2015年普通高等学校招生全国统一专业考试(湖南卷)理科数学.doc
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1、-!2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学本试题包括选择题,填空题和解答题三部分,共6页,时间120分钟,满分150分.一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,贼每小题给出的四个选项中,只有一项是复合题目要求的.1. 已知(为虚数单位),则复数=( )A. B. C. D.2. 设A,B是两个集合,则”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 执行如图1所示的程序框图,如果输入,则输出的( )A. B. C. D.4. 若变量满足约束条件则的最小值为( )A.-7 B.-1 C.1 D.25. 设函数,则是(
2、)A.奇函数,且在上是增函数 B. 奇函数,且在上是减函数C. 偶函数,且在上是增函数 D. 偶函数,且在上是减函数6. 已知的展开式中含的项的系数为30,则( )A B. C.6 D.-67. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A.2386 B.2718 C.3413 D.47728. 已知点A,B,C在圆上运动,且,若点P的坐标为(2,0),则的最大值为( )A.6 B.7 C.8 D.99. 将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像,若对满足的,有,则( )A. B. C. D.10. 某工件
3、的三视图如图3所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)( )A. B. C. D.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11. .12. 在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是 .13. 设F是双曲线的一个焦点,若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为_。14设为等比数列的前项和,若,且成等差数列,则 .15已知,
4、若存在实数,使函数有两个零点,则的取值范围 是 .三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)本小题设有,三个选做题,请考生任选两题作答,并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内。如果全做,则按所做的前两题计分。()(本题满分6分)选修4-1:几何证明选讲如图5,在中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:();()()(本题满分6分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(
5、)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;()设点M的直角坐标为,直线与曲线的交点为,求的值。()(本题满分6分)选修4-5:不等式选讲设,且,证明:();()与不可能同时成立。17.(本小题满分12分)设的内角的对边分别为,且为钝角。()证明:;()求的取值范围。18.(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球。在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖。()求顾客抽奖1次能获奖的概率;()若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖
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