2019九年级数学上册 专题突破讲练 与圆有关的线段试题 (新版)青岛版.doc
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1、1与圆有关的线段与圆有关的线段在圆中的线段主要有以下几种:半径、直径、弦,弦心距还有切线长。求圆中线段的 长是中考的一个重要考点,在选择题、填空题、解答题、探索题都会出现。因此,这部分 内容在中考中占举足轻重的地位。 垂径定理、勾股定理是解决圆中线段问题的重要工具,也是比较常用的定理,有时候 也需要以下定理:圆心角定理、圆周角定理、切线的判定(性质)定理、切线长定理、等 腰三角形的性质定理,在有些探索类型的题目中还有可能用到相交弦定理、切割定理等。 (1)垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。符号语言:符号语言:AB 是O 的直径
2、,CD 是弦,且 ABCD,PC=PD,=,=BCBDAC 。AD (2)圆心角、弧、弦之间的关系: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。的其余各组量都分别相等。 (3)勾股定理: 在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。例题例题 1 1 (温州市中考)如图,AB 为O 的直径,点 C 在O 上,延长 BC 至点 D,使 DC=CB。延长 DA 与O 的另一个交点为 E,连结 AC、CE。 (1)求
3、证:B=D; (2)若 AB=4,BCAC=2,求 CE 的长。2解析:解析:要求 CE 长,可通过证明 CE=AB,转化为求 AB 长,结合E=B 及等腰三角形的 性质、勾股定理,可解决问题。 答案:答案:解:(1)证明:AB 为O 的直径,ACB=90, ACBC;DC=CB,AD=AB,B=D。 (2)设 BC=x,则 AC=x2。在 RtABC 中,AC2+BC2=AB2,(x2)2+x2=4,解得(舍去) ,B=E,B=D,D=E,CD=CE,71,7121xxCD=CBCE=CB=1+。7点拨:点拨:本题综合考查了圆周角、垂直平分线、等腰三角形、直角三角形的性质,解题 的关键是正确
4、理解和应用有关定理。与圆周角有关的问题,需要灵活运用同弧或等弧所对 的圆周角相等、同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半 ,直径所对的圆周角是直角等 知识点,由于图形中的角比较多,解题时要仔细观察图形特点。例题例题 2 2 如图,AB 是O 的直径,BC 是弦,ODBC 于 E,交 BC 于 D若 BC=8,ED2,求O 的半径EOBACD解析:解析:根据垂径定理可以知道线段 EB 的长,设出圆的半径,然后用半径表示出 OE, 这样就可以在 Rt 直角三角形 OEB 中,根据勾股定理,就可以求出圆的半径 解:因为,ODBC, 所以,BECE=BC=4 设O 的半径为 R,则 OE=OD-DE=
5、R-1 2 2在 RtOEB 中,由勾股定理得 OE2BE2=OB2,即(R-2)242=R2解得 R5,O 的半 径为 5 点拨:点拨:在求圆的半径时,关键是利用垂径定理构造直角三角形,然后设半径根据勾股定理列出方程,解得答案如何解决圆中的线段问题如何解决圆中的线段问题 圆中的线段包括:半径、直径、弦、切线。求这些线段长是这部分的主要题型,综合 利用圆中性质定理、勾股定理、等腰三角形的性质定理是解题的关键所在。在解题的过程3中,你能否掌握其中的技巧吗? 满分训练满分训练 (湛江中考)如图,已知AB是O的直径,P为O外一点,且 OPBC,PBAC。 (1)求证:PA为O的切线;(2)若OB=5
6、,OP=,求AC的长。25 3COABP解析:解析:(1)设法证出OAP=90即可;(2)利用垂径定理,勾股定理及面积法可求 AC 的长。 答案:答案:解:(1)设 AC 与 OP 相交于点 H。AB 是直径,ACBC,BAC+B=90, OPBC,OPAC,AOB=BP=BACP+AOP=90,于是OAB=90, PA 为O 的切线。 (2)OPAC,AC=2AH,在直角三角形 PAO 中,AP=22222520()533OPOA由面积法可知:,所以AC=8。2053425 3OAAPAHOP点拨:点拨:本题考查了圆的切线的证明以及有关圆的计算,掌握圆的切线的证法以及圆中 基本的计算方式是解
7、题的关键。求线段的长度有以下常用的方法: (1)用勾股定理,适用于已知两边的直角三角形中; (2)用相似三角形,适用于有相似三角形的图形中; (3)面积法,适用于有直角三角形中有高的存在的图形。(答题时间:(答题时间:3030 分钟)分钟)1. 如图,内接于O,则O 的半径为( )ABC30C2AB A. B. C. D. 322 342. 若正方形的边长为 6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )4A. 6, B. ,3 C. 6,3 D. ,3 23 26 23 2 3. 如图,O 的直径 AB=12,CD 是O 的弦,CDAB,垂足为 P,且 BPAP=15,则 CD 的长为(
8、)A. B. C. D. 242852544. 如图,AB 是O 的弦,点 C 是弦 AB 上一点,且 BCCA21,连结 OC 并延长交O 于 D,又 DC2 厘米,OC3 厘米,则圆心 O 到 AB 的距离为( )A. 厘米 B. 厘米 C. 2 厘米 D. 3 厘米67COABD5. 如图O 中,半径 OD弦 AB 于点 C,连结 AO 并延长交O 于点 E,连结 EC,若 AB=8,CD=2,则 EC 的长度为( )A. B. 8 C. D. 521021326. 如图,AB 是O 的直径,C 是O 上一点,AB=10,AC=6,ODBC,垂足为 D,则 BD 的长为( )A. 2 B
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