2022年中考数学多动点综合题中等腰三角形的专题研究 .pdf
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1、优秀学习资料欢迎下载多动点综合题中等腰三角形的专题研究一、两个动点在一个角的两边上“逆向”运动,另一个定点在角的顶点上的等腰三角形【案例 1】(2008 山西)如图( 1),已知直线的解析式为,直线与 x 轴、 y轴分别相交于A、 B 两点,直线经过 B、C 两点,点C 的坐标为( 8,0),又已知点P在 x 轴上从点 A 向点 C 移动,点 Q 在直线从点 C 向点 B 移动。点 P、Q 同时出发,且移动的速度都为每秒1 个单位长度,设移动时间为t 秒()。(1)求直线的解析式。(2)设 PCQ 的面积为S,请求出 S关于 t 的函数关系式。(3)试探究:当t 为何值时,PCQ 为等腰三角形
2、?图( 1)解:( 1)过程略,答案:的解析式为(2)过程略,答案:=(3)【分析】 确定定点、动点、运动方向这类问题首先要弄清楚对于PCQ 而言,那些是顶点是动点,那些点是定点,动点在哪条线上运动,运动方向是怎样的,所以我们在图(1)上标出了 PCQ 的动点( P、Q)和定点( C),以及P、Q 的运动方向,由此我们可以看出这个动点三角形属于两个动点在一个角的两条边上“逆向”运动,另一个定点在角的顶点上的等腰三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页优秀学习资料欢迎下载画出动态三角形形成等腰三角形的截图(“动”中
3、取“静”)按照运动时间先后的顺序,往往存在三种情况,这里体现了分类讨论的思想,PCQ的三边两两分别相等,如图QP=QC, CP=CQ, PC=PQ,这个过程需要读者在备用图中试画。 只有画出来才能求出来,所以这一步在整个问题中是相当关键的,注意不要重复和遗漏。在函数与数形结合思想的基础上,利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程根据题意我们可知,很多和问题有关的边长都可以用时间的式子表示出来, PC=,CQ= ,建立等式模型时,我们往往要运用勾股定理、锐角三角函数与相似,但利用以上的方法所需的基本图形是直角三角形,所以我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直角三角形。如图, 当 QC=
4、QP, 过 Q 作 QD轴于 D, D 点为 PC 中点,则 CD=PC=,图形中可确定三边的RtBOC ,恰好这个直角三角形与我们把等腰三角形QPC 分割出来的Rt QDC公共 BCO ,根据“ A”型相似或平行相似,则QDC BOC,即,解得如图,当CP=CQ 时,这时 CP 与 CQ 正好也在 BCO 的两边上,解得如图,当PC=PQ 时,过 P 作 PE于 E,则 CE=CQ=,这时分割出的RtPEC与已知的RtBOC仍然公共 BCO ,并形成斜“A”型相似,则PEC BOC,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12
5、 页优秀学习资料欢迎下载,即,解得,综上所述,当,或 5,或时,(都满足), PCQ 为等腰三角形【总结】以上题目是动点和函数思想相结合以几何图形为背景,以动点为元素,构造动态型几何问题。 解此类题目, 应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性。【 练 习】 (2009济 南) 如图 ( 2 ) ,在 梯形中 ,,图( 2)动点从点出发沿线段以每秒2 个单位长度的速度向终点运动;动点同时从点出发沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒(1)求的长。(过程略,)(2)当时,
6、求的值。 ( 过程略,)(3)试探究:为何值时,为等腰三角形。解:( 3)【分析】 确定定点、动点、运动方向(请读者自行在图(2)中完成)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页优秀学习资料欢迎下载画出动态三角形形成等腰三角形的截图(请读者自行在练习图中完成)在函数与数形结合思想的基础上,利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程点拨: 此问所需要确定三边的直角三角形,目标就锁定到梯形分割出右边的这个直角三角形,这个三边都可以求出的直角三角形还与动态公共 C,可利用案例一的讨论方法求出相应的时间, 注意这题中M 、 N
7、两个动点的速度不一样了,此问答案为当、或时,为等腰三角形,过程请读者自行完成。【案例 2】( 2009 仙桃)如图( 3),直角梯形ABCD中, AD BC , ABC 90,已知 ADAB 3,BC 4,动点 P从 B点出发, 沿线段 BC向点 C作匀速运动; 动点 Q从点 D 出发,沿线段 DA向点 A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点 M ,交 BC于点 NP、Q两点同时出发,速度都为每秒1 个单位长度 当 Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为t 秒(1) 求 NC ,MC的长 ( 用 t 的代数式表示 ) ;(过程略,)(2) 当为何值时,四边形PCDQ 构
8、成平行四边形?( 过程略,)(3) 是否存在某一时刻,使射线QN恰好将的面积和周长同时平分?若存在,求出此时的值;若不存在,请说明理由;(过程略,不存在)(4) 探究:为何值时,为等腰三角形?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页优秀学习资料欢迎下载解:( 3)【分析】 确定定点、动点、运动方向由题意可知Q、M、N 三点在同一条直线上, M、 N 随着 Q 点的移动而移动画出动态三角形形成等腰三角形的截图画出动态的三种情况,如图、在函数与数形结合思想的基础上,利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程此问所用到的方法
9、和案例1 有所不同,这时只知道P、 Q 两个动点的速度,所以动态的 CM边不能直接用的式子表示出来,此题的PC=,CN=,接下来就要围绕者 PC, CN 两边来建立方程。如图, 当 MP=MC ,而 MN PC , 则 N 点为 PC 中点, 有 PC=2NC,有解得:=如图,当CM=CP 时, CM=CP=,CN=,而由图中可以知Rt MNC 与 Rt ABC公共 ACB ,根据“ A”型相似或平行相似,解得:如图,当PM=PC 时,PM=PC=,则 PN=CNPC=, Rt MNC 与 RtABC公共 ACB ,本应该利用这种平行相似关系建立方程,可 Rt MNC 只有一边CN可以由表示精
10、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页优秀学习资料欢迎下载出来,只有利用其它方法建立等式,由上可知Rt MNP 中的 PM、PN 都可以用表示出来,只差最后一边MN 没有用表示出来,这里刚好可以利用Rt MNC 与 RtABC相似把 MN也用表示出来,,则 MN=,最后我们利用在Rt MNP 中存在勾股定理,完成建立方程的步骤,,,解得(-1 舍)综上所述当、或时,为等腰三角形二、两动点在两条平行线上同向运动,另一个动点在另一边上运动的等腰三角形问题【案例 3】( 2008 温州)如图( 4),在 RtABC 中, A9
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