概率论与数理统计总结.docx
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1、概率论与数理统计总结 第一章 随机事务与概率 第一节 随机事务及其运算 1、 随机现象:在肯定条件下,并不总就是出现相同结果得现象 2、 样本空间:随机现象得一切可能基本结果组成得集合,记为 Ω=ω,其中 ω 表示基本结果,又称为样本点。 3、 随机事务:随机现象得某些样本点组成得集合常用大写字母 A、C 等表示,Ω 表示必定事务, ∅ 表示不行能事务、 4、 随机变量:用来表示随机现象结果得变量,常用大写字母 X、Y、等表示。 5、 时间得表示有多种: 用集合表示,这就是最基本形式 用精确得语言表示 用等号或不等号把随机变量于某些实
2、属联结起来表示 、事务得关系 (1) 包 含关系:假如属于 A 得样本点必属于事务 B,即事务 A 发生必定导致事务发生,则称 A 被包含于 B,记为⊂B; (2) 相等关系:若 A⊂且 B⊃ ,则称事务与事务相等,记为=B。 (3) 互不相容:假如 A∩B= ∅, 即 A 与 B 不能同时发生,则称 A 与 B 互不相容 7、事务运算 (1) 事务 A A 与 与 B B 得并:事务与事务 B 至少有一个发生,记为 A∪B、 (2) 事务 A A 与 与 B B 得 交:事务 A 与事务 B 同时发生,记为 A∩ B 或 AB。 (
3、) 事务 对 B B 得差:事务发生而事务不发生,记为 B、用交并补可以表示为。 (4) 对立事务:事务 A 得对立事务(逆事务),即 A 不发生,记为、 对立事务得性质:、 、事务运算性质:设 A,C 为事务,则有 ()交换律:A∪=B∪A,B=BA ()结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪=∪B∪C A(BC)=(AB)=ABC (3)安排律:A∪(B∩C)(A∪)∩(A∪C)、 (B∪C)(A∩)∪(A∩C)= AB∪AC (4)棣莫弗公式(对偶
4、法则): 9、事务域:含有必定事务 Ω ,并关于对立运算与可列并运算都封闭得事务类 ξ 称为事务域,又称为 σ 代数。详细说,事务域 ξ 满意: (1)Ω∈ξ (2)若 A∈ξ,则对立事务∈ξ (3)若 ∈ξ,n=,2,则可列并 ξ 。 10、两个常用得事务域: (1)离散样本空间(有限集或可列集)内得一切子集组成得事务域; (2)连续样本空间(如、R2 等)内得一切博雷尔集(如区间或矩形)逐步扩展而成得事务域、 其次节 概率得定义及其确定方法 1、概率得公理化定义:定义在事务
5、域 ξ 上得一个实值函数()满意: ()非负性公理:若∈ξ,则 P(A)≥ (2)正则性公理:P(Ω)1 (3)可列可加性公理:若 A , ,A 2 ,A 3 互不相容,则有 , , 即 L L L L + + + + = ) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1 n nA P A P A P A A A P ,则称 P(A)为时间 A 得概率,称三元素(Ω,ξ,P)为概率空间 2、确定概率得频率方法:(就是在大量重复试验中,用频率得稳定值去获得频率得一种方法)它得基本思想就是: (1)与考察事务 A 有关得随机现象可大量重复进行;
6、 在 n 次重复试验中,记 n()为事务出现得次数,称 f n ()= , 为事务 A 出现得频率; 频率得稳定值就就是概率; 当重复次数 n 较大时,可用频率作为概率得估计值。 3、确定概率得古典方法: 它得基本思想就是: 所涉及得随机现象只有有限个样本点,譬如为 n 个; 每个样本点发生得可能性相等(等可能性); 若事务 A 含有 k 个样本点,则事务 A 得概率为 P() 。 4、确定概率得几何方法: 它得基本思想就是: 假如一个随机现象得样本空间充溢某个区域,其度量(长度、面积、体积等)大小可用 S n 表示; 随意一点落在度量相同得子区域内就是等可能得; 若事务 A 为中某个子区域,
7、且其度量为 S A ,则事务 A 得概率为 (A)= . 、确定概率得主观方法:一个事务得概率 P(A)使人们依据阅历,对该事务发生得可能性大小所做出得个人信念、 6、概率就是定义在事务域 ξ 上得集合函数,且满意三条公理。前三种确定概率得方法自动满意三条公理,而主观方法确定概率要加验证,若不满意三条公理就不能称为概率。 第三节 概率得性质: 1、 (Φ) 2、 有限可加性:若有限个事务 A , ,A ,A 3 互不相容,则有 , , 3、 对立事务得概率:对任一事务 A,有 4、 减法公式(特定场合):若 AB,则 P(A)=P()-P() 5、 单调性:若B,则 P() (B
8、) 6、 减法公式(一般场合):对随意两个事务 A、B,有 P(AB)P(A)P(A) 7、 加法公式:对随意两个事务、B,有 P(A+B)=P()(B)P(A)。 对随意个事务 A 1 ,A , n ,有 = -=- + + + - =ni a j i a k j innk j i j i iA A A P A A A P A A P A P A P1 1 12 11n1 ii) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( L LU 8、 半可加性:对随意两个事务 A、B,有. 9、 事务序列得极限: 对 ξ 中任一单调不减得事务序列,称为可列并为极限F n 得极限事务,记为。 对
9、 ξ 中任一单调不增得事务序列,称为可列交为极限E n 得极限事务,记为。 若,则称概率就是上连续得 10、 概率得连续性:若 P 为事务域 ξ 上得概率,则既就是上连续得,又就是下连续得 11、 若 P就是 ξ上满意 P(Ω)1 得非负集合函数,则 P就是可列可加性得充要条件就是P 具有有限可加性与下连续性。 第四节 条件概率 1、条件概率:设 A、B 就是两个事务,若(A)>0,则称 P(AB)=为事务 B 发生条件下,事务 A发生得条件概率、 条件概率就是概率得一种,全部概率得性质都适合于条件概率。 2、乘法公式: (1)若 P()>0,P(A)
10、P(B)P(AB) ()若 P(A 1 2 A n-1 )>,则有 。 3、全概率公式:设事务互不相容,且,假如 , , 则对任一事务 A 有,i=1,2,n。 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( 2 2 1 1 n n B A P B P B A P B P B A P B P A P + + + = L 、 4、贝叶斯共公式:设事务,互不相容,且,假如 P(A),则 ,i=1,。 此公式即为贝叶斯公式、,(,),通常叫 B i 得先验概率。,(,),通常称为 B 得后验概率、 第五节 独立性 、两个事务得独立性:假如满意,则称事务、就是相互独立得,简称
11、 A 与 B 独立。否则称 A与 B 不独立或相依。 若事务、相互独立,且,则有 2、若事务、相互独立,则可得到与、与、与也都相互独立。 必定事务与不行能事务 Ø 与任何事务都相互独立。 Ø 与任何事务都互斥。 3、多个事务得独立性:设有个事务 A ,A ,A n ,假如对随意得 Ijk,以下等式均成立 则称此 n 个事务 A 1 , 2 ,A n 相互独立。 4、若 n 个事务相互独立,则其任一部分与另一部分也相互独立。特殊把其中部分换为对立事务后,所得诸事务亦相互独立。 5、试验得独立性:假照实验 E 1 得任一结果(事务)与试验 E 得任一结果(事务)都就是相
12、互独立得事务,则称这两个试验相互独立、 6、n 重独立重复试验:假如一个试验重复进行 n 次,并各次试验间相互独立,则称其为 n 次独立重复试验。假如一个试验只可能有两个结果:A 与,则称其为伯努利试验。假如一个伯努利试验重复进行次,并各次试验间相互独立,则称其为 n 重伯努利试验。 其次章 随机变量及其分布 第一节 随机变量及其分布 1、 随机变量:定义在样本空间Ω上得实值函数 X=X(ω)称为随机变量。 离散随机变量:仅取有限个或可列个值得随机变量 连续随机变量:取值充溢某个空间(a,b)得随机变量。这里 a 可为∞,b 可为∞。 、分布函数
13、:设 X 就是一个随机变量,对随意实数 x,称函数为 X 得分布函数,记为 XF(x)。分布函数具有如下三条基本性质: 单调性:F(x)就是单调非减函数,即对随意得 x <x 2 ,有 F(x 1 )F(x 2 ); 右连续性:(x)就是得右连续函数,即对随意得 0 ,有,即 F(x 0 )=F(x ); 有界性:对随意得 x,有 0≤F(x) ≤1,且 F(-∞)=,F(+∞)=1 可以证明:具有上述三条性质得函数 F(x)肯定就是某一个随机变量得分布函数。 假如将 X 瞧作数轴上随机点得坐标,那么分布函数 ()得值就表示 X 落在区间 内得概率 3
14、、离散型随机变量得概率分布列: 若离散型随机变量得可能取值为 n (=1,2,)则称取 x 得概率为 i =P( i= )P(X=x i ),i=1,2,则称上式为离散型随机变量得概率分布列,简称分布列。有时也用列表得形式给出: 。 分布列具有两条基本性质: 非负性;, (2)正则性:。 离散随机变量得分布函数,它就是有限级或可列有限级阶梯函数。离散随机变量 X 取值于区间(a,b 上得概率为 P(a<X≤b)=F()F(b)、常数 c 可瞧作仅取一个值得随机变量 X,即 P(=c)=1,它得分布常称为单点分布或退化分布。 、连续随机变量得概率密度函数: 记连续随机变量 X 得分布
15、函数就是 F(x),若存在非负可积函数 p(x),对随意实数 x,有,则称为连续型随机变量。p(x)称为得概率密度函数,简称密度函数。 密度函数 p(x)具有下面 2 个基本性质: 非负性:; 正则性:、 5、离散分布:分布在离散场合可以就是分布列或分布函数;连续分布:分布在连续场合可以就是密度函数或分布函数。存在既非离散又非连续得分布、 6、设随机变量 X 得分布函数 F(x),则可用 F()表示下列概率: (1)P(≤a) (a); ()P(Xa)= F(a-0); ()(Xa)1P(X≤a) 1F(a); (4) P(=a)= (X≤)- (<a)= F(a)-
16、F(0); () (X≥)=1 P(Xa)=1 F(0); (6) P(|<a)=P(-aX<a)= P(Xa)- (X≤-a) F(a)- F()。 其次节 随机变量得数学期望 1、 数学期望:设随机变量 X 得分布列 p(x i )或用密度函数 p(x)表示,若 , 则称 E(X) 为 X 得数学期望,简称期望或均值,且称 X 得数学期望存在。否则数学期望不存在。 数学期望就是有分布确定得,它就是分布得位置特征。假如两个随机变量同分布,则其数学期望(存在得话)就是相等得、期望相当于重心。 2、 数学期望得性质:假设数学期望存在, X 得某一函数 g(X)得数学期望为
17、 若为常数,则 E(C)=C 对随意常数 C,有(C)CE() 对随意得两个函数 g 1 (x)与 g 2 (x), 1 (x)±g 2 (x) = E 1 (x)±Eg 2 (x) E(Y)=(X)+E(Y), E(Y)E(X) (Y),充分条件:X 与独立; 充要条件:与不相关、 第三节 随机变量得方差与标准差 1、 方差:随机变量 X 对其期望 E(X)得偏差平方得数学期望(设其存在)ar()EX-E(X)2 称为 X 得方差,方差得正平方根 σ()=σX 称为得标准差。 方差就是由分布确定得,它就是分布得散布象征,方差越大,分布就越散
18、;方差越小,分布就越集中。标准差与方差得功能相像,只就是量纲不同。 2、 方差得性质:假设方差存在, Va(X)(X2 )-() 2 若 c 就是常数,则 Va(c)0 ar(aX)= a2 r(X) 若随机变量 X 得方差存在,则 Var(X)=得充要条件就是 X 几乎到处为某个常数a,即 P(Xa)1 若 X ,Y 相互独立,则 D ( X ± Y ) = ( X ) + D (Y ) 3、 切比雪夫不等式:设 X 得数学期望与方差都存在,则对随意常数 ε,有,或、切比雪夫不等式给出随机变量取值得大偏差(指事务|X-E(X) ≥ε)发生得
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