2022年2022年量子力学复习题--大题 .pdf
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1、12 在 0K 附近,钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系,可知E=hv,hP如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2cEe动) ,那么epE22如果我们考察的是相对性的光子,那么E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV, 远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV61051.0, 因此利用非相对论性的电子的能量动量关系式,这样,便有phnmmmEchcEhee71.01071.031051.021024.1229662在这里,利用了meVhc61024.1以及eVce621051. 0最后,对Echce22作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的
2、质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短, 因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强, 由于宏观世界的物体质量普遍很大, 因而波动性极弱, 显现出来的都是粒子性, 这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - 13 氦原子的动能是kTE23(k 为玻耳兹曼常数),求 T=1K 时,氦原子的
3、德布罗意波长。解根据eVKk3101,知本题的氦原子的动能为,105.123233eVKkkTE显然远远小于2c核这样,便有Echc22核nmmm37. 01037. 0105. 1107.321024.19396这里,利用了eVeVc962107.3109314核最后,再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论,由某种粒子构成的温度为 T 的体系,其中粒子的平均动能的数量级为kT,这样,其相应的德布罗意波长就为TkchcEchc2222据此可知, 当体系的温度越低, 相应的德布罗意波长就越长,这时这种粒子的波动性就越明显, 特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时,粒子间的相干性就尤为明显, 因
4、此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布,而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。p.52 2.1.证明在定态中,几率流密度与时间无关。证:对于定态,可令名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - )()()()(2)()()()(2)(2)()()()(*rrrriererereriiJertfrtrEtiEtiEtiEtiEti)()(,可见tJ与 无关。2.2 由下列两定态波函数计算几率流密度:i
5、 k ri k rerer1)2(1)1(21从所得结果说明1表示向外传播的球面波,2表示向内 (即向原点 ) 传播的球面波。解:分量只有和rJJ21在球坐标中s i nr1er1err0rrkrrkrrikrrrikrrirerrererreriiJikrikrikrikr30202201*1*111)11(1)11(12)1(1)1(12)(2) 1(rJ1与 同向。表示向外传播的球面波。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 11 页 - - - - - -
6、 - - - rrkrrkrrikrrrikrrirerrererreriiJikrikrikrikr3020220*2*222)11(1)11(12)1(1)1(12)(2)2(可见,rJ 与2反向。表示向内 (即向原点 ) 传播的球面波。补充:设ikxex)(,粒子的位置几率分布如何?这个波函数能否归一化?dxdx*波函数不能按1)(2dxx方式归一化。其相对位置几率分布函数为12表示粒子在空间各处出现的几率相同。# 3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为a,如果粒子的状态由波函数)()(xaAxx描写, A 为归一化常数,求粒子能量的几率分布和能量的平均值。解:由波函数)(x
7、的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为22222 anEn)321(,n能量的几率分布函数为2)(nCEandxxxanadxxxC0*)(sin2)()(axxaxxanax,0,00,sin2)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - 先把)(x归一化,由归一化条件,aadxxaxaxAdxxaxAdxx022220222)2()()(1adxxaxxaA043222)2(30)523(
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