2022年高考试题全国卷2理科数学及答案 .pdf
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1、高考试题全国卷2 理科数学 (必修选修)( 四川、吉林、黑龙江、云南等地区) 一、选择题:本大题共12 小题,每小题5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的(1)已知集合Mx|x24,Nx|x22x 30,则集合MN(A)x|x 2( B) x|x3(C) x|1x2( D) x|2 x3(2)542lim221xxxxn(A)21(B)1(C)52(D)41(3)设复数 2123i,则 1(A) (B)2(C)1(D)21(4)已知圆C 与圆 (x1)2y21 关于直线y x 对称,则圆C 的方程为(A)(x1)2y21(B)x2y21(C) x2(y1)2
2、1(D)x2(y1)21 (5)已知函数ytan(2x )的图象过点 (12,0),则 可以是(A)6(B)6( C)12(D)12(6)函数 y ex的图象(A)与 yex的图象关于y 轴对称(B)与 yex的图象关于坐标原点对称(C)与 yex的图象关于y 轴对称(D)与 yex的图象关于坐标原点对称(7)已知球 O 的半径为1,A、B、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离为2,则球心 O 到平面 ABC 的距离为(A)31(B)33(C)32(D)36(8)在坐标平面内,与点A(1, 2)距离为 1,且与点B(3, 1)距离为 2 的直线共有(A)1 条(B)2 条(C) 3条(D)
3、 4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 32 页条(9)已知平面上直线l的方向向量)53,54(e,点 O(0,0)和 A(1,-2)在l上的射影分别是O1和 A1,则11AOe,其中( A)511(B)511(C)2(D) 2 (10)函数 yxcosxsinx 在下面哪个区间内是增函数(A)(2,23)(B) (,2)(C) (23,25)(D)(2,3) (11)函数 ysin4xcos2x 的最小正周期为(A)4(B)2(C)(D)2(12)在由数字1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的5 位数中,大于2314
4、5 且小于43521 的数共有(A)56 个(B)57 个( C) 58 个(D)60 个二、填空题:本大题共4 小题,每小题4 分,共 16 分把答案填在题中横线上(13)从装有 3 个红球, 2 个白球的袋中随机取出2 个球,设其中有 个红球,则随机变量 的概率分布为0 1 2 P (14)设 x,y 满足约束条件,yxy,x,x120则 z3x2y 的最大值是(15) 设中心在原点的椭圆与双曲线2x22y21 有公共的焦点, 且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是(16)下面是关于四棱柱的四个命题:若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱
5、柱为直四棱柱若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱其中,真命题的编号是(写出所有真命题的编号)三、 解答题:本大题共6 个小题,共74 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 32 页(17) (本小题满分12 分) 已知锐角三角形ABC 中, sin(AB)53,sin(AB)51()求证: tanA2tanB;()设 AB3,求 AB 边上的高(18)(本小题满分12 分) 已知 8 个球队中有3 个弱队,以抽签方式将这8 个球队分为
6、A、B 两组,每组4 个求()A、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率;()A 组中至少有两个弱队的概率(19)(本小题满分12 分) 数列 an 的前 n 项和记为Sn,已知 a11,an1nn2Sn(n1,2,3,) 证明:()数列 nSn是等比数列;()Sn1 4an(20)(本小题满分12 分) 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中, ACB90o,AC1,CB2,侧棱 AA11,侧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 32 页面 AA1B1B 的两条对角线交点为D,B1C1的中点为M()求证: CD平面 BDM ;()
7、求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的大小(21)(本小题满分12 分) 给定抛物线C:y24x,F 是 C 的焦点,过点F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点()设 l 的斜率为 1,求OA与OB夹角的大小;()设FBAF,若 4,9,求 l 在 y 轴上截距的变化范围(22)(本小题满分14 分) 已知函数 f(x)ln(1x)x,g(x)xlnx(1)求函数 f(x)的最大值;(2)设 0ab,证明: 0g(a)g(b)2g(2ba)(ba)ln2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 32 页2004 年高考试
8、题全国卷2 理科数学 (必修选修)( 四川、吉林、黑龙江、云南等地区) 答案:一、选择题:本大题共12 小题,每小题5 分,共 60 分(1)C (2)A (3)C (4)C (5)A (6)D (7)B (8)B (9)D (10)B (11)B (12)C 二、填空题:本大题共4 小题,每小题4 分,共 16 分(13)0.1,0.6,0.3 (14)5 ( 15)21x2y21 (16)17 (I)证明: sin(A+B)=53,sin(A-B)=5151sincoscossin53sincoscossinBABABABA51sincos52cossinBABA2tantanBA,BAt
9、an2tan. (II) 解:2A+B , 53)sin(BA, 54)cos(BA, 43)tan(BA即43tantan1tantanBABA,将BAtan2tan代入上式并整理得01tan4tan22BB解得262tan B,因为 B 为锐角,所以262tan B,BAtan2tan=2+6设 AB 上的高为 CD,则 AB=AD+DB=623tantanCDBCDACD,由 AB=3 得 CD=2+6故 AB 边上的高为2+618 (I)解: 有一组恰有两支弱队的概率762482523CCC(II) 解: A 组中至少有两支弱队的概率21481533482523CCCCCC19 (I)
10、证:由 a1=1,an+1=nn2Sn(n=1,2,3, ),知 a2=112S1=3a1,224212aS, 111S,21212SS又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3 , ), 则Sn+1-Sn=nn2Sn(n=1,2,3 , ) , nSn+1=2(n+1)Sn, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 32 页211nSnSnn(n=1,2,3, ).故数列 nSn是首项为1,公比为2 的等比数列(II )解: 由( I)知,)2(14111nnSnSnn,于是 Sn+1=4(n+1) 11nSn=4an(n2)
11、又 a2=3S1=3,则 S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n1 都有 Sn+1=4an. 20 解法一 :(I)如图,连结CA1、 AC1、 CM,则 CA1=2,CB=CA1=2, CBA1为等腰三角形,又知 D 为其底边A1B 的中点, CD A1B,A1C1=1,C1B1=2, A1B1=3,又 BB1=1, A1B=2, A1CB 为直角三角形,D 为 A1B 的中点, CD=21A1B=1,CD=CC1又 DM=21AC1=22,DM=C1M, CDN CC1M, CDM=CC1M=90 ,即 CDDM ,因为 A1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线,所以CD平
12、面 BDM(II) 设 F、G 分别为 BC 、BD 的中点,连结B1G、FG、B1F,则 FGCD,FG=21CDFG=21, FGBD. 由侧面矩形BB1A1A 的对角线的交点为D,知 BD=B1D=21A1B=1,所以 BB1D 是边长为1 的正三角形,于是B1GBD ,B1G=23, B1GF 是所求二面角的平面角又 B1F2=B1B2+BF2=1+(22)2=23. cosB1GF=332123223)21()23(222121221FGGBFBFGGB即所求二面角的大小为-arccos33解法二 :如图以C 为原点建立坐标系(I):B(2,0,0),B1(2,1,0),A1(0,1
13、,1),D(22,21,21), M(22,1,0),CD(22,21,21),BA1(2,-1,-1), DM(0,21,-21),0,01DMCDBACDCDA1B,CD DM. 因为 A1B、DM 为平面 BDM 内两条相交直线,所以 CD平面 BDM(II):设BD中点为G ,连结B1G ,则G),41,41,423(BD(-22,21,21),GB1),41,43,42(01GBBD, BD B1G, 又 CDBD ,CD与GB1的夹角等于所求二面角的平面角,ABCABCDMACBACBMDABCABCDMFGzXyACBACBFMDG精选学习资料 - - - - - - - - -
14、 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 32 页cos.33|11GBCDGBCD所以所求二面角的大小为-arccos3321解:(I)C 的焦点为F(1,0),直线 l 的斜率为1,所以 l 的方程为y=x-1. 将 y=x-1 代入方程y2=4x,并整理得x2-6x+1=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2=6,x1x2=1,OBOA=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3. 4116)(4|21212122222121xxxxxxyxyxOBOAcos=.41413|OBOAOBOA所以OA与OB
15、夹角的大小为-arccos41413. 解: (II)由题设知AFFB得: (x2-1,y2)=(1-x1,-y1),即)2() 1 ()1 (11212yyxx由 (2)得 y22=2y12, y12=4x1,y22=4x2,x2=2x1(3) 联立 (1)(3)解得 x2= .依题意有 0. B( ,2)或 B(,-2),又 F(1,0), 得直线 l 的方程为 (-1)y=2(x-1)或( -1)y=-2(x-1)当 4,9时, l 在 y 轴上的截距为12或 -12由12=1212,可知12在4,9上是递减的,431234,-34-1243直线 l 在 y 轴上截距的变化范围是34,4
16、343,3422 (I) 解:函数f(x) 的定义域是 (-1,),f(x)=111x.令 f(x)=0,解得x=0,当 -1x0,当 x0 时, f(x)0,又 f(0)=0 ,故当且仅当x=0 时, f(x) 取得最大值,最大值是0(II) 证法一 :g(a)+g(b)-2g(2ba)=alna+blnb-(a+b)ln2ba=ababbbaa2ln2ln. 由 (I) 的 结 论知ln(1+x)-x-1, 且x 0), 由题设0a-022baab. 又,22bbabaaababbbaa2ln2lna.2ln)(2ln)(2ln2lnabbababbabbbba综上 0g(a)+g(b)-
17、2g(2ba)(b-a)ln2. (II) 证法二 :g(x)=xlnx,1ln)( xxg,设 F(x)= g(a)+g(x)-2g(2xa), 则.2lnln)2( 2)( )( xaxxagxgxF当 0 xa 时,0)( xF因此F(x)在 (a,+)上为增函数从而,当x=a 时, F(x) 有极小值F(a) 因为F(a)=0,ba,所以 F(b)0,即 00 时,0)( xG,因此 G(x) 在(0,+)上为减函数,因为G(a)=0,ba,所以 G(b)0. 即 g(a)+g(b)-2g(2ba)(b-a)ln2. 2005 年高考理科数学全国卷(二)(必修 +选修 II )本试卷分
18、为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分. 第 I 卷 1 至 2页,第卷 3 至 10 页. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第 I 卷注意事项:1. 答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号、考试科目涂写在答题卡上 . 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号. 不能答在试题卷上 . 3. 本卷共 12小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 . 参考公式:如果事件 A、B 互斥,那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24 RS如果事件 A、B
19、 相互独立,那么其中 R 表示球的半径P(A B)=P(A) P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是球的体积公式P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k334RV次的概率knkknnPPCkP)1()(其中 R 表示球的半径一、选择题:1. 函数 f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是()A. 4B. 2C. D. 22. 正方体 ABCDA1B1C1D1中,P、Q、R 分别是 AB、AD 、B1C1的中点 . 那么,正方体的过 P、Q、R 的截面图形是()A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形3. 函数)0(132xxy的反函数是()A. )1()1(3xxyB.
20、 )1()1(3xxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 32 页C. )0()1(3xxyD. )0()1(3xxy4. 已知函数)2,2(tan在xy内是减函数,则()A. 01 B. 10|,则 MN 为()A. |x|4x2或 3x7| B. |x|4x2 或 3x3| D. |x|x2 或 x3| 10. 点 P在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,3) (即点 P 的运动方向与 v 相同,且每秒移动的距离为 |v|个单位).设开始时点 P 的坐标为(10, 10) ,则 5 秒后点 P 的坐标为()A. (2
21、,4)B. (30,25)C. (10,5)D. (5,10)11. 如果 a1,a2, a8为各项都大于零的等差数列,公差d0,则()A. a1a8a4a5B. a1a8a4a5C. a1a8a4a5D. a1a8a4a512. 将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为()A. 3623B. 3622精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 32 页C. 3624D. 36234第卷注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚. 3. 本卷
22、共 10小题,共 90分. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上 .)13. 圆心为( 1,2)且与直线 5x12y7=0 相切的圆的方程为. 14. 设为第四象限的角,若2tan,513sin3sin则. 15. 在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有个. 16. 下面是关于三棱锥的四个命题:底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. 底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. 侧棱与底面所成的角都相等
23、, 且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 .其中,真命题的编号是(写出所有真命题的编号) . 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17. (本小题满分 12 分)设函数的 x 取值范围。18. (本小题满分 12 分)已知na是各项均为正数的等差数列,1lga 、2lg a 、4lga 成等差数列,又()证明nb为等比数列;()如果无穷等比数列nb各项的和31S,求数列na的首项 a1和公差d. (注:无穷数列各项的和即当n时数列前 n 项和的极限)19. (本小题满分 12 分)甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验,单局比赛
24、甲队胜乙队的概率为 0.6.本场比赛采用五局三胜制, 即先胜三局的队获胜, 比赛结束 .设各局比赛相互间没有影响.令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.(精确到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 32 页0.0001)20. (本小题满分 12 分)如图, 四棱锥 PABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,PD底面 ABCD, AD=PD,E、F 分别为 CD、PB 的中点 . ()求证: EF平面 PAB;()设 AB=2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小 . 21. (本小题满分 14 分)P、Q、
25、M、N 四点都在椭圆1222yx上,F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点 .已知.0,MFPFFNMFFQPF且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值。22. (本小题满分 12 分)已知.)2()(, 02xeaxxxfa函数()当 x 为何值时, f (x)取得最小值?证明你的结论;()设)(xf在1,1上是单调函数,求a 的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 32 页参考答案评分说明:1. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同, 可根
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