2022年中考数学多动点综合题中等腰三角形的专题研究.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载多动点综合题中等腰三角形的专题争论一、两个动点在一个角的两边上“ 逆向” 运动,另一个定点在角的顶点上的等腰三角形【案例 1】(2022 山西)如图( 1),已知直线 的解析式为,直线 与 x 轴、 y轴分别相交于 A、 B 两点,直线 经过 B、C 两点,点 C 的坐标为( 8,0),又已知点 P在 x 轴上从点 A 向点 C 移动,点 Q 在直线从点 C 向点 B 移动;点 P、Q 同时动身,且移动的速度都为每秒1 个单位长度,设移动时间为t 秒();(1)求直线的解析式;(2)设 PCQ 的面积为 S,恳求出 S 关
2、于 t 的函数关系式;(3)摸索究:当t 为何值时,PCQ 为等腰三角形?图( 1)解:( 1)过程略,答案:的解析式为(2)过程略,答案:=(3)【分析】 确定定点、动点、运动方向这类问题第一要弄清晰对于PCQ 而言,那些是顶点是动点,那些点是定点,动点在哪条线上运动,运动方向是怎样的,所以我们在图(1)上标出了PCQ 的动点( P、Q)和定点( C),以及 P、Q 的运动方向,由此我们可以看出这个动点三角形属于两个动点在一个角的两条边上“ 逆向” 运动,另一个定点在角的顶点上的等腰三角形;名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - -
3、- - - 优秀学习资料 欢迎下载画出动态三角形形成等腰三角形的截图(“ 动” 中取“ 静” )依据运动时间先后的次序,往往存在三种情形,这里表达了分类争论的思想,PCQ的三边两两分别相等,如图QP=QC, CP=CQ , PC=PQ,这个过程需要读者在备用图中试画; 只有画出来才能求出来,所以这一步在整个问题中是相当关键的,留意不要重复和遗漏;在函数与数形结合思想的基础上,利用勾股定理、锐角三角函数与相像关系建立方 程依据题意我们可知, 许多和问题有关的边长都可以用时间的式子表示出来, PC=,CQ= ,建立等式模型时,我们往往要运用勾股定理、锐角三角函数与相像,但利用以上的方法所需的基本图
4、形是直角三角形,角三角形;所以我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直如图, 当 QC=QP,过 Q 作 QD轴于 D,D 点为 PC 中点,就 CD= PC=,图形中可确定三边的 RtBOC,恰好这个直角三角形与我们把等腰三角形 QPC 分割出来的Rt QDC公共 BCO,依据“A” 型相像或平行相像,就QDC BOC ,即,解得如图,当 CP=CQ 时,这时 CP 与 CQ 正好也在 BCO的两边上,解得如图,当 PC=PQ 时,过 P 作 PE于 E,就 CE= CQ=,这时分割出的 RtPEC名师归纳总结 与已知的 RtBOC仍旧公共 BCO,并形成斜“A” 型相像,就PEC BO
5、C ,第 2 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,即优秀学习资料欢迎下载,解得,综上所述,当,或 5,或时,(都满意), PCQ 为等腰三角形【总结】以上题目是动点和函数思想相结合以几何图形为背景,以动点为元素 ,构造动态型 几何问题; 解此类题目, 应从相关图形的性质和数量关系分类争论来解决;此类问题较多地 关注同学对图形性质的懂得 ,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题 ,具有较强的综 合性;【 练 习 】 (2022,济 南 ) 如 图 ( 2 ) , 在 梯 形中 ,图( 2)动点从点动身沿线段以每秒 2 个单位长度的速度
6、向终点运动;动点同时从点动身沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒(1)求的长;(过程略,)(2)当时,求的值; 过程略,名师归纳总结 (3)摸索究:为何值时,为等腰三角形;2)中完成)第 3 页,共 12 页解:( 3)【分析】 确定定点、动点、运动方向(请读者自行在图(- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载画出动态三角形形成等腰三角形的截图(请读者自行在练习图中完成)在函数与数形结合思想的基础上,利用勾股定理、锐角三角函数与相像关系建立方程点拨:此问所需要确定三边的直角三角形,这个三边都可以求出的直角三角形仍
7、与动态目标就锁定到梯形分割出右边的这个直角三角形,公共 C,可利用案例一的争论方法求出相应的时间, 留意这题中M、N两个动点的速度不一样了,此问答案为当、或时,为等腰三角形,过程请读者自行完成;【案例 2】( 2022 仙桃)如图( 3),直角梯形ABCD中, AD BC, ABC90 ,已知 ADAB3,BC4,动点 P 从 B 点动身, 沿线段 BC向点 C作匀速运动; 动点 Q从点 D 动身,沿线段 DA向点 A 作匀速运动过 Q两点同时动身,速度都为每秒Q点垂直于 AD的射线交 AC于点 M,交 BC于点 NP、1 个单位长度 当 Q点运动到 A 点,P、Q两点同时停止运动设点 Q运动
8、的时间为 t 秒1 求 NC,MC的长 用 t 的代数式表示 ;(过程略,)名师归纳总结 2 当为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形? 过程略,第 4 页,共 12 页3 是否存在某一时刻,使射线QN恰好将的面积和周长同时平分?如存在,求出此时的值;如不存在,请说明理由;(过程略,不存在)4 探究:为何值时,为等腰三角形?- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载Q、M 、N 三点在同一条直线解:( 3)【分析】 确定定点、动点、运动方向由题意可知上,M 、N 随着 Q 点的移动而移动画出动态三角形形成等腰三角形的截图画出动态的三种情形,
9、如图、在函数与数形结合思想的基础上,利用勾股定理、锐角三角函数与相像关系建立方程此问所用到的方法和案例1 有所不同,这时只知道P、 Q 两个动点的速度,所以动态的 CM边不能直接用的式子表示出来,此题的PC=,CN=,接下来就要环绕者 PC, CN 两边来建立方程;如图, 当 MP=MC ,而 M N PC, 就 N 点为 PC 中点, 有 PC=2NC,有解得:=如图,当 CM=CP 时, CM=CP=,CN=,而由图中可以知Rt MNC与 Rt ABC公共 ACB,依据“A ” 型相像或平行相像,解得:名师归纳总结 如图,当 PM=PC 时,PM=PC=,就 PN=C NPC=, Rt M
10、NC与 RtABC第 5 页,共 12 页公共 ACB,本应当利用这种平行相像关系建立方程,可 Rt MNC只有一边 CN可以由表示- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载表示出来,出来,只有利用其它方法建立等式,由上可知Rt MNP中的 PM、PN 都可以用只差最终一边MN 没有用表示出来,这里刚好可以利用Rt MNC与 RtABC相像把 MN也用 表示出来,就 MN=,最终我们利用在Rt MNP中存在勾股定理,完成建立方程的步骤,(-1 舍),解得综上所述当、或时,为等腰三角形二、两动点在两条平行线上同向运动,另一个动点在另一边上运动
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