2022年江苏高考数学试卷及答案 .pdf
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1、普通高校招生统一考试江苏卷( 数学 )1.( )cos()6f xwx的最小正周期为5,其中0w,则w。【解析】 本小题考查三角函数的周期公式。2105Tww。答案 102.一个骰子连续投2 次,点数和为4 的概率为。【解析】 本小题考查古典概型。基本事件共66个,点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个,故316612P。答案1123.11ii表示为abi ( ,)a bR,则ab= 。【解析】 本小题考查复数的除法运算,1,0,11iiabi,因此ab=1。答案 14.2(1)37 ,Axxx则AZ的元素个数为。【解析】 本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由2(1
2、)37xx得2580 xx因为0,所以A,因此AZ,元素的个数为0。答案 05.,a b的夹角为0120,1,3ab,则5ab。【解析】 本小题考查向量的线形运算。因为131 3()22a b,所以22225(5)2510abababa b=49。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 31 页因此5ab7。答案 76.在平面直角坐标系xoy中, 设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域,向D 中随意投一点,则落入E 中的概率为。【解析】 本小题考查古典概型。如图:区域
3、D 表示边长为4 的正方形 ABCD 的内部(含边界) ,区域 E 表示单位圆及其内部,因此214416P。答案167.某地区为了解7080 岁老人的日平均睡眠时间(单位:h) ,随机选择了50 位老人进行调查。下表是这50 位老人日睡眠时间的频率分布表。序号(i)分组(睡眠时间)组中值(iG)频数(人数)频率(iF)1 4,5) 4.5 6 0.12 2 5,6) 5.5 10 0.20 3 6,7) 6.5 20 0.40 4 7,8) 7.5 10 0.20 5 8,9) 8.5 4 0.08 在上述统计数据的分析中,一部分计算算法流程图,则输出的S 的值是。【解析】 本小题考查统计与算
4、法知识。答案 6.428.直线12yxb是曲线ln(0)yx x的一条切线,则实数b。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 31 页【解析】 本小题考查导数的几何意义、切线的求法。1yx,令112x得2x,故切点为(2,ln 2),代入直线方程,得1ln 222b,所以ln 21b。答案ln 21b9.在平面直角坐标系中,设三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),( ,0),( ,0)AaB bC c,点(0,)Pp在线段 OA 上(异于端点) ,设, , ,a b c p均为非零实数,直线,BP CP分别交,AC AB于点
5、E,F,一同学已正确算出OE的方程:11110 xybcpa,请你求OF 的方程:。【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图,由对称性可猜想1111()()0 xycbpa。事实上,由截距式可得直线:1xyABab,直线:1xyCDcp,两式相减得1111()()0 xycbpa, 显然直线AB 与 CP 的交点 F 满足此方程, 又原点 O 也满足此方程,故为所求的直线OF 的方程。答案1111()()0 xycbpa。10.将全体正整数排成一个三角形数阵:12345678910按照以上排列的规律,第n行(3)n从左向右的第3 个数为。【解析】 本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前1n行
6、共用了123(1)n(1)2nn个数,因此第n行(3)n从左向右的第3 个数是全体正整数中的第(1)32nn个,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 31 页即为262nn。答案262nn11.2, ,230,yx y zRxyzxz的最小值为。【解析】 本小题考查二元基本不等式的运用。由230 xyz得32xzy,代入2yxz得229666344xzxzxzxzxzxz,当且仅当3xz时取“ =” 。答案 3。12.在平面直角坐标系中,椭圆22221(0)xyabab的焦距为2,以 O 为圆心,a为半径的圆,过点2(,0)a
7、c作圆的两切线互相垂直,则离心率e= 。【解析】 本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图,切线,PA PB互相垂直,又OAPA,所以OAP是等腰直角三角形,故22aac,解得22cea。答案2213.若2,2ABACBC,则ABCS的最大值。【解析】 本小题考查三角形面积公式及函数思想。因为 AB=2 (定长),可以以AB 所在的直线为x轴,其中垂线为y轴建立直角坐标系,则( 1,0),(1,0)AB,设( , )C x y,由2ACBC可得2222(1)2(1)xyxy,化简得22(3)8xy,即 C 在以( 3,0)为圆心,2 2为半径的圆上运动。又12 22ABCccSAB
8、yy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 31 页答案2 214.3( )31f xaxx对于1,1x总有( )0f x成立,则a= 。【解析】 本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使( )0f x恒成立,只要min( )0f x在1,1x上恒成立。22( )333(1)fxaxax01当0a时,( )31f xx,所以min( )20f x,不符合题意,舍去。02当0a时22( )333(1)0fxaxax,即( )fx单调递减,min( )(1)202f xfaa,舍去。03当0a时1
9、( )0fxxa 若111aa时( )f x在11,a和1,1a上单调递增,在11,aa上单调递减。所以min1( )min( 1),()f xffa( 1)400411()120faafaa 当111aa时( )f x在1,1x上单调递减,min( )(1)202f xfaa,不符合题意,舍去。综上可知a=4.答案 4。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 31 页15.如图,在平面直角坐标系xoy中,以ox轴为始边做两个锐角,,它们的终边分别与单位圆相交于A, B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为2 2 5,105。(1
10、)求tan()的值;(2) 求2的值。【解析】 本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得22 5cos,cos105,为锐角,故72sin0sin10且。同理可得5sin5,因此1tan7,tan2。(1)17tantan2tan()11tantan1 72=-3。(2)132tan(2 )tan()11( 3)2=-1,0,0,223022,从而324。16在四面体ABCD 中, CB=CD ,ADBD,且 E,F 分别是 AB,BD 的中点,求证( I)直线EFD面AC;(II)EFCD面面BC。证明:(I) E, F 分别为 AB , BD 的中点EFADDEF
11、CAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 31 页EFADADACDEFACDEFACD面面面。(II )EFADEFBDADBDCDCBCFBDBDEFCFBDEFCFF面为的中点又BDBCD面,所以EFCD面面BC17某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点 A,B,及 CD 的中点 P 处,已知20ABkm, 10CDkm,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且 A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的总长为ykm。(I)按下列要求写出
12、函数关系式:设()BAOrad, 将y表示成的函数关系式;设()OPx km,将y表示成x的函数关系式。(II )请你选用( I)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排水管道总长度最短。【解析】 本小题考查函数最值的应用。(I)由条件可知PQ垂直平分AB ,()BAOrad,则10AQOACOSBAOCOS故10OBCOS,又1010tanOP,所以10101010tanyOAOBOPCOSCOS2010sin10(0)cos4。()OPx km, 则10OQx, 所以222(10)1020200OAOBxxx,所以所求的函数关系式为2220200(010)yxxxx。精选学习资料
13、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 31 页(I )选择函数模型。22210cos(2010sin)(sin)10(2sin1)coscosy。令0y得1sin2,又04,所以6。当06时,0y,y是的减函数;64时,0y,y是的增函数。所以当6时min10 3 10y。 当 P 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 边10 33km处。18.设平面直角坐标系xoy中,设二次函数2( )2()f xxxb xR的图象与坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C。(1)求实数b的取值范围;(2)求圆C的方程;(3)问圆C是否经过某定点(其坐
14、标与b无关)?请证明你的结论。【解析】 本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。(1)010(0)0bbf且(2)设所求圆的方程为220 xyDxEyF。令202,xDxFDFb0y得202,xDxFDFb又0 x时yb,从而1Eb。所以圆的方程为222(1)0 xyxbyb。(3)222(1)0 xyxbyb整理为222(1)0 xyxyby,过曲线22:20Cxyxy与:10ly的交点,即过定点(0,1)与( 2,1)。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 31 页19.( I)设12,na aa是各项均不为零的等差
15、数列(4)n,且公差0d,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:当4n时,求1ad的数值;求n的所有可能值;(II )求证:对于一个给定的正整数(4)n,存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,nb bb,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列。【解析】 本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。(I)当4n时,1234,a a a a中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则0d。若删去2a,则有2314aa a,即2111(2 )(3 )ada ad,化简得14ad;若删去3a,则有2214aa a,即2111()(3 )ada ad,化简得1
16、1ad。综上可知141ad或。当5n时,12345,a a a aa中同样不可能删去首项或末项。若删去2a,则有1534aaa a,即1111(4 )(2 )(3 )a adadad,化简得16ad;若删去3a,则有1524a aa a,即1111(4 )()(3 )a adad ad,化简得30d,舍去;若删去4a,则有1523aaa a,即1111(4 )()(2 )a adadad,化简得12ad。当6n时,不存在这样的等差数列。事实上,在数列12321,nnna a aaaa中,由于不能删去首项和末项,若删去2a,则必有132nna aa a,这与0d矛盾;同样若删去1na,也有132
17、nna aa a,这与0d矛盾;若删去32naa中的任意一个,则必有121nna aa a,这与0d矛盾。综上可知4,5n。(3)略精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 31 页20.若121212( ) 3,( ) 3,x px pf xf xx Rp p为常数,且112212( ),( )( )( )( ),( )( )f xf xfxf xfxfxfx(I) 求1( )( )f xfx对所有的实数x成立的充要条件(用12,pp表示);(II) 设,a b为两实数,ab且12,( , )ppa b,若( )( )f af
18、b, 求证:( )f x在区间, a b上的单调增区间的长度和为2ba(闭区间,m n的长度定义为nm) 。【解析】 本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。(I)1( )( )f xfx恒成立1212( )( )32 3xpxpfxfx12212332log( )xpxpxpxp若12pp,则23( )log0,显然成立;若12pp,记12( )g xxpxp当12pp时,1221221211()( )2()()ppxpg xxpppxpppxp,所以min12( )g xpp,故只需2123logpp;当12pp时,1211212212()( )2()()ppxpg xxp
19、ppxpppxp,所以min21( )g xpp,故只需2213logpp。(II )01如果2123logpp,则1( )( )f xf x的图象关于直线1xp对称,因为( )( )f af b,所以区间, a b关于直线1xp对称。因为减区间为1, a p,增区间为1,p b,所以单调增区间的长度和为2ba。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 31 页02如果2123logpp,结论的直观性很强。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 31 页2009
20、 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学参考公式:样本数据12,nx xx的方差221111() ,nniiiisxxxxnn其中一、填空题:本大题共14 小题,每小题5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上 . 1.若复数12429 ,69zi zi,其中i是虚数单位,则复数12()zzi的实部为 . 【答案】20【解析】略2.已知向量a和向量b的夹角为30,| 2,|3ab,则向量a和向量b的数量积a b. 【答案】 3 【解析】32332a b。3.函数32( )15336f xxxx的单调减区间为. 【答案】( 1,11)【解析】2( )330333(11)(1)f
21、xxxxx,由(11)(1)0 xx得单调减区间为( 1,11)。4.函数sin()( ,yAxA为常数,0,0)A在闭区间,0上的图象如图所示,则 . 【答案】 3 1 1 233O x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 31 页【解析】32T,23T,所以3,5.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2 根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 【答案】 0.2 【解析】略6.某校甲、乙两个班级各有5 名编号为1,2,3,4,5 的学生进
22、行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:学生1 号2 号3 号4 号5 号甲班6 7 7 8 7 乙班6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为2s. 【答案】25【解析】略7.右图是一个算法的流程图,最后输出的W. 【答案】 22 【解析】略8.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1: 2,则它们的面积比为 1:4,类似地,在空间,若两个正四面体的棱长的比为1:2,则它们的体积比为. 【答案】 1:8 【解析】略9.在平面直角坐标系xoy中,点 P在曲线3:103C yxx上,且在第二象限内,已知曲线C 在点 P 处的切线的斜率为2,则点 P 的坐标为. 【答案】( 2,15
23、)开始0S1T2STS10S2TTWST输出W结束Y N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 31 页【解析】略10.已知512a,函数( )xf xa,若实数,m n满足()( )f mf n,则,m n的大小关系为. 【答案】mn【解析】略11.已知集合2|log2Axx,(, )Ba,若AB则实数a的取值范围是( ,)c,其中c. 【答案】 4 【解析】由2log2x得04x,(0,4A;由AB知4a,所以c4。12.设和为不重合的两个平面,给出下列命题:(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于;(2
24、)若外一条直线l与内的一条直线平行,则l和平行;(3)设和相交于直线l,若内有一条直线垂直于l,则和垂直;(4)直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号(写出所有真命题的序号). 【答案】(1) ( 2)【解析】略13如图,在平面直角坐标系xoy中,1212,A A B B为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点,F为其右焦点, 直线12A B与直线1B F相交于点T, 线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 31 页【答案
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