则(23
8、,2),(33,21),(23)(33)2(21)132176,所以时,取最小值.热点二向量模的最值或范围问题向量的模指的是有向线段的长度,可以利用坐标表示,也可以借助“形”,结合平面几何知识求解.如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求. 例2 (1)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的动点,则|3|的最小值为_.(2)若向量a(x,2),b(3,y),c(1,2),且(ac)(bc),则|ab|的最小值为_.答案(1)5(2)解析(1)如图,以DA,DC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系.则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0
9、,0),设P(0,b)(0ba),则(2,b),(1,ab),3(5,3a4b),|3|5,即当3a4b时,取得最小值5.(2)由题设,ac(x1,4),bc(4,y2),又(ac)(bc),(ac)(bc)4(x1)4(y2)0,则xy30,又ab(x3,2y),则|ab|,求|ab|的最小值,即求定点(3,2)到直线xy30的距离,|ab|min.规律方法模的范围或最值常见方法(1)通过|a|2a2转化为实数问题;(2)数形结合;(3)坐标法.训练2 已知a,b为非零向量,且|a|ab|1,则|2ab|b|的最大值为_.答案2解析法一设a(1,0),b(cos 1,sin ),则|2ab|
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