高等数学B复习题一.doc
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1、微积分(第3版),赵树嫄主编,中国人民大学出版社,2007习题参考答案ch4 中值定理与导数应用 习题四(A) P194 参考答案P4275. 用Lagrange定理证明:若f(x)=f(0)=0, 且当x0时f(x)0, 则当x0时f(x)0. 证明:当x0时, 由Lagrange定理得 f(x)f(0)=f(c)(x0), (0c0. 6. 证明不等式 . 证明:根据Lagrange中值定理, 有c介于x,y之间, 使得 故 , 故命题成立. 8. 证明23, (x0, x1). 证明:令y=23x+1, 则y=3(1), y=0. y在(0,1)上严格单调下降, 在(1,+) 上y严格单
2、调上升, 而在x=1处y达到最小值0. 如图所示, 故y0, (x0, x1).此即 23, (x0, x1). 图t8yOxy=y(x)119. 利用L.Hospitals Rule求极限.(1) 解:=2. (3) . 解:=. (5) , (a0). 解:=. 16.证明y=xln(1+x2)单调增加. 证明:y=1=0.故y单调增加. 17.证明y=sinxx单调递减. 证明:y=cosx10.故y单调递减. 18.求极值. (1) y=x33 x2+7.解:从y= 3x26x=0解得驻点x=0,2. 根据y的符号变化可知y(0)=7是极大值, y(2)=3是极小值. (3) y=.解
3、:从y=0解得驻点x=1/2. 根据y的符号变化可知y(1/2)=3/2是极大值. (5) y=(x+1)2/3(x5)2. 解:从y=0解得驻点 1/2,5,奇点1. 根据y的符号变化可知y(0.5)= 是极大值, y(5)=0是极小值 . 奇点x=1处y有极小值0. (7) y=(x1). 解:从y=得驻点x=2/5, 奇点x=0. 根据y的符号变化可知y(2/5)= 是极小值. 在奇点x=0处y有极大值0. 19. 利用2阶导数判断极值. (1) y=x33x29x5. 解:从y= 3x26x9=0解得驻点x=1,3. y=6(x1), y(1)0,故y(1)=0是极大值, y(3)=3
4、2是极小值. (3) y=2xln(4x)2.解:y=2x2ln(4x), 从y=2(1)=0解得驻点x=1. y=, y(1)0, 故y(1)=24ln2是极小值. 20.求指定区间上的最大最小值. (1) y=x42x2+5, 2,2.解:从y= 4x34x=0解得驻点x=0,1. 比较端点处的函数值y(2)=13与驻点处的函数值y(0)=5 ,y(1)=4得y的最大值y(2)=13, 最小值y(1)=4. (3) y=, 1/2,1.解:从y=0解得驻点x=0,2, 比较函数值y(0)=0,y(2)=4与端点处的函数值y(1/2)=1/2, y(1)=1/2得y在1/2,1上的最大值y(
5、1/2)=y(1)=1/2, 最小值y(0)=0. 21. 设f(x)=ax36ax2+b, (a0), 区间1,2上的最大3, 最小值29 ,求a,b.解:从y= 3ax212ax =0解得驻点x=0,4, 比较函数值y(0)=b, y(4)=0, 与端点处的函数值y(1)=5a+b, y(2)= 16a+b,可以得到y的最大值3与最小值29. 显然最大值f(0)=b=3, 最小值y(2)=16a+b=29. 故a=2,b=3.24. 怎样做总造价最低?解:设池底半径xm,高ym. 依题得 x2y=300, 材料总造价P=2xy+2x2, (这里假设侧面单位造价为1). 从而P=2x2+60
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