高考理科数学导数题型归纳.doc

.* 导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令得到两个根；’ 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数， （1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围； （2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值. 解:由函数 得 （1） 在区间上为“凸函数”， 则 在区间[0,3]上恒成立 - 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 解法二：分离变量法： ∵ 当时, 恒成立, 当时, 恒成立 等价于的最大值（）恒成立， 而（）是增函数，则 (2)∵当时在区间上都为“凸函数” 则等价于当时 恒成立 变更主元法 再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题） -2 2 例2：设函数 （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围. （二次函数区间最值的例子） 解：（Ⅰ） 3a a a 3a 令得的单调递增区间为（a,3a） 令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+） ∴当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b. （Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立① 则等价于这个二次函数 的对称轴 （放缩法） 即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。 上是增函数. （9分） ∴ 于是，对任意，不等式①恒成立，等价于 又∴ 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型 例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）当时，求的值域； （Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。 解：（Ⅰ）∴， 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减 又 ∴的值域是 （Ⅲ）令 思路1：要使恒成立，只需，即分离变量 思路2：二次函数区间最值 二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 例4：已知，函数． （Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围． 解：. （Ⅰ）∵ 是偶函数，∴ . 此时，， 令，解得：. 列表如下： (－∞,－2) －2 (－2,2) 2 (2,+∞) + 0 － 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 可知：的极大值为， 的极小值为. （Ⅱ）∵函数是上的单调函数， ∴，在给定区间R上恒成立判别式法 则 解得：. 综上，的取值范围是. 例5、已知函数 （I）求的单调区间； （II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想 （I） 1、 当且仅当时取“=”号，单调递增。 2、 a-1 -1 单调增区间： 单调增区间： （II）当 则是上述增区间的子集： 1、时，单调递增 符合题意 2、， 综上，a的取值范围是[0，1]。 三、题型二：根的个数问题 题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题 解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 例6、已知函数，，且在区间上为增函数． （1） 求实数的取值范围； （2） 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围． 解：（1）由题意 ∵在区间上为增函数， ∴在区间上恒成立（分离变量法） 即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为 （2）设， 令得或由（1）知， ①当时，，在R上递增，显然不合题意… ②当时，，随的变化情况如下表： — ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即 ∴，解得 综上，所求的取值范围为 根的个数知道，部分根可求或已知。 例7、已知函数 （1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值； （2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。高1考1资1源2网 解：（1）∵的图像过原点，则 ， 又∵是的极值点，则 -1 （2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点， 等价于有含的三个根，即： 整理得： 即：恒有含的三个不等实根 （计算难点来了：）有含的根， 则必可分解为，故用添项配凑法因式分解， 十字相乘法分解： 恒有含的三个不等实根 等价于有两个不等于-1的不等实根。 题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数 例7、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围． （1）由题意得： ∴在上；在上；在上 因此在处取得极小值 ∴①，②，③ 由①②③联立得：，∴ （2）设切点Q， 过 令， 求得：，方程有三个根。 需： 故：；因此所求实数的范围为： 题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法 例8、 解：函数的定义域为（Ⅰ）当m＝4时，f (x)＝ x3－x2＋10x， ＝x2－7x＋10，令 ， 解得或. 令 ， 解得 可知函数f(x)的单调递增区间为和（5，＋∞），单调递减区间为． （Ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6, 1 要使函数y＝f (x)在（1，＋∞）有两个极值点,＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞） 根分布问题： 则， 解得m＞3 例9、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围． 解：（1） 当时，令解得，令解得， 所以的递增区间为，递减区间为. 当时，同理可得的递增区间为，递减区间为. （2）有且仅有3个极值点 =0有3个根，则或， 方程有两个非零实根，所以 或 而当或时可证函数有且仅有3个极值点 1、 （最值问题与主元变更法的例子）. 例10已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围. 解：（Ⅰ） 令=0,得 因为，所以可得下表： 0 + 0 - ↗ 极大 ↘ 因此必为最大值,∴因此， ， 即，∴，∴ （Ⅱ）∵，∴等价于， 令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围， 为此只需，即， 解得，所以所求实数的取值范围是[0，1]. 2、（根分布与线性规划例子） 例11已知函数 (Ⅰ) 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行, 求的解析式； (Ⅱ) 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程. 解： (Ⅰ). 由, 函数在时有极值 , ∴ ∵ ∴ 又∵ 在处的切线与直线平行, ∴ 故 ∴ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由 及在取得极大值且在取得极小值, ∴ 即 令, 则 ∴ ∴ 故点所在平面区域S为如图△ABC, 易得, , , , , 同时DE为△ABC的中位线, ∴ 所求一条直线L的方程为: 另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G, 则 , 由 得点F的横坐标为: 由 得点G的横坐标为: ∴ 即 解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为: 综上,所求直线方程为: 或 .…………….………….12分 (Ⅱ) 解法二: 由 及在取得极大值且在取得极小值, ∴ 即 令, 则 ∴ ∴ 故点所在平面区域S为如图△ABC, 易得, , , , , 同时DE为△ABC的中位线, ∴所求一条直线L的方程为: 另一种情况由于直线BO方程为: , 设直线BO与AC交于H , 由 得直线L与AC交点为: ∵ , , ∴ 所求直线方程为: 或 3、（根的个数问题）例12已知函数的图象如图所示。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f ( x )的解析式； （Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。 解：由题知： （Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且= 0 得 （Ⅱ）依题意 = – 3 且f ( 2 ) = 5 解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 （Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 ) = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由= 0b = – 9a ① 若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3＜a＜3 所以 当＜a＜3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。………… 12分 4、（根的个数问题）例13已知函数 （1）若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间； （2）若，讨论曲线与的交点个数． 解：（1） ………………………………………………………………………2分 令得 令得 ∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分 （2）由题得 即 令……………………6分 令得或……………………………………………7分 当即时 － 此时，，，有一个交点；…………………………9分 当即时， ＋ — , ∴当即时,有一个交点； 当即时，有两个交点； 　 当时，，有一个交点．………………………13分 综上可知，当或时，有一个交点； 当时，有两个交点．…………………………………14分