【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量章末优化总结 新人教A版必修4.doc
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1、章末优化总结, )平面向量的概念与性质理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角等概念突显向量“形”的特征是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提关于平面向量a,b,c有下列三个命题:若bc,则(ac)bab;若a(1,k),b(2,6),ab,则k3;非零向量a和b满足|a|b|ab|,则a与ab的夹角为60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)解析因为bc,所以bc0,所以(ac)babcbab;ab,且a0bak3;|a|b|ab|a,b,ab构成等边三角形,a与ab的夹角应为30.所以真命题为.答案平面向量的线性运算1向量的加法、减法和数乘向量的综合运算
2、,通常叫作向量的线性运算,主要是运用它们的运算法则、运算律,解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题2理解向量的有关概念如平行向量(共线向量)、相等与相反向量、平面向量基本定理、单位向量等及其相应运算的几何意义,并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等,是求解有关向量线性运算问题的基础如图,在ABC中,BQ与CR相交于点I,AI的延长线与边BC交于点P.(1)用和分别表示和;(2)如果,求实数和的值;(3)确定点P在边BC上的位置解(1)由,可得,又,所以.(2)将,代入,则有,即(1)(1).所以解得(3)设m,n.由(2),知,所以nnmmm,所以解得所以,即2.即点P
3、是BC上靠近点C的三等分点平面向量的数量积求平面向量的数量积的方法有两个:一个是根据数量积的定义,另一个是根据坐标定义法是ab|a|b|cos ,其中为向量a,b的夹角;坐标法是a(x1,y1),b(x2,y2)时,abx1x2y1y2.利用数量积可以求长度,也可判断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直),还可以通过向量的坐标运算转化为代数问题解决(1)设单位向量m(x,y),b(2,1)若mb,则|x2y|_(2)已知两个单位向量a,b的夹角为60,cta(1t)b,若bc0,则t_解析(1)因为单位向量m(x,y),则x2y21.若mb,则mb0,即2xy0.由解得x2,所以|x|,|x2
4、y|5|x|.(2)法一:因为bc0,所以bta(1t)b0,即tab(1t)b20.又因为|a|b|1,60,所以t1t0,所以t2.法二:由t(1t)1知向量a,b,c的终点A、B、C共线,在平面直角坐标系中设a(1,0),b,则c.把a、b、c的坐标代入cta(1t)b,得t2.答案(1)(2)2平面向量的应用平面向量的应用主要体现在两个方面,一是在平面几何中的应用,向量的加法运算和平行,数乘向量和相似,距离、夹角和数量积之间有着密切联系,因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题二是在物理中的应用,主要是解决力、位移、速度等问题如图所示,G为AOB的中线OM的中点,过点G作直线分别交
5、OA,OB于点P,Q,设m,n,试推断是否为定值解设a,b,则()ab.所以abmaab.nmnbma.因为与共线,所以(R),即ab(nbma)所以消去得m1.所以4为定值质量m2.0 kg的木块在平行于斜面向上的拉力F10 N的作用下,沿斜面角30的光滑斜面向上滑行|s|2.0 m的距离,如图所示(g取9.8m/s2)(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功;(2)在这一过程中,物体所受各力对物体做的功的代数和是多少;(3)求物体所受合外力对物体所做的功,并指出它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系解(1)木块受三个力的作用,重力G,拉力F和支持力FN,如题图所示,拉力
6、F与位移s方向相同,所以拉力对木块所做的功为WFFs|F|s|cos 020(J)支持力对木块所做的功为WFNs0.重力G对物体所做的功为WGGs|G|s|cos(90)19.6(J)(2)物体所受各力对物体做功的代数和为WWFWWG0.4(J)(3)物体所受合外力的大小为|F合|F|G|sin 300.2(N)所以,物体所受合外力对物体所做的功为WF合s0.4(J)所以,物体所受合外力对物体所做的功,与物体所受各力对物体做功的代数和相等1O为平面上的一个定点,A、B、C是该平面上不共线的三点,若()(2)0,则ABC是()A以AB为底边的等腰三角形B以BC为底边的等腰三角形C以AB为斜边的直
7、角三角形D以BC为斜边的直角三角形解析:选B.由题意知()(2)()0,如图所示,其中2(点D为线段BC的中点),所以ADBC,即AD是BC的中垂线,所以ABAC,即ABC为等腰三角形故选B.2已知e为单位向量,|a|4,a与e的夹角为,则a在e方向上的投影为_解析:根据定义知a在e方向上的投影为|a|cos2.答案:23已知向量a(6,2),b,直线l过点A(3,1)且与向量a2b垂直,则直线l的方程为_解析:设B(x,y)为l上任意一点,则(x3,y1),又a2b(6,2)2(2,3),由题意得(a2b)0,所以(x3,y1)(2,3)2(x3)3(y1)0,即2x3y90.答案:2x3y
8、904设向量a,b满足|a|b|1,且|2ab|.(1)求|2a3b|的值;(2)求3ab与a2b的夹角解:(1)因为|2ab|24a24abb244ab15,所以ab0.因为|2a3b|24a29b24913,所以|2a3b|.(2)设3ab与a2b的夹角为,则cos ,又因为0,所以为所求5如图,平行四边形ABCD中,a,b,H、M分别是AD、DC的中点,BC上一点F使BFBC.(1)以a、b为基底表示向量与;(2)若|a|3,|b|4,a与b的夹角为120,求.解:(1)由已知得ab.ba(b)ab.(2)由已知得ab|a|b|cos 12034()6,从而(ab)(ab)|a|2ab|
9、b|232(6)42., 学生用书单独成册)(时间:100分钟,分数:120分)一、选择题(本大题共有10小题,每小题4分,共40分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的是()A共线向量的方向相同B零向量是0C长度相等的向量叫做相等向量D共线向量是在一条直线上的向量解析:选B.对A,共线向量的方向相同或相反,错误;对B,零向量是0,正确;对C,方向相同且长度相等的向量叫做相等向量,错误;对D,共线向量所在直线可能平行,也可能重合,错误故选B.2已知A、B、D三点共线,存在点C,满足,则()A. BC D解析:选C.因为A,B,D三点共线,所以存在实数t,使t,则
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