2010年广州市高二数学竞赛试题及答案.docx
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1、2010年广州市高二数学竞赛试题 2010.5.9考生留意:用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上; 不准运用计算器; 考试用时120分钟,全卷满分150分一、选择题:本大题共4小题,每小题6分,满分24分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 直线R与圆的交点个数是( )A. 0 B. 1 C. 2 D.多数个2. 今年春,我国西南局部地区遭遇了罕见的旱灾,苍天无情人有情,某中学组织学生在社区开展 捐献活动,第一天只有10人捐款,人均捐款10元,之后通过主动宣扬,从第二天起,每天的捐款人数是前一天的2倍,且人均捐款数比前一天多5元则截止第5天(包括第5天)捐款总数是( )
2、. A4800元 B8000元 C9600元 D11200元3. 函数R的最大值与最小值分别为 A. B. C. D. 4. 若点是圆内的动点,则函数的一个零点在 内, 另一个零点在内的概率为 A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题6分,满分36分5. 已知大于1的实数满意, 则的最小值为 .6. 将一边长为4的正方形纸片依据图1中的虚线所示的方法剪开后 拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 .7. 设、都是单位向量,且0, 则的最大值为 .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8. 对于两个正整数,定义某种运算“”如下,当都为正偶数或正奇数时, ;当中一个为正偶数,另一
3、个为正奇数时,则在此定义下, 集合NN中元素的个数是 . 9. 设是数列的前项与,若N,则_.10. 在Rt中,假如椭圆经过两点,它的一个焦点为,另一个焦 点在上,则这个椭圆的离心率为 .三、解答题:本大题共5小题,满分90分解答须写出文字说明、证明过程与演算步骤11(本小题满分15分) 在中,分别是内角的对边,已知. (1) 求的值; (2)求的值.12(本小题满分15分) 如图,已知二面角的平面角为, 在半平面内有一个半圆, 其直径在上, 是这个半圆上任一点(除、外), 直线、与另一个半平面所成的 角分别为、. 试证明为定值.13. (本小题满分20分) 如图, 矩形中, , , 现以矩形
4、的边为轴, 的中点为原点建立直角坐标系, 是轴上方一点, 使得、与线段分别交于点、, 且成等比数列. (1) 求动点的轨迹方程; (2) 求动点到直线间隔 的最大值及获得最大值时点的坐标14(本小题满分20分) 设,函数. (1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2)当时,求函数的最小值.15(本小题满分20分) 已知定义在上的函数满意:,且对于随意实数, 总有成立. (1)求的值,并证明为偶函数; (2)若数列满意,求数列的通项公式; (3)若对于随意非零实数,总有.设有理数满意,推断与 的大小关系,并证明你的结论.2010年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明:1参考答案与评分标准
5、指出了每道题要考察的主要学问与实力,并给出了一种或几种解法供参考,假如考生的解法与参考答案不同,可依据试题主要考察的学问点与实力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,假如后继局部的解答未变更该题的内容与难度,可视影响的程度确定后继局部的得分,但所给分数不得超过该局部正确解容许得分数的一半;假如后继局部的解答有较严峻的错误,就不再给分 3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数,选择题与填空题不给中间分一、选择题:每小题6分,满分24分.1C 2B 3D 4A二、填空题:每小题6分,满分36分.5. 6. 7. 8. 9.
6、10. 三、解答题:满分90分11. (本小题满分15分)解: (1) (2) , . . 由 解得 12. (本小题满分15分)证明:过作,为垂足,在内,作,为垂足, 连接,则. 平面,平面,平面.平面,是二面角的平面角. 在Rt中,. 在Rt与Rt中,. 13. (本小题满分20分)解:(1)设点的坐标为,过作交的延长线于,交的延长线于.在中, , 得,得.在中, , 得.同理可得. 成等比数列,化简得. 动点的轨迹方程为.(2)由图易知当与直线平行的直线与半椭圆相切于点时,点到直线间隔 的最大. 设与直线平行的直线方程为,代入,得 ,由,解得,由,得.故点到直线间隔 的最大值为.把代入式
7、,可解得点的坐标为.14. (本小题满分20分)解:(1)当时,当时,令,得 所以切点为(1,2),切线的斜率为1,所以曲线在处的切线方程为:. (2)当时, .,恒成立. 在上为增函数. 故当时,. 当时,()()当即时,若时,所以在区间上为增函数.故当时,且此时. ()当,即时,若时,; 若时, 所以在区间上为减函数,在上为增函数, 故当时,且此时. ()当;即时,若时,,所以在区间1,上为减函数,故当时,. 综上所述,当时,在与上的最小值都是, 所以在上的最小值为;当时,在时的最小值为,而, 所以在上的最小值为.当时,在时最小值为,在时的最小值为,而, 所以在上的最小值为.所以函数的最小
8、值为 15.(本小题满分20分)解:(1)令,又,. 令,得 ,即 对随意的实数总成立, 为偶函数. (2)令,得 ,.令,得,是以为首项,以为公比的等比数列. . (3)结论:. 证明:时,,,即.令(),故,总有成立. 则对于,总有成立. 对于,若,则有成立.,所以可设,其中是非负整数,都是正整数,则,令,则.,即. 函数为偶函数,.如图,内接于圆(为圆心),是圆的直径, 四边形是平行四边形,且平面 (1)证明:平面平面; (2)若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值; (3)在线段上是否存在一点,使得平面?证明你的结论解:(1)证:平面,平面,是圆的直径,是圆周上一点,. 又,平面
9、 2分是平行四边形,平面.平面,平面平面. 4分(2)由(1)知平面,.为二面角的平面角. BCDEOAMNF. 6分平面,由(1)平面平面,交线,在平面内,过作于,则平面,为与平面所成的角. 8分在Rt中,在Rt中,,在Rt中,在Rt中,直线与平面所成角的正弦值为. 10分(3)在上存在点,使得平面,且该点为的中点 11分证明如下:如图,取的中点,连,分别为的中点, 平面,平面,平面. 同理可得平面,平面平面 平面,平面 15分13(本小题满分20分) 已知椭圆的中心在原点,其左焦点与抛物线的焦点重合,过且与轴垂直的 直线与椭圆交于两点,与抛物线交于两点,且.(1)求椭圆的方程;(2)若圆的
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