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1、第一节第一节 微分方程的概念微分方程的概念 第二节第二节 常见的一阶微分方程常见的一阶微分方程 第三节第三节 高阶微分方程高阶微分方程 第四节第四节 欧拉方程欧拉方程 第五节第五节 微分方程的应用微分方程的应用 第六节第六节 差分方程简介差分方程简介 微分方程简介 方程:方程:线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、 对数方程、三角方程和方程组等。 用微积分描述运动,便得到微分方程微分方程。例如描述物质 在一定条件下的运动变化规律;某个物体在重力作用 下自由下落时距离随时间变化的规律;火箭在发动机 推动下在空间飞行的轨道等。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的,苏格兰 数学家耐普尔创立对数
2、的时候,就讨论过微分方程的 近似解。牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方 程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布 贝努利、 欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人 又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 微分方程简介 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理 学,以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的 其他分支的新发展,如复变函数、李群、组合拓扑 学等,都对常微分方程的发展产生了深刻的影响, 当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论 研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候,利用了微分 方程这个工具,从理论上得到了行星运动规律。后 来,法国天文学家勒维烈和英
3、国天文学家亚当斯使 用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位 置。 微分方程简介 利用微分方程可以精确地表述事物变化所遵循的基 本规律,有了解方程的方法。它也就成了最有生命 力的数学分支。 常微分方程的特点:求通解 与特解 常微分方程的应用:自动控制、各种电子学装置的 设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研 究、化学反应过程稳定性的研 究等。这些问题都可 以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质 的问题。应该说,应用常微分方程理论已经取得了 很大的成就。 第一节第一节 微分方程的概念微分方程的概念 一一.实例实例 例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐
4、 标,求此曲线方程. 设曲线方程为 y = y(x), 则 1|, 0 x yxy c x xdxy 2 2 1c 1 2 2 x y 例2. 质量为m的物体垂直上抛, t =0 时,初始位移和初速度分别为 , 00 vS 求物体的运动规律. 设运动方程为S=S(t), 则 ,m)(mgtS 0000 |,|vSSS tt 两次积分分别得出: ,)( 1 cgttS , 2 1 )( 21 2 ctcgttS 条件代入: , 0201 Scvc , 2 1 )( 00 2 StvgttS 二二. 概念概念 1. 微分方程微分方程: 含有未知函数的导数或微分的方程. 未知函数为一元函数的微分方程
5、称为常微分方程.(前例) 未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程. 本章内容 2. 阶阶: 未知函数的最高阶导数的阶数. 例1是一阶微分方程,例2是二阶微分方程. n阶方程一般形式: 0),( )( n yyyyxF 必须出现 3. 解解: 如果将函数 y=y(x) 代入方程后恒等,则称其为方程的解. 如果解中含有任意常数,且个数与阶数相同 通解 不含任意常数的解 特解 必须独立 n阶方程通解一般形式: ),( 21n cccxyy 4. 定解条件或定解条件或初值条件初值条件: 确定通解中任意常数值的条件. 定解条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解! . 5. 几何意义几何意义: 通解
6、 积分曲线族 特解 积分曲线 例:验证 是 的通解 cyx 22 y x y 对 用隐函数求导法得: cyx 22 y x y 故 是方程的解, cyx 22 且含有一个任意常数. 通解 第二节第二节 几种常见的一阶微分方程几种常见的一阶微分方程 本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型. 一阶微分方程的一般形式 我们研究的形式 0),( y yxF ),(yxf dx dy 一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程 dyygdxxf)()( (1) 解法: 1.分离变量: dyygdxxf)()( 2.两边积分: dyygdxxf)()( 3.得出通解: CxFyG)()( 只写一个
7、任意常数 例: xy dx dy 2).1 ( xdxdy y 2 1 xdxdy y 2 1 ,|ln 1 2 Cxy 2 11 2 xCCx eeey 任意常数,记为C 2 x Cey 绝对值号可省略 1|,).2( 0 2 2 x y yxy xyx y dx x x dy y y 22 11 dx x x dy y y 22 11 1 22 )1ln()1ln(Cxy)(),1 (1 2 22C eCxCy 定解条件代入: C=2 故特解为: ).1 (21 22 xy 二二.齐次方程齐次方程 如果方程(1)可化成: )( x y dx dy 齐次方程 解法: 令 化成可分离变量方程.
8、 x y u xuy dx du xu dx dy )(u dx du xudx xuu du1 )( 例: 2 2 xxy y dx dy 1 )( 2 x y x y dx dy 1 2 u u dx du xu dx x du u 1 ) 1 1 ( xCuulnln 1 x y u x y u x y Cey *可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 00 1 111 cc cybxa cbyax dx dy 或,方程 解法:若解法:若 0 11 ba ba 则先令则先令 , 0 , 0 111 cybxa cbyax 求出解求出解 , 00 yx 再作变量代换再作变量代换 , ,
9、0 0 yYy xXx 于是原方程化为齐次方程于是原方程化为齐次方程. 若若 ,0 11 ba ba 作变量代换,作变量代换, byaxv 原方程化为可分离变量的方程原方程化为可分离变量的方程. 例例 解方程解方程(2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)dy=0. 0 4 5- 2 2 11 ba ba 解: , 06-42 , 035-2 yx yx 令 , 1 , 1 Yy Xx 令 解得解得x0=1, y0=1 X Y X Y YX YX dx dy 42 52 42 52 则 dX du Xu dX dY X Y u有令, dX X du uu u u u dX du Xu 1 27
10、4 24 , 42 52 2 即方程变为 2 2 | ) 14()2( |ln 3 1 ) 14 1 3 4 2 1 3 2 ( 274 24 cuudu uu du uu u .) 14()2( 32 cXuu故 Cxyyx x y X Y u ) 34() 32( , 1 1 2 代入得将 三三.一阶线性方程一阶线性方程 一般形式: )()(xQyxP dx dy (2) :0)(xQ 0)(yxP dx dy (3) 一阶线性齐次方程 一阶线性非齐次方程 :0)(xQ 自由项 方程(3)是可分离变量方程, 其通解为: dxxP Cey )( 方程(2)的通解 常数变易法 设(2)的通解:
11、 dxxP exCy )( )(代入方程(2): dxxPdxxP exPxCexCy )()( )()()( dxxP exQxC )( )()( CdxexQxC dxxP )( )()( 则方程(2)的通解: )( )()( CdxexQey dxxPdxxP (4) 注: 1. 一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式(4) 计算皆可;. 2. 公式(4)中不定积分只求一个原函数即可; 3. dxexQeCey dxxPdxxPdxxP)()()( )( 非齐次方程的特解 齐次方程的通解 非齐次方程 解的结构 例: xexy dx dy x cos2 2 cos 222 Cdxex
12、eey xdx x xdx cos 2 Cxdxe x )(sin 2 Cxe x 例: 求方程 满足初始条件 的特解. y dx dy yx)( 2 1| 3x y 将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程: yx ydy dx 1 yyQ y yP)(, 1 )( 11 Cdyyeex dy y dy y )(Cyy 由 得: 1| 3x y2C 故所求特解为: )2( yyx 四四.伯努利方程伯努利方程 一般形式: ) 1 , 0( ,)()(nyxQyxP dx dy n 当 n= 0 或1时,这是线性方程. 当 时,可以化成线性方程: 1 , 0n 两端同除以 , n y),
13、()( 1 xQyxP dx dy y nn ),()( )( 1 1 1 1 xQyxP dx yd n n n 令 , 1 n yz 则 ).()1 ()()1 (xQnzxPn dx dz 关于 z 的线性方程 求出通解后再还原回 y 例: 2 yyxy 2 11 y x y x y 两端同除以 , 2 y x y x yy 11 12 令 , 1 yz, 11 x z x z 1 11 Cdxe x ez dx x dx x )( 1 Cx x 代入 , 1 yz 通解为 . cx x y 五五.全微分方程全微分方程 0),(),(dyyxQdxyxP 对于微分方程 ),(yxdU C
14、yxU),(则通解为 全微分方程 注: (1).当P(x,y),Q(x,y)在单连域D内具有一阶连续偏导数,且 x Q y P 时,上述方程为全微分方程. (2). DyxCdyyxQdxyxPyxU y y x x ),( ,),(),(),( 000 00 (3). 对于非全微分方程,有时可以找到函数 , 使得 ),(yx 0),(),(),(),(dyyxQyxdxyxPyx 全微分方程 积分因子 (4). 观察法往往很实用. 例: 0)(2)( 2 dyyxydxxy x Q y y P 2 因为 全微分方程 取 , 0, 0 00 yx CdyyxydxxyxU yx 00 )(2)
15、(),( Cyxyx 322 3 2 2 1 解法一: 解法二: 02)2( 22 dyyxdxxydydxy 0) 3 2 () 2 ()( 3 2 2 yd x dxyd 0) 3 2 2 ( 3 2 2 y x xyd Cyxyx 322 3 2 2 1 例: 0 xdyydx 非全微分方程 由于 2 )( y xdyydx y x d 则 是积分因子, 2 1 y C y x 同乘以积分因子并积分得通解: xyx 1 , 1 2 易知 也是积分因子 例: 0)1 ()1 (xdyxyydxxy 非全微分方程 变形 0)()(xdyydxxyydxxdy 0)()( 22 y dy x
16、dx yxxyd则 是积分因子, 22 1 yx 0 )( 22 y dy x dx yx xyd .|ln 1 C y x xy 注意注意:其他类型的微分方程往往可以化成上述类型其他类型的微分方程往往可以化成上述类型 例: yyx y 2sincos 1 视 x 为 y 函数,可化成线性方程 yxy dy dx 2sincos 通解为: 2sin coscos Cdyeyex ydyydy )sin1 (2 sin yce y 思考 )(, 1) 1 (,)() 1()( ), 1 )(. 1 11 xyydtttyxdttyx xy xx 求 内有连续导数且满足在设 .e)( , e ,e
17、 , 0)() 13()( ),(d)(d)( ),() 1(d)()(d)( 3 1 1 3 1 2 2 11 11 xxy C xCy xyxxyx xyxtttytty xxyxtttyxxytty x x x xx xx 故 把初始条件代入得: 分离变量并求解得: 再求导并整理得: 整理得: 求导得:等式两端同时关于 )(,) 2 1 ()( ), 0)(. 2 222 2 4 224 tfdxdyyxfetf tf tyx t 求 上连续且满足在设 .e ) 14()( . 1, 1)0() 1 ( .4edtete8e)( , e8)(8)( ) 1 (d) 2 1 (2ed) 2
18、 1 (de)( 2 22 2 22 42 24 d8 t4 d8 4 2 0 4 2 0 2 0 4 t t tttt t t t t t ttf Cf CtCtf tttftf t rrrfrrrftf 故 代入上式得:式知:由 得:解此一阶线性微分方程 求导并整理得:等式两端同时关于 , .)arctan( ,) 1arctan( ,dd 1 1 1 d d )( 1 d d 2 2 2 2 2 Cyxy Cxuu xu u u ux u yxu yxx y :故该微分方程的通解为 等式两端同时积分得: 分离变量得: ,得:令 ,把原式整理得: xyyxx y 2 1 d d . 3 2
19、2 第三节第三节 高阶微分方程高阶微分方程 一、可降阶的微分方程-变量代换法 两边积分: 连续积分n次得出含有n个任意常数的通解. 1. 型方程型方程 )( )( xfy n )( )( xfy n 1 )1( )(Cdxxfy n 再积分: 21 )2( )(CdxCdxxfy n 例: xxysin )3( 逐次积分得: 1 2 2 cosC x xy , 6 sin 21 3 CxC x xy 32 2 1 4 224 cosCxCx Cx xy ),(pxfp 2. 型方程型方程 ),(yxfy 令 ,则 py p dx dp y 方程变为: 解出这个一阶方程的通解: ),( 1 Cx
20、p 则原方程的通解为: 21) ,(CdxCxy 例: yyyx ln 令 ,则 py dx dp y pp dx dp xln 方程变为: dx xpp dp1 ln 解得: xC ep 1 xC ey 1 2 1 1 1 Ce C y xC 例: 3|, 1|,2)1 ( 00 2 xx yyyxyx 令 ,则 py dx dp y xp dx dp x2)1 ( 2 dx x x p dp 2 1 2 )1 ( 2 1 xCpy , 3| 0 x y因为 3 1 C )1 (3 2 xy 则 2 3 3Cxxy , 1| 0 x y因为 1 2 C 所求特解为: 13 3 xxy ),(
21、pyf dy dp p 3. 型方程型方程 ),(yyfy 令 , py 方程变为: 解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解: ),( 1 Cyyp 则原方程的通解为: 2 1) ,( Cx Cy dy 例: 0 2 yyy , dy dp p dx dy dy dp dx dp y 则 令 , py , dy dp py 则 0 2 p dy dp yp方程变为: 即: 0 p dy dp y 或者 0p 0 p dy dp y 的通解为: yCp 1 yCy 1 其通解为: xC eCy 1 2 0p即 0 y 其通解为: Cy xC eCy 1 2 例: 1 2 yy 令 , py ,
22、 dx dp y 则 1 2 p dx dp 方程变为: 即: dx p dp 1 2 此题看作类型二和类型三 皆可,经过尝试用前者简单 )tan( 1 cxp )tan( 1 cxy 21 | )cos(|lnccxy 练习 的特解满足求2)0(, 1)0()(2. 1 2 yyyyyy . 4 tan , 4 )tan(arctan ,d 1 d 1 d d . 121 , 11 ,d 2 d 1 1 ).0() 1(2 d d ),(2 d d d d 2 1)0( 22 2 2 1 2 1 2 1 2 xy CCxyCxy x y y y x y Cyy yCyyCp y y p p
23、pp y p y pp y p yp y p pypy y 故微分方程的特解为: 积分得: 分离变量得:,则方程化为: 代入上式得:时,把初始条件 ,即:两端积分并化简得: 分离变量得: ,否则与已知条件矛盾即: ,原方程可化为:,则令 的通解求1)(2. 2 2 yyyx .1 3 2 , 11 ,d 1 d 1 2 , 1 d d 2 d d 2 2 3 1 1 11 2 2 CxC C y xCyxCp x x p p p p x p xp x p ypy :积分得微分方程通解为 ,即: 简得:等式两端同时积分并化 分离变量得: 原方程可化为: ,则令 二、二、 高阶线性微分方程解的结构
24、高阶线性微分方程解的结构 一般形式: ) 1 (),()()()( )2( 2 )1( 1 )( xfyxPyxPyxPy n nnn 当 时, 0)(xf 当 时, 0)(xf n阶线性非奇次方程 0)()()( )2( 2 )1( 1 )( yxPyxPyxPy n nnn n阶线性奇次方程 下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构. 1. 二阶线性奇次方程解的结构二阶线性奇次方程解的结构 一般形式: )2(, 0)()( yxQyxPy 显然, y = 0 是(2)的解. 平凡解 讨论非平凡解: 定理. 如果 是(2)的两个解,则 也是(2)的解,其中 为任意常数. )(),(
25、21 xyxy)()( 2211 xyCxyCy 21,C C 证明: )(),( 21 xyxy 由于 是(2)的两个解, 所以 0)()( 111 yxQyxPy 0)()( 222 yxQyxPy )()( 2211 xyCxyCy 将 代入(2)的左端: )()( 221122112211 yCyCxQyCyCxPyCyC 21111 )()(CyxQyxPyC )()( 222 yxQyxPy 000 则 也是(2)的解. )()( 2211 xyCxyCy 11212211 )2(CyyCCyCyCy 注意: 不一定是通解. 2211 yCyCy 例如: 1 y 是(2)的解, 则
26、 也是(2)的解. 1 2y 此时 不是通解 函数的线性相关和线性无关 设 为定义在 I 上的 n 个函数, n yyy, 21 0 2211 nny kykyk n kkk, 21 如果存在n个不全为零的常数 ,使得 线性相关 否则,线性无关 例如: 线性相关 在任意区间I上: xx 22 sin,cos, 1 取 , 1, 1 321 kkk0sincos1 22 xx 2 , 1xx 线性无关 要使 ,必须 0 2 321 xkxkk. 0 321 kkk 对于两个函数: 如果它们之比为常数,则线性相关;否则,线性无关 定理5.3.1 若 是(2)的两个线性无关的特解,则 )(),( 2
27、1 xyxy 2211 yCyCy 21,C C 是(2)的通解, 为任意常数. 例如: 0 yyxyxysin,cos 21 是它的特解, xCxCysincos 21 线性无关 通解 2. 二阶线性非奇次方程解的结构二阶线性非奇次方程解的结构 一般形式: )3(),()()(xfyxQyxPy 定理5.3.2 若 是(3)的一个特解, 是(3)对应的奇 次方程(2)的通解,则 y 2211 yCyCY yYy是(3)的通解. yYy则 是(2)的通解. 而 是(3)的一个特解 y 证明: 由于Y是(2)的的通解, 所以 0)()( YxQYxPY )()()(xfyxQyxPy )()(
28、yYxQyYxPyY )()(0 xfxf 将 代入(3)的左端: yYy )()(YxQYxPY)()( yxQyxPy 注意: Y 中含有两个任意 常数,因此 y 是通解. 注:当(3)式的自由项为几项之和时,特解如何求出? 证明: 定理5.3.3 若 分别是 )(),( 21 xyxy 的特解,则 是方程 )()()( 2 xfyxQyxPy )()()( 1 xfyxQyxPy )4()()()()( 21 xfxfyxQyxPy 的特解. )()( 21 xyxy 将 代入(4)的左端: )()( 21 xyxy )()( 212121 yyxQyyxPyy )()( 111 yxQ
29、yxPy)()( 222 yxQyxPy )()( 21 xfxf )()( 21 xyxy 则 是(4)的解. 3212211 3212211 3212211 32211 21 321 )1 ()( )1 ()( )()( )( , )()()( )(),(),(. yCCyCyCD yCCyCyCC yCCyCyCB yyCyCA CC xfyxQyxPy xyxyxy 次方程的通解是是任意常数,则该非齐的解, 程都是二阶非齐次线性方设线性无关函数例 3. 二阶常系数线性奇次方程二阶常系数线性奇次方程 一般形式: ) 1 (, 0 qyypy p,q为常数 分析 由方程特点 假设 rx e
30、y rx ey 将 代入(1)得: , 0)( 2 rx eqprr )2(, 0 2 qprr 当 满足(2)时, 是(1)的一个特解. r rx e 特征方程 特征根 根据特征根的三种不同情形, 方程(1)的通解有三种情形. 0 u 0)()2( 1 2 11 uqprrupru 21 rr 1.特征根为相异实根 : xrxr eyey 21 21 ,是(1)的两个线性无关的特解, xrxr eCeCy 21 21 则(1)的通解为 21 rr 2.特征根为二重根 : xr ey 1 1 是(1)的一个特解, 求另一个线性无关的特解. xr exuy 1 )( 2 设 代入方程(1): 取
31、 , xu xr xey 1 2 得到另一个线性无关的特解 xrxrxr exCCxeCeCy 111 )( 2121 则(1)的通解为 线性无关特解 )0(, 21 irir3.特征根为共轭复根: xixi eyey )( 2 )( 1 , 是(1)的两个特解, )sin(cos )( 1 xixeey xxi )sin(cos )( 2 xixeey xxi xeyyy x cos)( 2 1 211 xeyy i y x sin)( 2 1 212 )sincos( 21 xCxCey x 则(1)的通解为 例: 023 yyy , 023 2 rr, 2, 1 21 rr 则通解为 x
32、x eCeCy 2 21 xixeixsincos 欧拉公式: 例: 2|, 4|, 02 00 xx yyyyy , 012 2 rr, 1 21 rr 则通解为 x exCCy )( 21 44| 10 Cy x x exCCCy )( 212 22| 20 Cy x 则特解为 x exy )24( 例: 032 yyy , 032 2 rr ,21 2, 1 ir 则通解为 )2sin2cos( 21 xCxCey x )3(, 0 )2( 2 )1( 1 )( ypypypy n nnn 0 2 2 1 1 n nnn prprpr 注:上述解法可推广到 n 阶常系数线性奇次方程: 特
33、征方程 特征根 通解中的对应项 单实根 r一项 一对单复根 ir 2 , 1 两项 k 重实根 rk 项 一对 k 重复根 ir 2, 1 2k 项 rx Ce )( 1 21 k k rx xCxCCe )sincos( 21 xCxCe x sin)( cos)( 1 21 1 21 xxDxDD xxCxCCe k k k k x 例: 0 )3()4()5( yyyy , 0 2345 rrrr , 1 , 0, 0iir 则通解为 xCxCeCxCCy x sincos 54321 4. 二阶常系数线性非奇次方程二阶常系数线性非奇次方程 一般形式: )4(),(xfqyypy p,q
34、为常数 yYy由解的结构可知, (4)的通解是: 故只要求出(4)的一个特解 . y待定系数法 n 次多项式与 指数函数乘积 待定多项式 x* e )x(Qy 设设 x m e )x(P)x( f 1. (1).当 不是特征根时: 因此取 m1m 1m 1 m 0m )()(bxbxbxbxQxQ (2).当 是特征单根时: 因此 是 m次多项式, )(x Q 是m+1次多项式, )(xQ )代入(代入(将将4e )x(Qy x* )5()()()2( 2 xPQqpQpQ m , 0 2 qp x m * e )x(Qy 则则 , 02 , 0 2 pqp x m * e )x(xQy 设设
35、 例:求 的一个特解. 1332 xyyy , 032 2 rr 由于 不是特征根, baxy 则设 将 代入方程得: y 13323xbaax 132 33 ba a 3 1 1 b a 3 1 xy则一个特解为 (3).当 是特征重根时: 因此 是 m次多项式, )(x Q 是 m+2 次多项式, )(xQ , 02 , 0 2 pqp x m 2* e )x(Qxy 设设 0 由于 是特征单根, x ebaxxy 2 )( 则设 将 代入方程得: y xbaax22 02 12 ba a 1 2 1 b a x exxy 2 ) 1 2 1 ( 则一个特解为 因此通解为: xx eCeC
36、y 3 2 2 1 x ex x 2 2 ) 2 ( 例:求 的通解. x xeyyy 2 65 , 065 2 rr, 3, 2 21 rr 则对应的奇次方程的通解为 xx eCeCY 3 2 2 1 2 2. 型 此时设特解为: 不是特征根 是特征根 证明略 m 次多项式 n,maxml sin)(cos)()( n xxPxxPexf l x sin)(Rcos)(R )2( m )1( m xxxxexy xk i i k 1 0 例:求 的一个特解. xeyyy x cos22 )sincos(xbxaxey x 则设 将 代入方程得: y xxaxbcos)sincos(2 2 1
37、 , 0ba xe x y x sin 2 则一个特解为 , 022 2 rr 是特征根是特征根由于由于i 1 例: 求 的通解. xxyy2sin4 , 04 2 r 则对应的奇次方程的通解为 xCxCY2sin2cos 21 ,2 2, 1 ir ,1 2, 1 ir 由于 是特征根, 2sin)(2cos)(xdcxxbaxxy 则设 将 代入方程得: y xxxbcaxxdacx2sin2sin)428(2cos)428( x x x x y2sin 16 2cos 8 2 则一个特解为 042 18 042 0 bc a da c 16 1 0 0 8 1 d c b a 因此通解为
38、: xCxCy2sin2cos 21 x x x x 2sin 16 2cos 8 2 ii2 题型解析 通解求 x eyyxyx 3 6)1 (241. .e 5 1 ee .e 5 1 ee e6 d d d d d d 4 1 d d 4 1 d d d d d d d d d d 2 1 d d d d d d , 32 2 3 1 3u2u 2 3 1 3 2 2 32 2 22 2 xxx u u xCCyxu uCCy y u y u y u y uu y ux u x y ux y u y ux u u y x y ux 带回,得:将 其通解为: ,代入原方程可得: , ,则令
39、 .e ) 1 2 (ee)( . 1, 2 1 :,e )()(* .ee)(: . 2, 1: ,e)(2)( 3)( : 22 21 2 2 21 21 2 xxx x xx x x xCCx babaxxx CCx rr xxxx x Q y P 故微分方程的通解为: 解得设一个特解为 的通解为从而对应齐次微分方程 程的特征根为其所对应的齐次微分方 非齐次微分方程,该微分方程为二阶线性 得由 )(,)( ,)()(2)(3. 2 2 xx dyxydxxexx L x 求有连续二阶导数其中 与路径无关设 的特解满足求0)0()0(2sin4. 3 yyxexyy x ;cos2* ,
40、0 2 , 02 42 ,sin4cos2sin2 sin4 cos)2(sin)2(* ),sincos(* .sincos , , 01 1 1 1 21 2, 1 2 xxy B A B A xxBxA xyy xAxBxBxAy xBxAxy xCxCY ir r :即此微分方程的特解为 ,并整理得:代入微分方程 ,则 个特解为:设非齐次微分方程的一 通解为:故对应齐次微分方程的 解得特征根为: 征方程为:对应齐次微分方程的特 1 1 022 22 ,e2e )222( e2 ,e )(* 2 D C DC C xDCCx xyy DCxy xx x x ,并整理得:代入微分方程 一个
41、特解为:设非齐次微分方程的另 .e ) 1(cos2sin2cos , 2 1 0)0( )0( ,e ) 1(cos2sincos .e ) 1(* 2 1 21 2 x x x xxxxxy C C yy xxxxCxCy xy 故微分方程得特解为: 代入通解得:把 解为:原非齐次微分方程的通 :即此微分方程的特解为 . 2sincos)( , 2)(* . 2, 0, 1 :) 1 (,)(* .sincos)( : ,: , 01: ) 1 (,)()( : 2 21 2 2 21 2 2 xxCxCxf xxf CBA CBxAxxf xCxCxf ir r xxfxf x Q y
42、P 故 式解得代入设 的通解为从而对应齐次微分方程 解得特征根为 为该微分方程的特征方程 得由 及全微分方程的通解。求为全微分方程 且有二阶连续导数设 )(,0)( )()(, 1)0(, 0)0(,)(. 4 2 xfdyyxxf dxyxfyxxyffxf .2 2 cossin2 : , 02 2 cossin2d , 0d)2cossin2( d)2sincos2( : . 2sincos2)( . 1, 21)0( , 0)0( 22 22 2 2 2 21 Cxy yx xyxy xy yx xyxy yyxxxx xyxyxyxy xxxxf CCff 故全微分方程的通解为 即
43、该全微分方程为 故 代入得:把 第四节第四节 欧拉方程和常系数线性微分方程组欧拉方程和常系数线性微分方程组 1.1.欧拉(Euler)方程的解法 形如形如 22 2 11 1 nnnnnn yxpyxpyx ).( 1 xfypyxp nn , 21 pp n p,其中其中 为常数为常数. 特点:各项未知函数导数的阶数恰等于与之相乘的特点:各项未知函数导数的阶数恰等于与之相乘的 自变量的幂次数自变量的幂次数. 解法:作变量代换,设解法:作变量代换,设 t ex xtln,即 ),0( x dt dy dx dy y dt dy xdx dt1 , 11 2 2 2 dt dy dt yd xdt dy xdx d y 代入欧拉方程,即可化为以代入欧拉方程,即可化为以t 为自变量的常系数线性微分方程为自变量的常系数线性微分方程 dt dy dt yd dt yd x y23 1 2 2 3 3 3 2.2.微分方程组的解法微分方程组的解法( (消元法消元法) ) 一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式 n j ijij i nitfxa dt dx 1 ,2, 1),( (i)用求导、积分、四则运算等由方程组中
限制150内