高考数学导数题型归纳.pdf
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1、.导数题型归纳导数题型归纳请同学们高度重视:请同学们高度重视:首先,首先,关于二次函数的不等式关于二次函数的不等式恒成立恒成立的主要解法:的主要解法:1 1、别离变量;、别离变量;2 2 变更主元;变更主元;3 3 根分布;根分布;4 4 判别式法判别式法5 5、二次函数区间最值求法:、二次函数区间最值求法:1 1对称轴重视单调区间对称轴重视单调区间与定义域的关系与定义域的关系2 2端点处和顶点是最值所在端点处和顶点是最值所在其次,其次,分析每种题型的本质,你会发现大局部都在解决“不等式恒成立问题以及“充分应用数形结合思想,分析每种题型的本质,你会发现大局部都在解决“不等式恒成立问题以及“充分
2、应用数形结合思想,创立不等关系求出取值围。创立不等关系求出取值围。最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的根底最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的根底一、根底题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;一、根底题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;1 1、此类问题提倡按以下三个步骤进展解决:、此类问题提倡按以下三个步骤进展解决:第一步:令第一步:令f(x)0得到两个根;得到两个根;第二步:画两图或列表;第二步:画两图或列表;第三步:由图表可知;第三步:由图表可知;其中其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,不等式恒成立问题的实质是函数的最值
3、问题,2 2、常见处理方法有三种:、常见处理方法有三种:第一种:别离变量求最值第一种:别离变量求最值-用别离变量时要特别注意是否需分类讨论用别离变量时要特别注意是否需分类讨论0,=0,0,=0,0第二种:变更主元第二种:变更主元即关于某字母的一次函数即关于某字母的一次函数-谁的围就把谁作为主元谁的围就把谁作为主元;例例 1 1:设函数:设函数y f(x)在区间在区间 D D 上的导数为上的导数为f(x),f(x)在区间在区间 D D 上的导数为上的导数为g(x),假设在区间,假设在区间 D D 上,上,x4mx33x2g(x)0恒成立,那么称函数恒成立,那么称函数y f(x)在区间在区间 D
4、D 上为“凸函数,实数上为“凸函数,实数m m 是常数,是常数,f(x)12621 1假设假设y f(x)在区间在区间0,3上为“凸函数,求上为“凸函数,求 m m 的取值围;的取值围;2 2假设对满足假设对满足m 2的任何一个实数的任何一个实数m,函数,函数f(x)在区间在区间a,b上都为“凸函数,求上都为“凸函数,求ba的最大值的最大值.x4mx33x2x3mx23x解解:由函数由函数f(x)得得f(x)126232g(x)x2mx 31 1y f(x)在区间在区间0,3上为“凸函数,上为“凸函数,那么那么g(x)x mx3 0在区间在区间0,30,3上恒成立上恒成立2解法一:从解法一:从
5、二次函数的区间最值二次函数的区间最值入手:等价于入手:等价于gmax(x)0g(0)03 0 m 2g(3)093m3 0解法二:解法二:别离变量法:别离变量法:当当x 0时时,g(x)x mx3 3 0恒成立恒成立,2当当0 x 3时时,g(x)x mx 3 0恒成立恒成立2x233 x的最大值的最大值0 x 3恒成立,恒成立,等价于等价于m xx3而而h(x)x0 x 3是增函数,那么是增函数,那么hmax(x)h(3)2xm 2jz*.(2)(2)当当m 2时时f(x)在区间在区间a,b上都为“凸函数上都为“凸函数那么等价于当那么等价于当m 2时时g(x)x2mx 3 0恒成立恒成立解法
6、三:变更主元法解法三:变更主元法再等价于再等价于F(m)mx x23 0在在m 2恒成立恒成立视为关于视为关于 m m 的一次函数最值问题的一次函数最值问题F(2)02F(2)02x x 3 02x x23 0 1 x 1ba 2-2-22 2例例 2 2:设函数:设函数f(x)13x32ax23a2x b(0 a 1,bR)求函数求函数f fx x的单调区间和极值;的单调区间和极值;假设对任意的假设对任意的xa 1,a 2,不等式不等式f(x)a恒成立,求恒成立,求 a a 的取值围的取值围.二次函数区间最值的例子二次函数区间最值的例子解:解:f(x)x24ax3a2 x3axa0 a 1f
7、(x)a a3a3aa a3a3a令令f(x)0,得得f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为a a,3,3a a令令f(x)0,得得f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为,a a和和3 3a a,+当当x=ax=a时,时,f(x)极小值极小值=34a3b;当当x=x=3 3a a时,时,f(x)极大值极大值=b.b.由由|f(x)|a a,得:对任意的,得:对任意的xa 1,a 2,a x24ax3a2 a恒成立恒成立那那 么么 等等 价价 于于g(x)这这 个个 二二 次次 函函 数数gmax(x)ag3a2min(x)ag(x)x24ax x 2a0 a 1,a1 aa 2a放缩法放缩
8、法即定义域在对称轴的右边,即定义域在对称轴的右边,g(x)这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。jz*对对 称称 轴轴的的.g(x)x24ax 3a2在a 1,a 2上是增函数上是增函数.g(x)max g(a2)2a1.g(x)min g(a1)4a4.于是,对任意于是,对任意xa 1,a 2,不等式恒成立,等价于,不等式恒成立,等价于1,x 2aaa 2g(a2)4a4 a,4解得 a 1.5g(a1)2a1 a又又0 a 1,4 a 1.5点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴重视单调区间与定义域的关系点评:重视二次函数区间最值求法:
9、对称轴重视单调区间与定义域的关系第三种:构造函数求最值第三种:构造函数求最值题型特征:题型特征:f(x)g(x)恒成立恒成立 h(x)f(x)g(x)0恒成立;从而转化为第一、二种题型恒成立;从而转化为第一、二种题型32例例 3 3;函数;函数f(x)x ax图象上一点图象上一点P(1,b)处的切线斜率为处的切线斜率为3,t 62x(t 1)x3(t 0)2求求a,b的值;的值;当当x1,4时,求时,求f(x)的值域;的值域;当当x1,4时,不等式时,不等式f(x)g(x)恒成立,数恒成立,数 t t 的取值围。的取值围。g(x)x3 f/(1)3a 3解:解:f(x)3x 2ax,解得解得b
10、 2b 1a由知,由知,f(x)在在1,0上单调递增,在上单调递增,在0,2上单调递减,在上单调递减,在2,4上单调递增上单调递增又又f(1)4,f(0)0,f(2)4,f(4)16f(x)的值域是的值域是4,16t2令令h(x)f(x)g(x)x(t 1)x3x1,422思路思路 1 1:要使:要使f(x)g(x)恒成立,只需恒成立,只需h(x)0,即,即t(x 2x)2x6别离变量别离变量/2思路思路 2 2:二次函数区间最值:二次函数区间最值二、题型一:函数在某个区间上的单调性求参数的围二、题型一:函数在某个区间上的单调性求参数的围解法解法 1 1:转化为f(x)0或f(x)0在给定区间
11、上恒成立,回归根底题型解法 2:利用子区间即子集思想;首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;做题时一定要看清楚“在做题时一定要看清楚“在m,nm,n上是减函数与“函数的单调减区间是上是减函数与“函数的单调减区间是a,ba,b,要弄清楚两句话的区别:前,要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集者是后者的子集例例 4 4:aR,函数,函数f(x)13a 12x x(4a1)x122如果函数如果函数g(x)f(x)是偶函数,求是偶函数,求f(x)的极大值和极小值;的极大值和极小值;jz*.如果函数如果函数f(x)是是(,解:解:f(x)上的单调函数,求上的单调函数,求a的
12、取值围的取值围12x(a 1)x(4a 1).4131f(x)是偶函数,是偶函数,a 1.此时此时f(x)x3x,f(x)x23,412令令f(x)0,解得:,解得:x 2 3.列表如下:列表如下:xf(x)f(x)(,2 23)+递增递增2 230 0极大值极大值(2 23,2,23)递减递减2 230 0极小值极小值(2(23,+),+)+递增递增可知:可知:f(x)的极大值为的极大值为f(2 3)4 3,f(x)的极小值为的极小值为f(2 3)4 3.函数函数f(x)是是(,f(x)上的单调函数,上的单调函数,12x(a1)x(4a1)0,在给定区间在给定区间 R R 上恒成立上恒成立判
13、别式法判别式法4122那么那么 (a1)4(4a1)a 2a 0,解得:解得:0 a 2.4综上,综上,a的取值围是的取值围是a0 a 2.例例 5 5、函数、函数f(x)131x(2 a)x2(1 a)x(a 0).32I I求求f(x)的单调区间;的单调区间;II II假设假设f(x)在在0 0,1 1上单调递增,上单调递增,求求a a的取值围。的取值围。子集思想子集思想2I If(x)x (2 a)x 1 a (x 1)(x 1 a).1 1、当a 0时,f(x)(x 1)0恒成立,当且仅当当且仅当x 1时取“时取“=号,号,f(x)在(,)单调递增。单调递增。2 2、当a 0时,由f(
14、x)0,得x1 1,x2 a 1,且x1 x2,2f(x)-1-1jz*a-1a-1单调增区间:单调增区间:(,1),(a1,)单调减区间:单调减区间:(1,a1).II II当当f(x)在0,1上单调递增,那么那么0,1是上述增区间的子集:是上述增区间的子集:1 1、a 0时,时,f(x)在(,)单调递增单调递增 符合题意符合题意2 2、0,1a1,,a1 0a 1综上,综上,a a的取值围是的取值围是0 0,1 1。三、题型二:根的个数问题三、题型二:根的个数问题题题 1 1 函数函数 f(x)f(x)与与 g(x)g(x)或与或与 x x 轴的交点轴的交点=即方程根的个数问题即方程根的个
15、数问题解题步骤解题步骤第一步:第一步:画出两个图像即画出两个图像即“穿线图穿线图 即解导数不等式即解导数不等式 和和“趋势图即三次函数的大致趋势“趋势图即三次函数的大致趋势“是先增后减再增“是先增后减再增还是“先减后增再减;还是“先减后增再减;第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式组第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式组;主要看极大值和极小值与主要看极大值和极小值与0 0 的关系;的关系;第三步:解不等式组即可;第三步:解不等式组即可;例例 6 6、函数、函数f(x)(1 1)数数k的取值围;的取值围;(2 2)假设函数假设函数f(x)与与g(x)的图象有三个不同的交点,数的
16、图象有三个不同的交点,数k的取值围的取值围2f(x)x(k 1)x 0在区间在区间(2,)上恒成立上恒成立别离变量法别离变量法113(k 1)2x x,g(x)kx,且,且f(x)在区间在区间(2,)上为增函数上为增函数3322解:解:1 1由题意由题意f(x)x(k1)xf(x)在区间在区间(2,)上为增函数,上为增函数,即即k 1 x恒成立,又恒成立,又x 2,k 1 2,故,故k 1k的取值围为的取值围为k 1x3(k 1)21x kx,2 2设设h(x)f(x)g(x)323h(x)x2(k 1)x k (x k)(x 1)令令h(x)0得得x k或或x 1由由1 1知知k 1,2当当
17、k 1时,时,h(x)(x 1)0,h(x)在在 R R 上递增,显然不合题意上递增,显然不合题意当当k 1时,时,h(x),h(x)随随x的变化情况如下表:的变化情况如下表:x(k,1)(1,)(,k)1kh(x)00h(x)极大值极大值极小值极小值k 1k3k212623k 1由于由于0,欲使,欲使f(x)与与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程的图象有三个不同的交点,即方程h(x)0有三个不同的实根,故需有三个不同的实根,故需2k 1k3k212 0,即,即(k 1)(k2k 2)02,解得,解得k 13623k 2k 2 0综上,所求综上,所求k的取值围为的取值围为k 13根的个数知
18、道,局部根可求或。根的个数知道,局部根可求或。jz*.例例 7 7、函数、函数f(x)ax312x 2xc21 1假设假设x 1是是f(x)的极值点且的极值点且f(x)的图像过原点,求的图像过原点,求f(x)的极值;的极值;12bx xd,在,在1 1的条件下,是否存在实数的条件下,是否存在实数b,使得函数,使得函数g(x)的图像与函数的图像与函数f(x)的图的图2像恒有含像恒有含x 1的三个不同交点?假设存在,求出实数的三个不同交点?假设存在,求出实数b的取值围;否那么说明理由。的取值围;否那么说明理由。2 2假设假设g(x)解:解:1 1f(x)的图像过原点,那么的图像过原点,那么f(0)
19、0 c 0f(x)3ax x2,2又又x 1是是f(x)的极值点,那么的极值点,那么f(1)3a12 0 a 1 f(x)3x2 x2 (3x2)(x1)0f(x)-1-1f极大值(x)f(1)3222f极小值(x)f()237232 2设函数设函数g(x)的图像与函数的图像与函数f(x)的图像恒存在含的图像恒存在含x 1的三个不同交点,的三个不同交点,等价于等价于f(x)g(x)有含有含x 1的三个根,即:的三个根,即:f(1)g(1)d 1(b1)2111x3x22x bx2 x(b1)整理得:整理得:2221132即:即:x(b1)x x(b1)0恒有含恒有含x 1的三个不等实根的三个不
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