向量组的线性相关与线性无关.doc
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1、 向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设,称为的一个线性组合。备注1按分块矩阵的运算规则,。这样的表示是有好处的。2.线性表示 设,如果存在,使得则称可由线性表示。,写成矩阵形式,即。因此,可由线性表示即线性方程组有解,而该方程组有解当且仅当。3.向量组等价设,如果中每一个向量都可以由线性表示,则称向量组可以由向量组线性表示。如果向量组和向量组可以相互线性表示,则称这两个向量组是等价的。向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。(2) 对称性 若向量组I与II等价,则向量组II也与I等价。(3) 传递性 若向量组I与II等价,向量组II与III等价,则向量组I与III等价
2、。证明:自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性,简单计算即可得到。设向量组I为,向量组II为,向量组III为。向量组II可由III线性表示,假设,。向量组I可由向量组II线性表示,假设,。因此,因此,向量组I可由向量组III线性表示。向量组II可由I线性表示,III可由II线性表示,按照上述办法再做一次,同样可得出,向量组III可由I线性表示。因此,向量组I与III等价。结论成立!4.线性相关与线性无关设,如果存在不全为零的数,使得则称线性相关,否则,称线性无关。 按照线性表示的矩阵记法,线性相关即齐次线性方程组有非零解,当且仅当。线性无关,即只有零解,当且仅当。特别的,若,则线性无关当且仅
3、当,当且仅当可逆,当且仅当。例1. 单独一个向量线性相关即,线性无关即。因为,若线性相关,则存在数,使得,于是。而若,由于,因此,线性相关。例2. 两个向量线性相关即它们平行,即其对应分量成比例。因为,若线性相关,则存在不全为零的数,使得。不全为零,不妨假设,则,故平行,即对应分量成比例。如果平行,不妨假设存在,使得,则,于是线性相关。例3.线性无关,且任意都可以由其线性表示,且表示方法唯一。事实上,5.线性相关与无关的性质(1) 若一向量组中含有零向量,则其必然线性相关。证明:设,其中有一个为零,不妨假设,则因此,线性相关。(2) 若一向量组线性相关,则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线
4、性相关;若一向量组线性无关,则其任意部分向量组仍然线性无关。证明:设,线性相关。存在不全为零的数,使得这样,不全为零,因此,线性相关。 后一个结论是前一个结论的逆否命题,因此也正确。(3) 若一个向量组线性无关,在其中每个向量一样位置之间增添元素,所得到的新向量组仍然线性无关。证明:设为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量最后一个分量之后,成为,是同维的列向量。令则。由向量组线性相关,可以得到。结论得证!(4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。证明:设为一组向量。必要性 若线性相关,则存在一组不全为零的数,使得不全为零,设,则充分性 若中某个向量可以表示
5、成其余向量的线性组合,假设可以表示成的线性组合,则存在一组数,使得也就是但不全为零,因此,线性无关。备注2请准确理解其意思,是其中某一个向量可以由其余向量线性表示,而不是全部向量都可以。(5) 若线性无关,使得线性相关,则可由线性表示,且表示方法唯一。证明:线性相关,因此,存在不全为零的数,使得,否则,则。由线性无关,我们就得到,这样,均为零,与其不全为零矛盾!这样,因此,可由线性表示。假设,则由线性无关,有,即因此,表示法唯一。备注3 刚才的证明过程告诉我们,如果向量可由线性无关向量组线性表示,则表示法唯一。事实上,向量可由线性无关向量组线性表示,即线性方程组有解。而线性无关,即。因此,若有
6、解,当然解唯一,即表示法唯一。(6) 若线性无关向量组可由向量组线性表示,则。证明:假设结论不成立,于是。可由线性表示。假设,.,任取,则由于为一个阶矩阵,而,因此,方程组必有非零解,设为,于是。因此,存在一组不全为零的数,使得。因此,向量组线性相关,这与向量组线性无关矛盾!因此,。(7) 若两线性无关向量组和可以相互线性表示,则。证明:由性质(6),因此,。备注4等价的线性无关向量组所含向量个数一样。(8) 设,为阶可逆矩阵,则线性无关当且仅当线性无关。可由线性表示,当且仅当可由线性表示。若可以线性表示,表示的系数不变。证明:由于可逆,因此如此,结论得证!6.极大线性无关组定义1 设,如果存
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