高考数学一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和教师用书文新人教A版.doc
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1、1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 5 5 章数列第章数列第 2 2 节等节等差数列及其前差数列及其前 n n 项和教师用书文新人教项和教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系1等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列用符号表示为an1and(nN*,d 为常数)(2)等差中
2、项:数列 a,A,b 成等差数列的充要条件是 A,其中 A 叫做 a,b 的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式:ana1(n1)d,anam(nm)d.(2)前 n 项和公式:Snna1.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:anam(nm)d(n,mN*)(2)若an为等差数列,且 klmn(k,l,m,nN*),则akalaman.(3)若an是等差数列,公差为 d,则a2n也是等差数列,公差为 2d.2 / 15(4)若an,bn是等差数列,则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列,公差为 d,则ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差为 md 的等差数列1(思考
3、辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ,错误的打“”)(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列( )(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*,都有2an1an an2.( )(3)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的( )(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数( )答案 (1) (2) (3) (4)2等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S36,a30,则公差d 等于( )A1 B1C2D2D D 依题意得依题意得 S3S33a23a26 6,即,即 a2a22 2,故,故 d da3a3a2a22 2,故
4、,故选选 D.D.3(2015全国卷)设 Sn 是等差数列an的前 n 项和,若a1a3a53,则 S5( )A5B7C9D11A A a1a1a3a3a5a53a33a33 3a3a31 1,S5S55a35a35.5.4(2016全国卷)已知等差数列an前 9 项的和为3 / 1527,a108,则 a100( )A100B99C98D97C C 法一:法一:anan是等差数列,设其公差为是等差数列,设其公差为 d d,S9(a1a9)9a527,a53.又a108,Error!a100a199d199198.故选 C.法二:an是等差数列,S9(a1a9)9a527,a53.在等差数列a
5、n中,a5,a10,a15,a100 成等差数列,且公差 da10a5835.故 a100a5(201)598.故选 C.5(教材改编)在 100 以内的正整数中有_个能被 6 整除的数16 由题意知,能被 6 整除的数构成一个等差数列an,则 a16,d6,得 an6(n1)66n.由 an6n100,即 n1616,则在 100 以内有 16 个能被 6 整除的数等差数列的基本运算(1)(2015全国卷)已知an是公差为 1 的等差数列,Sn 为an的前 n 项和,若 S84S4,则 a10( )A. B.19 2C10D12(2)(2017云南省二次统一检测)设等差数列an的前 n 项和
6、为Sn,S1122,a412,若 am30,则 m( )4 / 15A9B10C11D15(1)B (2)B (1)公差为 1,S88a118a128,S44a16.S84S4,8a1284(4a16),解得 a1,a10a19d9.(2)设等差数列an的公差为 d,依题意解得Error!ama1(m1)d7m4030,m10.规律方法 1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,知三求二,体现了方程思想的应用2数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法,称为基本量法变
7、式训练 1 (1)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且满足1,则数列an的公差是( )A.B1C2D3(2)设 Sn 为等差数列an的前 n 项和,a128,S99,则S16_. 【导学号:31222176】(1)C (2)72 (1)Sn,又1,得1,即 a3a22,数列an的公差为 2.(2)设等差数列an的首项为 a1,公差为 d,由已知,得解得Error!5 / 15S16163(1)72.等差数列的判定与证明已知数列an中,a1,an2(n2,nN*),数列bn满足 bn(nN*)(1)求证:数列bn是等差数列(2)求数列an中的通项公式 an.解 (1)证明:因为 an2(n
8、2,nN*),bn.所以 n2 时,bnbn11 an111.5 分又 b1,所以数列bn是以为首项,1 为公差的等差数列.7 分(2)由(1)知,bnn,9 分则 an11.12 分规律方法 1.判断等差数列的解答题,常用定义法和等差中项法,而通项公式法和前 n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断2用定义证明等差数列时,常采用两个式子 an1and 和anan1d,但它们的意义不同,后者必须加上“n2” ,否则n1 时,a0 无定义变式训练 2 (1)若an是公差为 1 的等差数列,则a2n12a2n是( ) 【导学号:31222177】A公差为 3 的等差数列B公差为 4 的等
9、差数列6 / 15C公差为 6 的等差数列D公差为 9 的等差数列(2)在数列an中,若 a11,a2,(nN*),则该数列的通项为( )Aan1 nBan2 n1Can2 n2Dan3 nA A 由已知式可得,知是首项为由已知式可得,知是首项为1 1,公差为,公差为2 21 11 1 的等差数列,所以的等差数列,所以n n,即,即 anan.(1)C (2)480 (1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)2226,a2n12a2n是公差为 6 的等差数列(2)由已知 SnSn12 可得,2,所以是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,故2n1,Sn
10、(2n1)2,所以a61S61S6012121192480.等差数列的性质与最值(1)(2017东北三省四市一联)如图 521 所示的数阵中,每行、每列的三个数均成等差数列,如果数阵中所有数之和等于63,那么 a52( )图 521A2 B8C7D47 / 15(2)等差数列an中,设 Sn 为其前 n 项和,且a10,S3S11,则当 n 为多少时,Sn 取得最大值(1)C 法一:第一行三数成等差数列,由等差中项的性质有a41a42a433a42,同理第二行也有 a51a52a533a52,第三行也有 a61a62a633a62,又每列也成等差数列,所以对于第二列,有 a42a52a623a
11、52,所以a41a42a43a51a52a53a61a62a633a423a523a6233a5263,所以 a527,故选 C.法二:由于每行每列都成等差数列,不妨取特殊情况,即这 9个数均相同,显然满足题意,所以有 6397,即 a527,故选 C.(2)法一:由 S3S11,可得 3a1d11a1d,4 分即 da1.7 分从而 Snn2n(n7)2a1,因为 a10,所以0,S3S11 可知 d0,a80,d0 时,满足的项数 m 使得 Sn 取得最小值为 Sm.变式训练 3 (1)在等差数列an中,a3a927a6,Sn 表示数列an的前 n 项和,则 S11( )A18B99C19
12、8D297(2)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S510,S1030,则S15( )A60B70C90D40A A 因为数列因为数列anan为等差数列,所以为等差数列,所以 S5S5,S10S10S5S5,S15S15S10S10也成等差数列,设也成等差数列,设 S15S15x x,则,则 10,2010,20,x x3030 成等差数列,所以成等差数列,所以2202201010(x(x30)30),所以,所以 x x6060,即,即 S15S1560.60.(1)B (2)20 (1)因为 a3a927a6,2a6a3a9,所以3a627,所以 a69,所以 S11(a1a11)1
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