类比化归思想(9页).doc
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1、-类比化归思想-第 9 页化归与类比的数学思想解题举例(一)把一个陌生的问题、复杂的数学问题化成熟知的、简单的数学问题,从而使问题得到解决,这就是化归与类比的数学思想,化归与转化思想有着广泛的应用。实现转化的关键是要构造转化的方法。下面介绍一些常用的转化方法,及化归与类比思想解题的应用。一、新授(一)正与反的转化:有些数学问题,如果直接从正面入手求解难度较大,致使思想受阻,我们可以从反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题,对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。例1:某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的,则他至少击中目标1次的概率为
2、分析:至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况,可转化为其对立事件:一次都未中,来求解(略解:)他四次射击未中1次的概率P1=C 0.14=0.14他至少射击击中目标1次的概率为1P1=10.14=0.9999例3:求常数m的范围,使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x3)垂直平分.(分析):直接求解较为困难,事实上,问题可以转化为:在曲线y= x2存在关于直线y=m(x3)对称的两点,求m的范围。(略解):抛物线y=x2上存在两点(x1,x)和(x2,x)关于直线y=m(x3)对称,则 即 消去x2得存在 上述方程有解=00从而m因此,原问题的解为m | m(
3、二)一般与特殊的转化当面临的数学问题由一般情况难以解决,可以从特殊情况来解决,反之亦然,这种方法在选择题,填空题中非常适用。例1:设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列,则q=_.【分析】由于该题为填空题,我们不防用特殊情况来求q的值.如:S2、S1、S3成等差,求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算.略解: (a10)q=2或q=0(舍去)例2:已知平面上的直线l的方向向量e,点(0,0)和A(1,2)在l上的射影分别为,若则为( )A B C2 D2【分析】:直线l的斜率一定,但直线是变化的,又从选项来看,必为定值。可见直线l的变化不会影响的值。因此
4、我们可取l为来求解的值。略解:设l 则 可得 即=2例3:设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V,P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点,且PA=QC,则四棱锥BPAQC的体积为:AV BV CV DV【分析】P、Q运动四棱锥BPAQC是变化的,但从选项来看其体积是不变的,所以可以转化为特殊情况来解决【略解】取P与A重合,Q与C重合的特殊情况(三)主与次的转化利用主元与参变量的关系,视参变量为主元(即变量与主元的角色换位)常常可以简化问题的解决,先看下面两题。例1:0对上恒成立,求实数a的取值范围.例2:对任何函数的值总大于0,则实数x的取值范围是:_对于例1:令则从图像知1a1 0 0对于例2:
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