2010年广州市高二数学竞赛试题~doc.doc
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1、.图12010 年广州市高二数学竞赛试题2010.5.9考生注意:用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上;不准使用计算器;考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,满分 24 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 直线 R 与圆 的交点个数是( )10(xay)240xyA. 0 B. 1 C. 2 D.无数个2. 今年春,我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾,苍天无情人有情,某中学组织学生在社区开展 募捐活动,第一天只有 10 人捐款,人均捐款 10 元,之后通过积极宣传,从第二天起,每天的捐款人数是前一天的 2 倍,且人
2、均捐款数比前一天多 5 元则截止第 5 天(包括第 5 天)捐款总数是( ).A4800 元 B8000 元 C9600 元 D11200 元3. 函数 R 的最大值和最小值分别为cos2in(fxx)A. B. C. D. 7,087,289,089,284. 若点 是圆 内的动点,则函数 的一个零点在ab21xy2fxab内, 另一个零点在 内的概率为10A. B. C. D.412二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分5. 已知大于 1 的实数 满足 ,xylg2lgxyy则 的最小值为 .lgx6. 将一边长为 4 的正方形纸片按照图 1 中的虚线所示的方法剪开
3、后拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为 .7. 设 、 、 都是单位向量,且 0, 则 的最大值为 .abcababcw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8. 对于两个正整数 ,定义某种运算“ ”如下,当 都为正偶数或正奇数时,,mnA,mn;当 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, ,则在此定义下, 集合nA nA.PxyD1C1ODCB AlBAMN N 中元素的个数是 . ,10,MpqpA*,q9. 设 是数列 的前 项和,若 N ,则 _.nSna113,2nna(*)201S10. 在 Rt 中, ,如果椭圆经过 两点,它的一个焦点为 ,另一个焦ABCABC点在 上,则这个椭圆
4、的离心率为 .三、解答题:本大题共 5 小题,满分 90 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤11 (本小题满分 15 分)在 中, 分别是内角 的对边,已知 .ABC,abcABC3272,cos,4ABC(1) 求 的值;os(2)求 的值.12 (本小题满分 15 分)如图,已知二面角 的平面角为 , 在半平面 内有一个半圆 , 其直径 在 上, l45OABl是这个半圆 上任一点(除 、 外), 直线 、 与另一个半平面 所成的MOABB角分别为 、 . 试证明 为定值.12221cos13. (本小题满分 20 分)如图, 矩形 中, , , 现以矩形 的 边为 轴, 的中点为原
5、点建立直角坐ABCD106BCABCDxAB标系, 是 轴上方一点, 使得 、 与线段 分别交于点 、 , PxP1且 成等比数列.11(1) 求动点 的轨迹方程;.(2) 求动点 到直线 距离P:l60xy的最大值及取得最大值时点 的坐标P14 (本小题满分 20 分)设 ,函数 .0a|1ln|)(2xaxf(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;1)(fy,f(2)当 时,求函数 的最小值.),x15 (本小题满分 20 分)已知定义在 上的函数 满足: ,且对于任意实数 ,R()fx5(1)2fxy、总有 成立.()fxyy(1)求 的值,并证明 为偶函数;0()fx(2)若数列 满
6、足 ,求数列 的通项公式; na21(),23)nfn na(3)若对于任意非零实数 ,总有 .设有理数 满足 ,判断 和 的大小关y12,x12|x1()fx2f系,并证明你的结论. 2010 年广州市高二数学竞赛试题参考答案与评分标准说明:1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数2对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果
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