2017届高考数学大一轮复习第七章立体几何7.8立体几何中的向量方法课时规范训练理北师大版.doc
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1、第七章 立体几何 7.8 立体几何中的向量方法课时规范训练 理 北师大版A级基础演练1(2014高考广东卷)已知向量a(1,0,1),则下列向量中与a成60夹角的是()A(1,1,0)B(1,1,0)C(0,1,1) D(1,0,1)解析:各选项给出的向量的模都是,|a|.对于选项A,设b(1,1,0),则cosa,b.因为0a,b180,所以a,b120.对于选项B,设b(1,1,0),则cosa,b.因为0a,b180,所以a,b60,正确对于选项C,设b(0,1,1),则cosa,b.因为0a,b180,所以a,b120.对于选项D,设b(1,0,1),则cosa,b1.因为0a,b18
2、0,所以a,b180.故选B.答案:B2已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB2,CC12,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为()A2 B.C. D1解析:连接AC交BD于O,连结OE(图略),由题意得AC1OE,AC1平面BED,直线AC1到平面BED的距离等于点A到平面BED的距离,也等于点C到平面BED的距离,作CHOE于H,则CHOE1为所求,故选D.答案:D3如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且ACBC2,ACB90,F、G分别是线段AE、BC的中点,则AD与GF所成的角的余弦值为()A. BC. D解析:如图,正方形ACDE与等腰直
3、角三角形ACB所在的平面互相垂直,且ACBC2,ACB90,F、G分别是线段AE、BC的中点以C为原来建立空间直角坐标系Cxyz(图略),A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(0,2,1),(0,2,2),(1,2,1),|2,|,2,cos,.直线AD与GF所成角的余弦值为.答案:A4长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAA12,AD1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_解析:建立坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2),(1,0,2),(1,2,1),cos,.答案:5. 若A,B
4、,C是平面内的三点,设平面的法向量n(x,y,z),则xyz_.解析:,由得所以xyzyy23(4)答案:23(4)6如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_解析:连结D1M,则D1M为A1M在平面DCC1D1上的射影,在正方形DCC1D1中,M、N分别是CD、CC1的中点,D1MDN,由三垂线定理得A1MDN.即异面直线A1M与DN所成的角为90.答案:907(2015高考湖南卷)如图,已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,A1A6,且A1A底面ABCD,点P,Q分别在棱DD1,B
5、C上(1)若P是DD1的中点,证明:AB1PQ;(2)若PQ平面ABB1A1,二面角PQDA的余弦值为,求四面体ADPQ的体积解:由题设知,AA1,AB,AD两两垂直以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中mBQ,0m6.(1)证明:若P是DD1的中点,则P,.又(3,0,6),于是18180,所以,即AB1PQ.(2)由题设知,(6,m6,0),(0,3,6)是平面PQD内的两个不共线向量设n1(x,y,z)是平面PQD的
6、一个法向量,则即取y6,得n1(6m,6,3)又平面AQD的一个法向量是n2(0,0,1),所以cosn1,n2.而二面角PQDA的余弦值为,因此,解得m4或m8(舍去),此时Q(6,4,0)设(01),而(0,3,6)由此得点P(0,63,6), 所以(6,32,6)因为PQ平面ABB1A1,且平面ABB1A1的一个法向量是n3(0,1,0)所以n30,即320,亦即,从而P(0,4,4)于是,将四面体ADPQ视为以ADQ为底面的三棱锥PADQ,则其高h4,故四面体ADPQ的体积VSADQh66424.B级能力突破1(2014高考四川卷) 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点O为线段
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