【高考数学精品专题】三角函数【【高三数学一轮复习讲义.docx
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1、三角函数1、任意角和弧度制A角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形B角的表示(1)始边:射线的起始位置OA,(2)终边:射线的终止位置OB,(3)顶点:射线的端点O.这时,图中的角可记为“角”或“”或简记为“”C任意角的分类(1)按旋转方向分(2)按角的终边位置分前提:角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合分类:E终边相同的角所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S|k360,kZ,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和思考:终边相同的角相等吗?相等的角终边相同吗?提示:终边相同的角不一定相等,它们相差360的整数倍;
2、相等的角,终边相同F度量角的两种单位制(1)角度制:定义:用度作为单位来度量角的单位制1度的角:周角的.(2)弧度制:定义:以弧度作为单位来度量角的单位制。1弧度的角:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角G弧度数的计算思考:比值与所取的圆的半径大小是否有关?提示:一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关H角度制与弧度制的换算I一些特殊角与弧度数的对应关系度030456090120135150180270360弧度02J.扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R,弧长为l,(02)为其圆心角,则(1)弧长公式:lR.(2)扇形面积公式:SlRR2.2、三角函数的概念A单位圆在
3、直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆B任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中,设是一个任意角,R它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(2)结论y叫做的正弦函数,记作sin ,即sin y;x叫做的余弦函数,记作cos_,即cos x;叫做的正切,记作tan_,即tan (x0)(3)总结tan (x0)是以角为自变量,以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数,正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数C正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin Rcos Rtan D.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1
4、)图示:(2)口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”E公式一3、诱导公式A公式二(1)角与角的终边关于原点对称如图所示(2)公式:sin()sin_,cos()cos_,tan()tan_.B公式三(1)角与角的终边关于x轴对称如图所示(2)公式:sin()sin_,cos()cos_,tan()tan_.C公式四(1)角与角的终边关于y轴对称如图所示(2)公式:sin()sin_,cos()cos_,tan()tan_.思考:(1)诱导公式中角只能是锐角吗?(2)诱导公式一四改变函数的名称吗?提示:(1)诱导公式中角可以是任意角,要注意正切函数中要求k,kZ.(2)诱导公式一四都不改变函数
5、名称D公式五(1)角与角的终边关于直线yx对称,如图所示(2)公式:sincos,cossin.E公式六(1)公式五与公式六中角的联系.(2)公式:sincos,cossin.口诀:奇变偶不变,符号看象限:对于k/2(kZ)的三角函数值,当k是偶数时,函数名不改变;当k是奇数时,函数名改变。看成锐角时,取原函数值的象限符号。4、三角函数的图象与性质A正弦曲线正弦函数ysin x,xR的图象叫正弦曲线B正弦函数图象的画法(1)几何法:利用单位圆画出ysin x,x0,2的图象;将图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)(2)五点法:画出正弦曲线在0,2上的图象的五个关键点(0,0),(,0),(
6、2,0),用光滑的曲线连接;将所得图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)C余弦曲线余弦函数ycos x,xR的图象叫余弦曲线D余弦函数图象的画法(1)要得到ycos x的图象,只需把ysin x的图象向左平移个单位长度即可(2)用“五点法”画余弦曲线ycos x在0,2上的图象时,所取的五个关键点分别为(0,1),(,1),(2,1),再用光滑的曲线连接思考:ycos x(xR)的图象可由ysin x(xR)的图象平移得到的原因是什么?提示:因为cos xsin,所以ysin x(xR)的图象向左平移个单位可得ycos x(xR)的图象E函数的周期性(1)周期函数:对于函数f(x),如果存在
7、一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(xT)f(x),那么这个函数的周期为T.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期F正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数ysin xycos x周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0)最小正周期22奇偶性奇函数偶函数解析式ysin xycos x图象值域1,11,1单调性在2k,kZ上单调递增,在2k,kZ上单调递减在2k,2k,kZ上单调递增,在2k,2k,kZ上单调递减最值x2k,kZ时,ymax1;x2k,kZ时,ymin1x2k,kZ时,ymax1;x2k,
8、kZ时,ymin1思考:ysin x和ycos x在区间(m,n)(其中0mn2)上都是减函数,你能确定m的最小值、n的最大值吗?提示:由正弦函数和余弦函数的单调性可知m,n.G、正切函数的图象与性质解析式ytan x图象定义域值域R周期奇偶性奇函数对称中心,kZ单调性在开区间,kZ内都是增函数5、三角恒等变换A两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C()cos()cos_cos_sin_sin_,R两角和的余弦公式C()cos()cos_cos_sin_sin_,RB.两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S()sin()sin_cos_cos_sin
9、_,R两角差的正弦S()sin()sin_cos_cos_sin_,RC.重要结论辅助角公式yasin xbcos xsin(x)(a,b不同时为0),其中cos ,sin .D.两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T()tan(),k(kZ) 且tan tan 1两角差的正切T()tan(),k(kZ)且tan tan 1E二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2sin 22sin_cos_C2cos 2cos2sin2T2tan 2F.余弦的二倍角公式的变形G正弦的二倍角公式的变形(1)sin cos sin 2,cos .(2)1sin 2(sin_cos_)2.H、
10、半角公式(1)sin ,(2)cos ,(3)tan ,(4)tan,tan.I对ysin(x),xR的图象的影响J(0)对ysin(x)的图象的影响KA(A0)对yAsin(x)的图象的影响L函数yAsin(x),A0,0中参数的物理意义常用的万能公式章末综合测评20题一、选择题1若集合Mx|x45k90,kZ,Nx|x90k45,kZ,则()AMNBMNCMN DMNMx|x45k90,kZx|x(2k1)45,kZ,Nx|x90k45,kZx|x(k2)45,kZ因为kZ,所以k2Z,且2k1为奇数,所以MN,故选C.2cos275cos215cos 75cos 15的值等于()A. B
11、.C. D1cos 75sin 15,原式sin215cos215sin 15cos 151sin 301.3化简cos2sin2得()Asin 2 Bsin 2Ccos 2 Dcos 2原式cos 2cossin 2.4已知tan()3,tan()5,则tan 2的值为()A B.C. Dtan 2tan()().5已知sin()cos cos()sin ,且在第三象限,则cos的值等于()A BC D由已知,得sin()sin(),得sin .在第三象限,cos ,cos.6函数y2sin的图象()A关于原点对称 B关于点对称C关于y轴对称 D关于直线x对称因为当x0时,y2sin,当x时
12、,y2sin,当x时,y2sin 00. 所以A、C、D错误,B正确7若函数f(x)sin(x)的图象(部分)如图所示,则和的取值是()A1, B1,C, D,由图象知,T44,.又当x时,y1,sin1,2k,kZ,当k0时,.8已知cos,0,则sinsin 等于()A BC. D.sinsin sin cos sinsincos.9已知sin cos ,(0,),则sin的值为()A. B.C. D.sin cos sin,sin,(0,),又sin,cos.sinsinsincoscossin.10已知tan 和tan是方程ax2bxc0的两根,则a,b,c的关系是()Abac B2b
13、acCcab Dcab由根与系数的关系得:tan tan,tan tan,tan1,得cab.11函数f(x)Asin x(0),对任意x有ff,且fa,那么f等于()AaB2a C3aD4a由ff,得f(x1)fff(x),即1是f(x)的周期而f(x)为奇函数,则fffa.12甲、乙两人从直径为2r的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动,已知甲的速度是乙的速度的两倍,乙绕水池一周停止运动,若用表示乙在某时刻旋转角的弧度数,l表示甲、乙两人的直线距离,则lf()的大致图象是()由题意知时,两人相遇排除A,C,两人的直线距离大于等于零,排除D,故选B.二、填空题13已知
14、tan ,那么cos sin 的值是_因为tan ,所以,所以cos ,sin ,cos sin .14设是第二象限角,P(x,4)为其终边上一点,且cos ,则tan 2_.因为是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,所以x0,因为cos ,所以x3,所以tan ,所以tan 2.15已知满足sin ,那么coscos的值为_coscossin,coscossincossincos 2(12sin2).16关于函数f(x)coscos,有下列说法:yf(x)的最大值为;yf(x)是以为最小正周期的周期函数;yf(x)在区间上单调递减;将函数ycos 2x的图象向左平移个单位后,将与已知函
15、数的图象重合其中正确说法的序号是_(把你认为正确的说法的序号都填上)f(x)coscoscossincos,f(x)max,即正确T,即正确f(x)的递减区间为2k2x2k(kZ),即kxk(kZ),k0时,x,即正确将函数ycos 2x向左平移个单位得ycosf(x),所以不正确三、解答题17已知cos(),且角在第四象限,计算:(1)sin(2);(2)(nZ)因为cos(),所以cos ,cos .又角在第四象限,所以sin .(1)sin(2)sin2()sin()sin .(2)4.18已知,为锐角,sin ,cos().(1)求sin的值;(2)求cos 的值(1)为锐角,sin
16、,cos ,sinsin coscos sin.(2),为锐角,(0,),由cos()得,sin(),cos cos()cos()cos sin()sin .19已知f(x)sin,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数ysin 2x(xR)的图象经过怎样的变换得到?(1)T,由2k2x2k(kZ),知kxk(kZ)所以所求函数的最小正周期为,所求的函数的单调递增区间为(kZ)(2)变换情况如下:ysin 2xysinysin.20已知函数f(x)cos,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间上的最小值和
17、最大值,并求出取得最值时x的值(1)因为f(x)cos,所以函数f(x)的最小正周期为T.由2k2x2k(kZ),得kxk(kZ),故函数f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)因为f(x)cos在区间上为增函数,在区间上为减函数,又f0,f,fcoscos1,所以函数f(x)在区间上的最大值为,此时x;最小值为1,此时x.21已知ABC的三个内角分别为A,B,C,且满足sin2(AC)sin Bcos B,cos(CA)2cos 2A.(1)试判断ABC的形状;(2)已知函数f(x)sin xcos x(xR),求f(A45)的值(1)sin2(AC)sin Bcos B,sin2Bsin B
18、cos B,sin B0,sin Bcos B,tan B,0B180,B60,又cos(CA)2cos 2A,得cos(1202A)2cos 2A,化简得sin 2Acos 2A,解得tan 2A,又0A120,02A240,2A120,A60,C60,ABC为等边三角形(2)f(x)sin xcos x22(sin xcos 60cos xsin 60)2sin(x60),f(A45)2sin 45.22如图,矩形ABCD的长AD2,宽AB1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值过点B作BHOA,垂足为H.设OAD,则BAH,OA2cos ,BHs
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