2020年高考数学《用函数的图像探究函数的性质》专项训练及答案解析.doc
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1、用函数的图像探究函数的性质一、基础检测1、(2018南京、盐城一模)设函数f(x)是偶函数,当x0时,f(x)若函数yf(x)m有四个不同的零点,则实数m的取值范围是_ 【答案】 【解析】先画出x0时的函数图像,再利用偶函数的对称性得到xb0,且f(a)f(b),则a2b的最大值是_【答案】16【解析】作出函数f(x)图像,如下图:则0ba,由f (a)f (b),所以|a26|b26|,则a266b2,所以a212b2,则b(12b2)b,设函数g(b)(12b2)bb312b(0b0,g(b)递增,当b(2,)时,g(b)0,g(b)递减,所以g(b) 的最大值为16,则a2b的最大值是1
2、6. 处理双元变量的最值问题,常用消元法,转化为单元变量的函数来处理,特别注意的是,要注意写准函数的定义域3、(2019泰州期末)已知函数f(x)若存在x00,使得f(x0)0,则实数a的取值范围是_ 【答案】 1,0) 本题是一个分段函数的形式,有以下两种处理的思路:思路1.对两段函数分别研究图像和性质,由于研究的是x0的情形,故分a0和a0两种情况讨论,当a0时,结论易得;当a0时,由于xa时,f(x)单调递增,而f(a)a3a,故要对f(a)a3a的正负分三种情况讨论,最后总结,问题得以解决思路2.考虑能否合并成一个含绝对值的函数,本题f(x)x33|xa|a,从而问题转化为yx3和y3
3、|xa|a的图像在y轴左侧有交点的问题,通过函数的图像,不难得到结论解法1(分类讨论法) 当a0时,只考虑x0,f(x)在(,a)上单调递增,而f(0)4a0,显然不存在x00,使得f(x0)0,所以a0不成立当a0时,当xa时,f(x)在(,a)上单调递增,且f(x)0,即1a0时,则必存在x0a,使得f(x0)0,结论成立;当a1时,f(1)0,结论成立;当a1时,f(x)在 a,1)上单调递增,在(1,0)上递减,而f(1)2a20,结论不成立综上实数a的取值范围是1,0)解法2(图像法) 函数f(x)x33|xa|a,由题意可得yx3与y3|xa|a在y轴左侧有交点y3|xa|a的顶点
4、为(a,a),在直线yx上,由解得x1.又yx3在x1处的切线率斜恰为3,画出图像如图所示,数形结合知a1,0) 本题解法1属于常规思路,解法2对函数式的化简和变形提出了很高的要求,其中y3|xa|a是折线函数,是由y3|x|图像在yx上滑动所形成的图形,对于此类题型,同学要多总结,多积累,才能灵活应用4、(2018扬州期末) 已知函数f(x)若存在实数k使得该函数的值域为2,0,则实数a的取值范围是_【答案】 【解析】根据函数f(x)的解析式作出草图如图,当x1,k时,f(x)log(x1)1,它在1,1)上是单调递增的,且f(1)2,f0,因为该函数在1,a上的值域为2,0,所以必须有1k
5、;当x(k,a时,f(x)2|x1|,在(,1上单调递增,在1,)上单调递减,且f(0)f(2)2,f(1)0,因为函数的值域为2,0,所以必须有0ka2.综合,要求存在实数k使得该函数的值域为2,0,则必须0k1)相切,设切点(x0,lnx0),则切线斜率为k,又k,则,解得x0e3,此时k,当k0时,当ykx2与曲线y相切于点(0,2)时,函数yf(x)和ykx2的图像只有三个公共点,不符合题意,此时k1,当1k0时,函数yf(x)和ykx2的图像只有三个公共点,不符合题意,当直线ykx2与yf(x)(0x1)相切时,两图像只有三个公共点,设切点(x0,lnx0),则切线的斜率k,又k,则
6、,解得x0e1,此时ke不符合题意,当ke时,两图像只有两个公共点,不合题意,而当ek0时,令f(x)ex0,解得xln20,此时函数f(x)有1个零点,因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点,则当x0时,f(x)x33mx2有2个不同的零点,因为f(x)3x23m,令f(x)0,则x2m0,若m0,则函数f(x)为增函数,不合题意,故m0,所以函数f(x)在(,)上为增函数,在(,0上为减函数,即f(x)maxf()m3m22m2,f(0)20,即m1,故实数m的取值范围是(1,)解法2(分离参数) 当x0时,令f(x)ex0,解得xln20,此时函数f(x)有1个零点,因为要求函数f(
7、x)在R上有3个不同的零点,则当x0时,f(x)x33mx2有2个不同的零点,即x33mx20,显然x0不是它的根,所以3mx2,令yx2(x0),则y2x,当x(,1)时,y0,此时函数单调递增,故ymin3,因此,要使f(x)x33mx2在(,0)上有两个不同的零点,则需3m3,即m1.二、拓展延伸题型一、运用函数图像解决多元问题知识点拨:解决多元问题的最值问题主要思想就是把多元问题转化为单元问题,要通过函数的图像找到各个参数的关系,但要注意参数的范围。例1、(2018苏锡常镇调研(二) 已知函数若存在实数,满足,则的最大值是 【答案】 思路点拨:根据函数解析式,可以结合函数的图象得出,的
8、关系,利用消元思想将问题转化为一元函数问题,进而利用导数知识解决.解题过程:作函数的图象如下:根据题意,结合图象可得,且所以令,则,易得在上递增,又因为,根据零点存在性定理可得存在唯一,使得,从而函数的减区间是,增区间是,又因为,则所以在上的最大值是 解后反思:本题以分段函数为背景,考查了导数知识在解决函数综合问题中的应用,以及数形结合,化归与转化等重要数学思想.【变式1】、(2017常州期末)已知函数,若存在实数、,满足 ,其中,则的取值范围是 .【答案】思路点拨:由存在实数、,满足得,存在一条平行于轴的直线与函数的图象有四个不同的交点,从而得到之间所存在的关系,利用这一关系来求得的取值范围
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