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1、【精品文档】如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流第三讲向量组.精品文档.第三讲 向量组向量作为工具可以描述空间中的点、矩阵中的行或列、线性方程组中的方程等等。研究向量的线性运算加法与数乘、向量组线性相关性、向量组的秩矩阵秩与最大无关组、等价向量组等概念可以解决线性方程组的理论。向量组是线性代数的重难点之一,概念多,内容抽象,推理逻辑性强,描述要求准确,与矩阵、方程组相互交织,可以相互转换。例如,向量组秩、最大无关组是线性方程组解的判定、结构定理的理论基础;向量组的秩和相应矩阵秩一致,是向量组与矩阵结合点,反映了向量组和矩阵的本质。向量组主要分三大部分:线性表示与线性相关性:向量的线性组合和
2、线性表示;向量组的线性表示与等价向量组;向量组的线性相关性;向量组的秩:向量组的最大无关组与秩的概念、性质及求法,向量组秩与矩阵秩关系;秩与线性相关性的关系;向量空间:向量空间及其基、维数;向量在基下的坐标;两基间的过渡矩阵;基的规范正交化:正交阵及其性质。教材:第四,第五章第1节。一、主要内容1、向量及其线性运算-概念- (1)n个数组成的有序数组称为n维向量;写成一行的称为行向量,写成一列的称为列向量;若干个同维行(列)向量的集合称为向量组;(2)设有向量实数,则下列运算称为向量的线性运算;(3)设有向量组和向量,若存在常数,使得有则称向量是向量组的线性组合向量可以由向量组的线性表示;(4
3、)设有两个同维向量组,若中每个向量均可由向量组线性表示,则称为向量组可由向量组线性表示;若向量组与向量组可相互线性表示,则称向量组与向量组为等价向量组。注意:等价矩阵初等变换,等价向量组线性表示,等价方程组同解.-转化- (1)向量组与矩阵:mn矩阵与其行(列)向量组一一对应:(2)线性表示与线性方程组:列向量可由矩阵的列向量组线性表示有解。 注意:行向量一般转化为列向量来处理,即所谓的“列摆行变换”。(3)矩阵的列向量组可由矩阵的列向量组线性表示存在数字矩阵,使有;矩阵的行向量组可由矩阵的行向量组线性表示存在数字矩阵,使有。以书写二阶为例,规律记为“左行右列”。2、向量组的线性相关性、最大无
4、关组、秩-概念-(1)设有向量组,如果存在一组不全为零的数,使则称线性相关;否则,称之为线性无关;(2)如果在向量组中能选出个向量满足:()线性无关;()中任意个向量(如果有的话)均线性相关中任意向量均可由线性表示,则称为向量组的一个最大无关组;的最大无关组所含向量的个数称为向量组A的秩,记为。-转化-(1)设,则列向量线性相关无关有非零解只有零解;注意:向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换。由此可知:当向量个数大于向量维数时,向量组必线性相关。当未知量个数大于方程个数时,线性齐次方程必有非零解。4、线性无关向量组的正交化-概念-(1)设有n维列向量,则称数为向量与的内积。内积具有下
5、列性质:、对称性:;、线性性:;、非负性:。(2)对n维列向量,称非负数为向量的模。模为1的向量称为单位向量;模为0的向量称为零向量。对非零向量,单位化得单位向量。(3)与正交;两两正交的非零向量组称为正交向量组,即为正交向量组 注意:正交向量组是线性无关向量组,反之不然。两两正交的单位向量组称为标准正交向量组,即为规范正交向量组以正交向量组作为空间的基称为正交基;以规范正交向量组作为空间的基称为标准正交基。注意:向量由基线性表示为:;由正交基线性表示为:;由标准正交基线性表示为:。可见,向量在标准正交基下的坐标不需要解方程组,只需计算内积就可求得。(4)方阵为正交阵的行列向量组均为n维向量空
6、间的标准正交基。以正交阵为线性变换矩阵的线性变换称为正交变换。正交阵具有下列性质:、为正交阵均为正交阵;、A为正交阵|A|=;、正交阵的积为正交阵。-方法-施密特正交化设为线性无关向量组基,则可采用下列方法进行规范正交化:、正交化:取;则为两两正交向量组正交基,且与等价;、单位化:取,则为规范正交向量组规范正交基,且与等价。二、常考知识点1、线性表示、线性非齐次方程组、矩阵秩的转换大题常考知识点列向量可由矩阵的列向量组(唯一/不唯一)线性表示有(唯一/无穷多)解;列向量不可由矩阵的列向量组线性表示无解。由此,可得判定两矩阵列(行)向量组线性表示:的列向量组可由的列向量组线性表示有解;的列向量组
7、不可由的列向量组线性表示无解;与的列向量组等价均有解。注意:行向量一般转化为列向量来处理,即所谓的“列摆行变换”。2、向量组线性相关性、线性齐次方程组、矩阵秩的转换设,则列向量线性相关无关有非零解只有零解列满秩非列满秩。由此可知:当向量个数大于向量维数时,向量组必线性相关。当未知量个数大于方程个数时,线性齐次方程必有非零解。内涵丰富:向量组线性无关(相关)=线性齐次方程组只有零解(有非零解)=系数矩阵列满秩(不是列满秩)。例如,若,则的列向量线性相关。 3、判定向量组线性相关性的重要结论 线性相关中“至少有一个”可由其余向量线性表示;线性无关中“任意一个均不能”由其余向量线性表示;线性无关,线
8、性相关可由唯一线性表示有唯一解;部分相关全体相关,反之不然;等价说法:全体无关部分无关,反之不然;向量组无关“加长”向量组无关,反之不然;等价说法:向量组相关“缩短”向量组相关,反之不然;n个n维向量线性无关;线性相关;两个向量线性相关无关对应分量成比例不成比例;在三维空间中,线性相关共面; n+1个n维向量必线性相关。4、向量组秩、矩阵秩的关系及重要结论:矩阵秩=行向量组的秩=列向量组秩=最高阶非零子式的阶数=行阶梯形中非零行向量的个数=等价标准形左上角单位阵的阶数;秩的重要公式 若向量组A可由向量组B线性表示,则。 等价说法:线性无关向量组不能由个数比它少的向量组线性表示。初等行变换保持行
9、向量组的等价性方程组同解,保持列向量组的线性相关性线性表示,最大无关组,秩。(4)矩阵行列向量组线性表示:P.99矩阵的列向量组可由矩阵的列向量组线性表示存在数字矩阵,使有;矩阵的行向量组可由矩阵的行向量组线性表示存在数字矩阵,使有。以书写二阶为例,规律记为“左行右列”。特别的,的列向量组可由的列向量组线性表示的行向量组可由的行向量组线性表示的解必为的解三、典型例题与方法题型1 线性表示、线性相关性及其判定【例1】填空题(5小题)(1)已知可由线性表示,则 。(2)已知为的一个基,则向量在这个基下的坐标是 。(3)已知线性相关,则 。(4)已知3维向量空间的两个基为则由基()到基()的过渡矩阵
10、 。矩阵列向量组的线性表示 (5)设中的向量在基下的坐标为,在基下的坐标为,且则由到的过渡矩阵 。【例2】选择题(8小题)(1)设是矩阵的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则线性无关的充分必要条件是( )。(A) (B) (C) (D)(2)n维向量线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数使;(B)中任意两个向量都线性无关;(C)中存在一个向量,它不能由其余向量线性表示;(D)中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。(3)设线性方程组只有零解,则下列正确的是( )。(A)A的行向量组线性无关;(B)A的行向量组线性相关;(C)A的列向量组线性无关;(D)A的列向量组线性相关。(4)
11、已知线性无关,则命题正确的是( )。(A)线性无关;(B)线性无关;(C)线性无关;(D)线性无关。定理 设,证明。列行满秩阵左右乘矩阵,秩不变。(5)设有任意两个n维向量组和,若存在两组不全为零的数和,使有,(*)则 (A)和均线性相关;(B)和均线性无关;(C)线性无关;(D)线性相关。(6)若向量组线性无关,向量组线性相关,则(A)可由线性表示; (B)不可由线性表示;(C)可由线性表示; (D)必不可由线性表示。(7)设n维列向量组线性无关,则n维列向量组线性无关的充要条件是(A)向量组可由向量组线性表示;(B)向量组可由向量组线性表示;(C)向量组与向量组等价;(D)矩阵与矩阵等价。
12、(8)设向量可由线性表示,但不能由(I)线性表示,记(II),则(A)不能由(I)线性表示,也不能由(II)线性表示;(B)不能由(I)线性表示,但可由(II)线性表示;(C)可由(I)线性表示,也可由(II)线性表示;(D)可由(I)线性表示,但不能由(II)线性表示。-【例3】已知线性无关,证明线性无关。【例4】设向量组(I)线性相关,向量组(II)线性无关。(1)能否由线性表示?为什么?(2)能否由线性表示?为什么?【例5】设列向量组(I)线性无关,列向量组(II)可由(I)线性表示,即记为。证明:向量组(II)无关。 题型2 秩、最大无关组的求法1、矩阵的秩=最高阶非零子式的阶数=行列
13、向量组的秩=行阶梯形中非零行向量的个数“列摆行变换”;2、矩阵最高阶非零子式所在的行列就是其行列向量组的一个最大无关组 求最大无关组,确定保留未知量和自由未知量;3、初等行变换保持行向量组的等价性,保持列向量组或其对应部分线性相关性 解方程组,求最大无关组,向量用最大无关组线性表示。【例1】填空题(3小题)(1)设,其中,则矩阵A的秩 。(2)已知向量组的秩为2,则 。 (3)已知向量组所生成的向量空间的维数为2,则 。(4)设有向量组(I);(II);(III),且,则 。【例2】选择题(2小题)(1)向量组的最大无关组是( )(A) (B) (C) (D)(2)已知n(n3)阶方阵秩为,则
14、( )。 (A) (B) (C) (D)。【例3】求向量组的秩和一个最大无关组。【例4】已知向量组,求其秩、一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示。【例5】含参数向量设向量组,(1)当为何值时,该向量组线性无关?并在此时将用线性表示; (2)当为何值时,该向量组线性相关?并在此时求它的秩和一个最大无关组。题型3 有关向量组秩与线性表示关系的证明【例1】确定常数,使向量组可由向量组线性表示,但向量组不能由线性表示。【例2】设向量组(I)的秩为,证明向量组(II)的秩仍为的充要条件是可由(I)线性表示。【例3】设向量组(I)与向量组(II)的秩相同,且向量组(I)可由向量组(II)线性表
15、示,证明:(I)(II)为等价向量组。和秩的关系问题。【例4】设向量组的秩为,证明在中任意取个向量所构成的向量组的秩。【例5】设B是秩为2的54矩阵,向量均为的解向量,求的解空间的一个规范正交基。附录:讨论向量组线性相关性的方法:定义法利用线性相关性概念和有关重要性质、定理等;方程组法转化为线性齐次方程组求解:非零解,相关;只有零解,无关。矩阵秩法利用“秩”和向量“个数”关系判定:秩小于个数,相关;秩等于个数,无关。此外,初等变换不改变矩阵秩。列行满秩矩阵左右乘矩阵不改变矩阵的秩。行列式法判定n个n维向量:行列式为零,相关;行列式非零,无关。线性无关向量组本身就是其最大无关组;向量组的最大无关组一般不唯一,但秩是唯一的;向量组与其最大无关组等价;等价向量组等秩,反之不然;矩阵秩=行向量组的秩=列向量组秩最大无关组与秩的求法:利用定义;利用初等行变换;利用秩的重要公式:1) ,等。向量组与向量空间的联系与区别向量组最大无关组秩向量组中任意向量均可由最大无关组线性表示,但最大无关组的线性组合不一定在向量组中; 求出一个最大无关组不能确定整个向量组;向量空间基维数向量空间中任意向量均可由基线性表示,且基的任意线性组合也一定在向量空间中;求出一个基能确定向量空间(结构)。
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