2024年初三下册数学专项二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)含答案.doc
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1、2024年初三下册数学专项二次函数y=ax2(a0)与y=ax2+c(a0)的图象与性质知识讲解(基础) 【学习目标】1理解二次函数的概念,能用待定系数法确定二次函数的解析式; 2会用描点法画出二次函数y=ax2(a0) 与的图象,并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念; 3. 掌握二次函数y=ax2(a0) 与的图象的性质,掌握二次函数与之间的关系;(上加下减).【要点梳理】要点一、二次函数的概念1.二次函数的概念一般地,形如y=ax2+bx+c(a0,a, b, c为常数)的函数是二次函数. 若b=0,则y=ax2+c; 若c=0,则y=ax2+bx; 若b=c=0,则y=ax
2、2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式,而y=ax2+bx+c(a0)是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: (a0);(a0);(a0);(a0),其中;(a0).要点诠释:如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数这里,当a=0时就不是二次函数了,但b、c可分别为零,也可以同时都为零a 的绝对值越大,抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式:(,为常数,);2. 顶点式:(,为常数,);3. 两根式:(,是抛物线与轴两交点的横坐标)(或称交点式).要点诠释:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的
3、二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.要点二、二次函数y=ax2(a0)的图象及性质1.二次函数y=ax2(a0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2(a0)的图象,如图,它是一条关于y轴对称的曲线,这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称,所以y轴是这条抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,从图上看,抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点,所以函数y=x2有最小值,它的最小值就是最低点的纵坐标.2.二次函数y=ax2(a0)的图象的画法用描点法画二次函数y=
4、ax2(a0)的图象时,应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值,然后计算出对应的y值,这样的对应值选取越密集,描出的图象越准确.要点诠释:二次函数y=ax2(a0)的图象用描点法画二次函数y=ax2(a0)的图象,该图象是轴对称图形,对称轴是y轴y=ax2(a0)是最简单的二次函数,把y=ax2(a0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a0)的图象画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.3.二次函数y=ax2(a0)的图象的性质二次函数y=ax2(a0)的图象的性质,见下表: 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大(小)值
5、 y=ax2 a0 向上 (0,0) y轴 x0时,y随x增大而增大; x0时,y随x增大而减小. 当x=0时,y最小=0 y=ax2 a0时,y随x增大而减小; x0 向上 (0,0) y轴 x0时,y随x增大而增大; x0时,y随x增大而减小. 当x=0时,y最小=0 y=ax2 a0时,y随x增大而减小; x0时,y随x增大而增大. 当x=0时,y最大=0 要点诠释: 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. a相同,抛物线的开口大小、形状相同.a越大,开口越小,图象两边越靠近y轴,a越小,开口越大,图象两
6、边越靠近x轴.要点三、二次函数y=ax2+c(a0)的图象及性质 1.二次函数y=ax2+c(a0)的图象(1) (2) 2.二次函数y=ax2+c(a0)的图象的性质关于二次函数的性质,主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究下面结合图象,将其性质列表归纳如下:函数图象开口方向向上向下顶点坐标(0,c)(0,c)对称轴y轴y轴函数变化当时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小.当时,y随x的增大而减小;当时,y随x的增大而增大.最大(小)值当时,当时,3.二次函数与之间的关系;(上加下减).的图象向上(c0)【或向下(c0)】平移c个单
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