《向量组的线性相关与线性无关.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《向量组的线性相关与线性无关.pdf(13页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设12,nta aaR,12,tk kkR,称1 122ttk ak ak a为12,ta aa的一个线性组合;备注 1 按分块矩阵的运算规则,121 12212(,)ttttkkk ak ak aa aak;这样的表示是有好处的;2.线性表示 设12,nta aaR,nbR,如果存在12,tk kkR,使得 则称b可由12,ta aa线性表示;1 122ttbk ak ak a,写成矩阵形式,即1212(,)ttkkba aak;因此,b可由12,ta aa线 性 表 示 即 线 性 方 程 组1212(,)ttkka aabk有 解,而 该 方 程
2、 组 有 解 当 且 仅 当1212(,)(,)ttr a aar a aa b;3.向量组等价 设1212,ntsa aa b bbR,如果12,ta aa中每一个向量都可以由 12,sb bb线性表示,则称向量组12,ta aa可以由向量组12,sb bb线性表示;如果向量组12,ta aa和向量组12,sb bb可以相互线性表示,则称这两个向量组是等价的;向量组等价的性质:1 自反性 任何一个向量组都与自身等价;2 对称性 若向量组 I 与 II 等价,则向量组 II 也与 I 等价;3 传递性 若向量组 I 与 II 等价,向量组 II 与 III 等价,则向量组 I 与 III 等价
3、;证明:自反性与对称性直接从定义得出;至于传递性,简单计算即可得到;设向量组 I 为12,ra aa,向量组II 为12,sb bb,向量组III为12,tc cc;向量组II可由 III线性表示,假设1tjkjkkby c,1,2,js;向量组 I 可由向量组 II 线性表示,假设1sijijjax b,1,2,ir;因此,11111()ssttsijijjikjkkjjikjjkkjax bxy cy xc,1,2,ir 因此,向量组I 可由向量组III线性表示;向量组II可由I线性表示,III可由II线性表示,按照上述办法再做一次,同样可得出,向量组 III 可由 I 线性表示;因此,向
4、量组 I 与 III 等价;结论成立 4.线性相关与线性无关 设12,nta aaR,如果存在不全为零的数12,tk kkR,使得 则称12,ta aa线性相关,否则,称12,ta aa线性无关;按照线性表示的矩阵记法,12,ta aa线性相关即齐次线性方程组 有非零解,当且仅当12(,)tr a aat;12,ta aa线性无关,即 只有零解,当且仅当12(,)tr a aat;特别的,若tn,则12,nna aaR线性无关当且仅当12(,)nr a aan,当且仅当12(,)na aa可逆,当且仅当12(,)0na aa;例 1.单独一个向量naR线性相关即0a,线性无关即0a;因为,若a
5、线性相关,则存在数0k,使得0ka,于是0a;而若0a,由于10aa,10因此,a线性相关;例 2.两个向量,na bR线性相关即它们平行,即其对应分量成比例;因为,若,a b线性相关,则存在不全为零的数12,k k,使得120k ak b;12,k k不全为零,不妨假设10k,则21kabk,故,a b平行,即对应分量成比例;如果,a b平行,不妨假设存在,使得ab,则0ab,于是,a b线性相关;例 3.1000,1,0001 线性无关,且任意1323xxxRx都可以由其线性表示,且表示方法唯一;事实上,5.线性相关与无关的性质 1 若一向量组中含有零向量,则其必然线性相关;证明:设12,
6、nta aaR,其中有一个为零,不妨假设0ta,则 因此,12,ta aa线性相关;2 若一向量组线性相关,则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关;若一向量组线性无关,则其任意部分向量组仍然线性无关;证明:设1212,ntsa aaR,12,ta aa线性相关;存在不全为零的数 12,tk kk,使得 这样,12,tk kk不全为零,因此,1212,tsa aa 线性相关;后一个结论是前一个结论的逆否命题,因此也正确;3 若一个向量组线性无关,在其中每个向量相同位置之间增添元素,所得到的新向量组仍然线性无关;证明:设12,nta aaR为一组线性无关的向量;不妨假设新的元素都增加在向量
7、最后一个分量之后,成为1212,ttaaabbb ,12,tb bb是同维的列向量;令 则1 1220ttk ak ak a;由向量组12,ta aa线性相关,可以得到 120tkkk;结论得证 4 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示;证明:设12,nta aaR为一组向量;必要性 若12,ta aa线性相关,则存在一组不全为零的数12,tk kk,使得 12,tk kk不全为零,设0jk,则 充分性 若12,ta aa中某个向量可以表示成其余向量的线性组合,假设ja可以表示成111,jjtaaaa的线性组合,则存在一组数111,jjtkkkk,使得 也就是 但111,
8、1,jjtkkkk不全为零,因此,12,ta aa线性无关;备注 2 请准确理解其意思,是其中某一个向量可以由其余向量线性表示,而不是全部向量都可以;5 若12,nta aaR线性无关,nbR,使得12,ta aa b线性相关,则b可由12,ta aa线性表示,且表示方法唯一;证明:12,ta aa b线性相关,因此,存在不全为零的数121,ttk kk k,使得 10tk,否则10tk,则1 1220ttk ak ak a;由12,ta aa线性无关,我们就得到120tkkk,这样,121,ttk kk k均为零,与其不全为零矛盾这样,因此,b可由12,ta aa线性表示;假设1 1221
9、122ttttbx ax ax ay ay ay a,则 由12,ta aa线性无关,有11220ttxyxyxy,即 因此,表示法唯一;备注 3 刚才的证明过程告诉我们,如果向量b可由线性无关向量组1,taa线性表示,则表示法唯一;事实上,向量b可由线性无关向量组1,taa线性表示,即线性方程组1(,)taa xb有解;而1,taa线性无关,即1(,)tr aat;因此,若有解,当然解唯一,即表示法唯一;6 若线性无关向量组12,ta aa可由向量组12,sb bb线性表示,则ts;证明:假设结论不成立,于是ts;12,ta aa可由12,sb bb线性表示;假设 1121111 121 2
10、1121(,)ssssxxax bx bx bb bbx,1222212 12222122(,)ssssxxax bx bx bb bbx,.12112212(,)tttttstssstxxax bx bx bb bbx,任取12,tk kk,则 由于111212122212ttssstxxxxxxxxx为一个s t阶矩阵,而ts,因此,方程组 必有非零解,设为12tkkk,于是1 1220ttk ak ak a;因此,存在一组不全为零的数12,tk kk,使得1 1220ttk ak ak a;因此,向量组12,ta aa线性相关,这与向量组12,ta aa线性无关矛盾因此,ts;7 若两线
11、性无关向量组12,ta aa和12,sb bb可以相互线性表示,则ts;证明:由性质 6,ts,st,因此,st;备注 4 等价的线性无关向量组所含向量个数一样;8 设12,nta aaR,P为n阶可逆矩阵,则12,ta aa线性无关当且仅当 12,tPa PaPa线性无关;b可由12,ta aa线性表示,当且仅当Pb可由 12,tPa PaPa线性表示;若可以线性表示,表示的系数不变;证明:由于P可逆,因此 如此,结论得证 6.极大线性无关组 定义 1 设12,nta aaR,如果存在部分向量组12,riiiaaa,使得 1 12,riiiaaa线性无关;2 12,ta aa中每一个向量都可
12、以由12,riiiaaa线性表示;则称12,riiiaaa为12,ta aa的极大线性无关组;备注 5 设12,nta aaR,12,riiiaaa为其极大线性无关组;按照定义,12,ta aa可由12,riiiaaa线性表示;但另一方面,12,riiiaaa也显然可以由 12,ta aa线性表示;因此,12,ta aa与12,riiiaaa等价;也就是说,任何一个向量组都与其极大线性无关组等价;向量组的极大线性无关组可能不止一个,但都与原向量组等价,按照向量组等价的传递性,它们彼此之间是等价的,即可以相互线性表示;它们又都是线性无关的,因此,由之前的性质 7,向量组的任意两个极大线性无关组含
13、有相同的向量个数;这是一个固定的参数,由向量组本身所决定,与其极大线性无关组的选取无关,我们称其为向量组的秩,即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数;备注 6 按照定义,向量组12,ta aa线性无关,充分必要条件即其秩为t;定义 2 设12,nta aaR,如果其中有r个线性无关的向量12,riiiaaa,但没有更多的线性无关向量,则称12,riiiaaa为12,ta aa的极大线性无关组,而r为 12,ta aa的秩;备注7 定义2生动地体现了极大线性无关组的意义;一方面,有r个线性无关的向量,体现了“无关性”,另一方面,没有更多的线性无关向量,又体现了“极大性”;备注 8 两个定
14、义之间是等价的;一方面,如果12,riiiaaa线性无关,且 12,ta aa中每一个向量都可以由12,riiiaaa线性表示,那么,12,ta aa就没有更多的线性无关向量,否则,假设有,设为12,sb bb,sr;12,sb bb当然可以由12,riiiaaa线性表示,且还线性无关,按照性质 6,sr,这与假设矛盾另一方面,假设12,riiiaaa为12,ta aa中r个线性无关向量,但没有更多的线性无关向量,任取12,ta aa中一个向量,记为b,则12,riiiaaab线性相关;按照性质5,b可有12,riiiaaa线性表示且表示方法唯一;备注 9 设向量组12,ta aa的秩为r,则
15、其极大线性无关向量组含有r个向量;反过来,其中任何r个线性无关向量所成的向量组也是12,ta aa的一个极大线性无关组;这从定义即可得到;6.向量组的秩的矩阵的秩的关系 称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩,行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵A的行秩;定理 1 任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩;证明:设()m nijAaR,()r Ar;将其按列分块为12(,)nAa aa;存在m阶可逆矩阵P,使得PA为行最简形,不妨设为 100010,001000000 线性无关,且PA中其余列向量都可以由其线性表示,因此,100010,001000000 为PA的极大线性无关组,其个数为r,因此,12
16、,ra aa线性无关,且A中其余列向量均可由其线性表示且表示的系数不变;因此,A的列秩等于A的秩;将A按行分块,1TTmbAb,则12(,)TmAb bb,因此,按照前面的结论,A的行秩为TA的秩,而TA的秩等于A的秩;至此,结论证明完毕 备注 10 证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法;7.扩充定理 定理 2 设12,nta aaR,秩为r,12,kiiiaaa为其中的k个线性无关的向量,kr,则能在其中加入12,ta aa中的()rk个向量,使新向量组为12,ta aa的极大线性无关组;证明:如果kr,则12,kiiiaaa已经是12,ta aa的一个极大线性无关组,无须再添加向量
17、;如果kr,则12,kiiiaaa不是12,ta aa的一个极大线性无关组,于是,12,ta aa必有元素不能由其线性表示,设为1kia,由性质5,向量组 121,kkiiiiaaaa线性无关;如果1kr,则121,kkiiiiaaaa已经是12,ta aa的一个极大线性无关组,无须再添加向量;如 果1kr,则121,kkiiiiaaaa不 是12,ta aa的 一 个 极 大 线 性 无 关 组,于是,12,ta aa必有元素不能由其线性表示,设为2kia,由性质5,向量组 1212,kkkiiiiiaaaaa线性无关;同样的过程一直进行下去,直到得到r个线性无关的向量为止;备注 11 证明
18、的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法;只是,这方法并不好实现;8.求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示 求向量组12,nta aaR的极大线性无关组,可以按照下面的办法来实现;1 将12,ta aa合在一起写成一个矩阵12(,)tAa aa;2 将A通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形,不妨设化得的行阶形为 111211,11,2222,12,1,0000000000000rrnrrnrrr rr nbbbbbbbbbABbbb,0,1,2,iibir,()rr A 3 在上半部分找出r个线性无关的列向量,设为12,rjjj列,则12,rjjj为B列向量组的极大线性线性无
19、关组,也是A列向量组的极大线性线性无关组,也就是12,ta aa的极大线性无关组;为了在上半部分寻找r个线性无关向量,必须且仅须在上半部分寻找r阶的非奇异子矩阵;r阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关;显而易见,上面矩阵第 1 到第r列即向量组的一个极大线性无关组;其余情形同理;4 将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合;这时候得解方程组;我们将矩阵化为行最简形,则一步就很容易完成了;不妨设行最简形为 在B中第 1 到第r列为列向量组的极大线性无关组,而其余向量表示成其线性组合也非常容易,表示系数即对应的分量;于是,在A中,第 1 到第r列为列向量组的极大线性无关组,其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合,表示系数与B中的一致;我们的理论依据是性质 8;例 4.设矩阵21112112144622436979A,求A的列向量组的一个极大线性无关组,并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示;解答 记12345(,)Aa a a a a,因此,A的列向量的一个极大线性无关组为124,a a a,312aaa,4123433aaaa;
限制150内