九年级数学上册专题突破讲练相似三角形的性质试题新版青岛版.doc
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1、相似三角形的性质相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等;2. 相似三角形的对应边成比例;3. 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长的比等于相似比。方法归纳:或技巧归纳当你发现问题中出现以下情况时,很可能是借助相似来解决: 比或比例;例如:平行四边形ABCD中,E在DC上,假设DE:EC=1:2,那么BF:EF=_解析:此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质由题可知ABFCEF,然后根据相似比求解答案:3:2 解:DE:EC=1:2;EC:CD=2:3即EC:AB=2:3,ABCD,ABFCEF,BF:EF=AB:EC=3:2 线段的积;例如:四边形中,AC平分DAB,A
2、DC=ACB=90,求证:解析:由AC平分DAB,ADC=ACB=90,可证得ADCACB,然后由相似三角形的对应边成比例,证得AC2=ABAD;证明:AC平分DAB,DAC=CAB,ADC=ACB=90,ADCACB,AD:AC=AC:AB,AC2=ABAD;边或角所在三角形与的边或角所在三角形不全等。例如:如图,在RtABC中,ACB=90,AB=5,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,那么CE的长为_解析:此题主要考查直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及相似三角形性质的应用及方程的数学思想解决此题需要我们利用线段的垂直平分线的性质和三角形相似进行计算答案: 解:ACB=
3、90,AB=5,AC=4,根据勾股定理得:BC=3,而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,BD=,BDE=90,又B=B,ACBEDB,BC:BD=AB:BE,又BC=3,AB=5,BE=,从而得到CE=BEBC=总结:1. 掌握相似三角形的性质;2. 能利用相似三角形的性质求角的度数或线段的长度、线段之间的关系等。例题1 如图,在RtABC中,C90,翻折C,使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF点E、F分别在边AC、BC上。假设CEF与ABC相似。1当ACBC2时,求AD的长;2当AC3,BC4时,求AD的长。解析:假设CEF与ABC相似。1当ACBC2时,ABC为等腰直角三角形
4、;2当AC3,BC4时,分两种情况:I假设CE:CF3:4,如答图2所示,此时EFAB,CD为AB边上的高;II假设CF:CE3:4,如答图3所示。由相似三角形角之间的关系,可以推出AECD与BFCD,从而得到CDADBD,即D点为AB的中点。答案:假设CEF与ABC相似。1当ACBC2时,ABC为等腰直角三角形,如答图1所示。此时D为AB边中点,2AD2AC2,ADAC。2当AC3,BC4时,有两种情况:I假设CE:CF3:4,如答图2所示。CE:CFAC:BC,EFBC。由折叠性质可知,CDEF,CDAB,即此时CD为AB边上的高。在RtABC中,AC3,BC4,AB5。ADCACB90且
5、AA,ACDABC,即,AD;II假设CF:CE3:4,如答图3所示。CFECAB,CEFB。由折叠性质可知,CEFECD90,又AB90,AECD,ADCD。同理可得:BFCD,CDBD,此时ADAB。综上所述,当AC3,BC4时,AD的长为或。点拨:此题是几何综合题,考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质。第2问需要分两种情况分别计算,此处容易漏解,需要引起注意。利用相似三角形的性质求线段的长度是一类常见问题,常常综合考查勾股定理、等腰三角形、四边形等知识,特别是在中考试题中经常以压轴题的形式出现,有时难度较大。解答这类问题时通常利用相似三角形对应边成比例或勾股定理等列方程,用代数
6、方法求线段的长度。总分值训练 如图,直角三角形ABC中,ACB90,AB10,BC6,在线段AB上取一点D,作DFAB交AC于点F。现将ADF沿DF折叠,使点A落在线段DB上,对应点记为A1;AD的中点E的对应点记为E1。假设E1FA1E1BF,那么AD_。解析:ACB90,AB10,BC6,AC8,设AD2x,点E为AD的中点,将ADF沿DF折叠,点A对应点记为A1,点E的对应点为E1,AEDEDE1A1E1x,DFAB,ACB90,AA,ABCAFD,AD:ACDF:BC,即2x:8DF:6,解得DF1.5x,在RtDE1F中,E1F2DF2DE123.25x2,又BE1ABAE1103x
7、,E1FA1E1BF,E1FA1E1BE1E1F,E1F2A1E1BE1,即3.25x2x103x,解得x1.6,AD的长为21.63.2。答案:3.2点拨:此题是一道综合性难题,主要考查轴对称变换、折叠、勾股定理、相似三角形的对应边成比例。利用勾股定理列式求出AC,设AD2x,得到AEDEDE1A1E1x,然后求出BE1,再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF,然后利用勾股定理列式求出E1F,然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值,从而得出AD的值。答题时间:30分钟一、选择题1. 如图,ABC中,DEBC,DE1,AD2,DB3,那么BC的长是 A. B. C. D. *2.
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